2020年高三数学一轮复习讲座四：平面向量（通用）

1、2020年复习课第三轮-平面向量二、审查要求1、矢量的概念；2，矢量的线性运算：即矢量的加法，实数和矢量的乘积，两个矢量的数积乘积等的定义，运算法则；3、使用向量运算三、学习指导1，矢量是数字组合的例子。矢量的几何表示直接分段表示是利用几何特性解决矢量问题的基础。使用图形特性不仅可以直观地解释矢量运算中的抽象运算，有时还更简单。矢量运算的基本图：矢量加减：三角形或平行四边形；实数和向量乘积的几何意义共线；固定得分点基本图形起点相同的三个矢量端点共线等。2，向量的三种线性运算和运算的三种形式。矢量的加法、实数和矢量的乘积，两个矢量的向量积都称为矢量的线性运算，前两个矢量的结果是矢量，两个矢量的乘

2、积的结果是数量。每个运算可以有三种表现法：图形、符号和座标语言。主要内容列表如下：运输图形语言符号语言坐标语言加法和减法2=-=注记=(x1，y1)，=(x1，y2)X=(x1 x2，y1 y2)-=(x2-x1，y2-y1)2=实数和向量的乘积=r注记=(x，y)=(x，y)两个向量的数量积=| | | |Cos、注记=(x1，y1)，=(x2，y2)X x 2 y1 y23，运算法则加：=，()=()实数和矢量的乘积：()=；( )= ， ()=( )两个向量的数量积：=；()=()=()，()=说明：根据矢量运算法则，两个矢量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算

3、特性()2=4，重要的整理，公式(1)平面向量的基本定理；在共面内的两个非共线矢量的情况下，该平面内的所有矢量只有一对数1、2，并且具有称为满足=1 2、1 2的线性组合。根据平面向量的基本定理，当(1，2)是基准，下的座标，是单位正交基础，时，定义(1，2)是向量的平面直角座标。向量座标与点座标的关系：向量座标位于原点时，由端点座标定义。也就是说，如果A(x，y)，则=(x，y)；如果向量起点不在原点，则向量座标是终点座标减去起点座标。也就是说，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1)(2)两个向量平行的充要条件符号语言：时=坐标语言设置为=(x1，y1)，=(

4、x2，y2)， (x1，y1)= (x2，y2)，即x1y2-x2y1=0其中实数是唯一存在的，同乡时0；等方性时0。| |=，的大小由和的大小决定。因此，确定时，的符号和大小是确定的。这是实数乘向量中的几何意义。(3)两个向量法向的充要条件符号语言：0坐标语言：设置=(x1，y1)，=(x2，y2)，x1x2 y2=0(4)段得分点公式图片，设置分数向量：固定得分点坐标：设定P(x，y)、P1(x1，y1)、P2(x2，y2)邮报特殊情况：=1时得到中点公式。而且，实际上，如果起点相同，则端点有三个向量：o和P1P2不共线，并且永远有=u v，u v=1。也就是说，第三个向量始终可以用两个向

5、量的线性组合表示，系数和为1。(5)换算公式：点转换公式，如果点P(x，y)按=(h，k)平移到P(x ，y )(x，y)，(x ，y 是旧、新坐标、转换法则点p已知可以在三组坐标中找到第三组坐标：新坐标、旧坐标和转换法则图形转换：按=(h，k)转换曲线c: y=f (x)，转换后曲线C 的分析公式为y-k=f(x-h)当h，k之一为零的时候，就在前面已经研究过的左右下转换转换简化了函数分析公式，使研究曲线的几何特性更加容易(6)正弦定理，余弦定理正弦定理：馀弦定理：a2=b2 c2-2cbcosAB2=c2 a2-2cacosBC2=a2 b2-2abcosc清理转换：cosA=，cosB=

6、，cosC=正弦定理和余弦定理是求解三角形的重要和基本工具。阅读教科书的同时，理解用向量法推导正余弦定理的重要思想方法。5、向量是重要的数学概念和强大的解题工具。可以使用矢量证明直线的垂直、直线的平行、角度等。尤其是正交坐标系的引入反映了矢量解决方案问题的“程序性”特性。四、典型例子示例1，插图，是单位矢量，包含角度为1200，包含角度为450，| |=5，依此类推。分析：邻居，对角线的平行四边形向量在中分解，方向在中分解。例如，设定=、=、0、0如果是= 875 |=| |=1=|，=| |在OEC中，e=600，OCE=750:说明：将一个矢量表示为多个矢量的线性组合是矢量中的基本和重要问

7、题，通常通过平行四边形配置进行处理示例2，在已知的ABC中，A(2，-1)、B(3，2)、C(-3，-1)，BC边的高度是AD，用于获取点d和矢量坐标。分析：解方程如果设定D(x，y)，则=(x-2，y 1)=(-6，-3)，=06(x-2)-3(y 1)=0，即2x y-3=0 875=(x-3，y-2)，6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y 1=0 例子：d(1，1)，=(-1，2)范例3，向量=，-1)和=(1，)夹角相同，且具有模具的向量的座标。分析：解方程方法1:设置=(x，y)，x-y，=x y875，=，就是又|=x2 y2=2 或(家)=方法2:从分析形态的特征开始。875

8、 |=| |=2=0 AOB是等腰直角三角形，如图所示AOC=BOCc是AB中点c()说明：数字组合是学好矢量的重要思维方式，通过分析图的几何特性，可以简化计算。范例4，OAB的边OA，在OB上各取点m，在OB上各取n，并设定| |:=1: 3，| | |=1: 4，将区段AN和BM设定为与点p相交，符号=，=，表示向量分析：b、p、m共线注释=s同样，记住=不共线要解开：说明：将点从共线转换为矢量共线，并引入参数(例如s，t)是其中一种常用技术。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用这个定理唯一性的性质，得到s，t的方程。示例5，已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，e是BC中点，p是AB

9、上一点(1)使用向量知识判断点p在哪里时，PED=450；(2)如果PED=450，证据：p，d，c，e通4点。分析：可以使用坐标系确定点p位置设定平面直角座标系统，如图所示C (2，0)、d (2，3)、e (1，0)设定P(0，y)=(1，3)，=(-1，y)=3y-1Cos450=替换为=解决方案(房屋)或y=2点p是点a附近的AB三等分位置(3)当PED=450时，已知(1) P(0，2)=(2，1)，=(-1，2)0dpe=900和DCE=900d、p、e、c四点公园说明：使用矢量处理几何问题的步骤急剧如下：设置平面直角坐标系；设定点的座标。寻找相关向量的坐标。使用矢量计算结果；得出

10、结论。同步练习(a)选择题1，平面内三点A(0，-3)、B(3，3)、C(x，-1)、x的值为：a，-5 B，-1 C，1 D，52、平面上的A(-2，1)、B(1，4)、D(4，-3)、c点满足、连接到DC、延伸到| | | |时，点e坐标为：a，(-8，)b，()c，(0，1) D，(0，1)或(2，)2，点(2，-1)沿向量转换为(2，1)，点(-2，1)沿以下方向转换：3，a，(2，-1) B，(-2，1) C，(6，-3) D，(-6，3)4，在ABC中，如果2cosBsinC=sinA，则此三角形为：a、直角三角形b、等腰三角形c、等腰三角形d、以上都可以5，为非零的任意平面向量，

11、且彼此不共线： () ()=0 | |-| |-|与() ()不垂直(3 2)(3-2)=9|2-4|2中，真正的命题是：a，B，C，D，6，在ABC中，如果a4 B4 c4=2c2(a2 B2)，c度：a、600 B、450或1350 C、1200 D、3007，在OAB中，如果=，=，=，r，则点p为a，在具有AOB平分线的直线上b，在线段AB垂直线上c，在具有AB边缘的直线中，d，AB边缘的中心线8，如果矩形PQRS对角交点为m，坐标原点o不在矩形内部，并且=(0，3)，=(4，0)=a、()b、()c、(7，4) D、()(b)填写空白问题9，已知，|为，=-2-，共线为10，如果已知| |=，|=1，=-9，则的夹角为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。11，集，两个单位矢量，夹角600，(2-)(-3 2)=_。12.函数y=沿cosx图像转换，以获得函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的图像。(c)解决问题13，选择设置=(3，1)，然后选择=(-1，2)，以查找满足=的坐标。其中o是坐标原点。寻找14=(2，-8)、-=(-