专题12 向量与圆锥曲线(教师版)高考数学复习专题,高中数学课件,数学课件,数学,课件

1、专题专题 1212向量与圆锥曲线向量与圆锥曲线 高考在考什么高考在考什么 【考题回放】【考题回放】 x2y2 1点 P(-3,1)在椭圆 2 2 1(a b 0)的左准线上.过点 P 且方向为 a a=(2,-5)的 ab 光线,经直线y=-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A ) 3211 ( B )( C )( D ) 3232 uuuu r uuuur y2 21的焦点为 F 1、F2，点 M 在双曲线上且 MF 1MF2 0,则 2已知双曲线x 2 ( A ) 点 M 到 x 轴的距离为（C） （A） 2 345 （B）（C）（D） 3 333 r uuu ruuu r

2、uuu ruuu 点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点，若BP 2PA且OQgAB 1，则点 P 的轨迹方程 是（D ） 3 设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点， 点 Q 与 3 2 3 y 1(x 0, y 0)B3x2y21(x 0, y 0) 22 33 Cx23y21(x 0, y 0)Dx23y21(x 0, y 0) 22 A3x2 4已知两点M（2，0）、N（2，0），点 P 为坐标平面内的动点，满足 MN MP MN NP 0 ，则动点 P（x，y）的轨迹方程为（ B ） （A）y2 8x（B）y2 8x（C）y2 4x（D

3、）y2 4x 5若曲线 y2|x|1 与直线 ykxb 没有公共点，则 k、b 分别应满足的条件是 k k 0,b b(1,1) 6已知两定点F 1 2,0 ,F 2 uuu u ruuu r 2,0 ，满足条件PF 2 PF 1 2的点 P 的轨迹 是曲线 E，直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A,B 两点。如果AB 6 3，且曲线 E 上存在点 uuu ruuu ruuu r C，使OAOB mOC，求 m 的值和ABC 的面积 S。 【专家解答专家解答】由双曲线的定义可知，曲线E是以 F 1 2,0 ,F 2 且c 2,0为焦点的双曲线的左支， 22 2, a 1，易知b 1， 故曲

4、线E的方程为x y 1x 0 设Ax 1,y1 ,Bx 2 ,y 2 ，由方程组 y kx1 22 x y 1 消去y，得1k2x22kx2 0 又已知直线与双曲线左支交于两点A,B，有 1k2 0 2 2 2k 81k 0 解得 2 k 1 x x 2k 0 12 1k2 2 x 1x2 0 21k 又 AB 1k x 1 x 2 1k 2 22x 1 x 2 2 4x 1x2 22 2 2 2 2k 21 k2 4 2 1k2 1k 依题意得 2 1k 2k 1k 42 1k 2k 6 1k 22 2 2 3 整理后得28k 55k 25 0 555 或k2但 2 k 1k 274 5 x

5、 y 1 0 故直线AB的方程为 2 uuu ruuu ruuu r 设Cxc,yc，由已知OAOB mOC，得x 1, y1 x 2 , y 2 mx c ,my c k2 x 1 x 2 y 1 y 2 , ，m0 mm 2k2k22 又x 1 x 2 2 4 5，y 1 y 2 kx 1 x 2 2 2 2 2 8 k 1k 1k 1 8064 点C 4 5 , 8 将点C的坐标代入曲线E的方程，得 2 2 1 mm mm x c , y c ， 得m 4，但当m 4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 m 4，C点的坐标为 5,2 5 ，C到AB的距离为 2 5 21 5 2 1 2

6、 2 1 3 ABC的面积S 11 6 33. 23 高考要考什么高考要考什么 【考点透视】【考点透视】 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 （1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向 量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标 准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。 【热点透析】【热点透析】 向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学 知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此， 解析几何与平面向量的融合交汇是

7、今后高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。 要注意以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问 题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。 突破重难点突破重难点 y2 【范例【范例 1 1】设双曲线x1上两点 A、B，AB 中点 M（1，2） 2 （1）求直线 AB 方程； （2）如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于C、D 两点，那么 A、B、C、D 是否共圆，为什么？ 解析：解析：（1）法一：显然 AB 斜率存在。 设 AB：y-2=k(x-1) y kx 2 k 由 2 y2 得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 1 x

8、2 x x 2 k(2 k) 当0 时，设 A（x1,y1），B（x2,y2），则 1 2 2 k2 k=1，满足0 直线 AB：y=x+1 2 y12 1 x 1 2 法二：设 A（x1,y1），B（x2,y2）， 则 2 2 y 2 x 2 1 2 1 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 2 y y 2 2(x1 x 2 )21 x1x 2 1 k AB 1 x1 x 2 y1 y 2 2 2 y2 AB：y=x+1代入x1得0. 2 （2）设 A、B、C、D 共圆于M，因AB 为弦，故 M在 AB 垂直平分线即 CD 上； 又 CD 为弦， 故圆心 M为

9、 CD 中点。 因此只需证CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD| y x 1 由 2 y2 得 A（-1，0），B（3，4）. 又 CD 方程：y=-x+3 1 x 2 y x 3 由 2 y2 得 x2+6x-11=0. 设 C(x3,y3)，D(x4,y4)，CD 中点 M( x0,y0) 1 x 2 2 x 3 x 4 3,y 0 x 0 3 6 M（-3，6） 2 1 |MC|=|MD|=|CD|=2 10 2 又|MA|=|MB|=2 10 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 则x 0 A、B、C、D 在以 CD 中点，M（-3，6）为圆心，2 10为半径的圆

10、上 【点晴】【点晴】第（1）小题中法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点 时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件0 是否成立；第（2）小 题此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所 有条件，本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心。充分分析平 面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。 【文】【文】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线 y22x 相交于 A、B 两点 （1）求证：“如果直线 l 过点 T（3，0），那么OAOB3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假

11、命题，并说明理由 解解 （1）设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于 点 A(3, 6)、B(3,6). OAOB=3； 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为y yk k(x x3)，其中k k0， y y22x x 由得kyky22y y6k k 0 y y1y y26 y yk k(x x3) 又 x x1 1 y y12,x x2 1 y y22， 22 uuu r uuu r OAOAgOBOB x x1x x2 y y1y y2

12、1 (y y1y y2)2 y y1y y23， 4 综上所述，命题“如果直线l l过点 T(3,0)，那么OAOB=3”是真命题； (2)逆命题逆命题是：设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果OAOB=3,那么该直线 过点 T(3,0).该命题是假命题假命题. uuu r uuu r 1 OBOB=3,直线 AB 的方程为： 例如：取抛物线上的点 A(2,2)，B(,1)，此时OA OAg 2 y y 2(x x1) ，而 T(3,0)不在直线 AB 上； 3 说明：由抛物线y2=2x 上的点 A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足OAOB=3，可得y1y2=6， 或

13、 y1y2=2，如果 y1y2=6，可证得直线 AB 过点(3,0)；如果 y1y2=2，可证得直线 AB 过 点(1,0),而不过点(3,0). 【范例【范例 2 2】已知i , j是 x,y 轴正方向的单位向量，设a=(x 3)i yj, b=(x 3)i yj,且满足bi=|a|.求点 P(x,y)的轨迹. r rr 2 r r 解：法一：Q bi (x 3)i yi j x3， 222 x 3 (x3) y ，化简得y 4 3x， 故点 P 的轨迹是以( 3,0)为焦点以x 3为准线的抛物线 r rrr r 法二：Q bi |b|cos b,i r 则b i表示b在x轴上的投影， 即点

14、P到x 3的距离， 设 F1 (- 3,0)，F2(3,0)， 所以点 P 到定点 F2的距离与到定直线 y d P(x, y) x 3的距离相等， 故点 P 的轨迹是以( 3,0)为焦点以 F 1 x 3 o F2K x x 3为准线的抛物线。 【点晴】【点晴】将向量问题坐标化进而数量化（法一）和将向量问题几何化（法二）是两 种常用转化方法，应熟练掌握。 【 文文 】 已 知i , j是 x,y 轴 正 方 向 的 单 位 向 量 ， 设a=(x 3)i yj , b=(x 3)i yj,且满足|a|+|b|=4. (1) 求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程. (2) 如果过点 Q(0，m

15、)且方向向量为c=(1,1) 的直线 l 与点 P 的轨迹交于 A，B 两 点，当AOB 的面积取到最大值时，求m 的值。 解：(1)a=(x 3)i yj,b=(x 3)i yj,且|a|+|b|=4. 点P(x,y)到点(3,0)， (-3,0)的距离这和为4， 故点P的轨迹方程为 x y21 4 (2)设 A(x1，y1),B(x2，y2)依题意直线AB 的方程为 y=x+m.代入椭圆方程，得 2 4(m 1)xx5x28mx 4m2 4 0，则x 1+ x 2 =-8m,= 1255 2 因此，S AOB 22 1 2 ABd 2 5 (5 m2)m2 10 2 当5 m m时，即 m

16、=时，S max 1 【范例【范例3 3】 已知点A(2 2， 0)， B( 2， 0)动点P满足AP AB (1)若动点 P 的轨迹记作曲线 C1，求曲线 C1的方程. (2)已知曲线 C1交 y 轴正半轴于点 Q，过点 D（0， 2 | AB| BP| 2 ）作斜率为 k 的直线交曲 3 线 C1于 M、N 点，求证：无论 k 如何变化，以 MN 为直径的圆过点 Q. 解： （1） 设 P(x， y)， 则有AP (x 2 2, y)AB ( 2,0)BP (x2, y) AP AB 22 2| AB| BP| 2x 4 2 2 (x 2)2 y2 得x 2y 4 2x2y2 1 得 Q

17、(0， 2) 设直线 C 的方程为 y=kx- （2）由 342 4 232 kx 0 代入 x2+2y2=4 得 (1+2k2) x2 39 设 M(x1，y1) N(x2，y2)QM (x1, y12),QN (x2, y22) x1 x2 324 2k x x 12 229(1 2k ) 3(1)k 又QM QN x1x2 (kx1 4 24 2 ) (kx 2 )=x 1x2 (1 k2) 33 32 (1k2) 4 2324 24 2k32 k(x 1 x 2 ) 9 k 0 223912k33(12k )9 QM QN点 Q 在以 MN 为直径的圆上. 【点晴】【点晴】直接法求轨迹

18、是最常见的方法，要注意运用；向量是将几何问题代数化的 有力工具。 【文】【文】如图，过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A，B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点.设点 P 分有向线段AB所 成的比为，证明: QP (QAQB)； 解：依题意，可设直线AB 的方程为y kx m, 2 代入抛物线方程x 4y得x 4kx 4m 0. 2 设 A、B 两点的坐标分别是 (x 1 , y 1 )、(x 2 , y 2 ), 则x1、x2是方程的两根. 所以 x 1 x 2 4m. 由点 P（0，m）分有向线段AB所成的比为，得 又点 Q 是点 P 关于

19、原点的对称点， 故点 Q 的坐标是（0，m），从而QP (0,2m). x 1 x 2 x 0,即 1. 1x 2 QAQB (x 1, y1 m)(x 2 , y 2 m) (x 1 x 2 , y 1 y 2 (1)m). QP(QAQB) 2my 1 y 2 (1)m 2x 1 2x 1 x 2 xx x 4m 2m(11)n 2m(x 1 x 2 )12 4x 2 4x 2 4x 2 4m 4m 0. 2m(x 1 x 2 ) 4x 2 所以QP (QAQB). 【范例【范例 4 4】已知 A,B 为抛物线 坐标为（0，2p） （1）求证：A,B,C 三点共线； x2=2py(p0)上

20、异于原点的两点， uuu r uuu r OAOB 0，点 C uuuu r uuu r （2）若AMBM（R）且OM AB 0试求点 M 的轨迹方程。 uuu r uuu r x 1 2x 2 2 ),B(x 2 ,)，由OAOB 0得 （1）证明：设A(x 1,2p 2p x 1 2x 2 2 x 1x2 0,x 1x2 4p2， 2p 2p uuu rr x 1 2 uuu x 2 2x 1 2 ),AB(x 2 x 1, ) 又Q AC(x 1,2p2p 2p x 2 2x 1 2x 1 2 x 1 (2p)(x 2 x 1)0 ， 2p2p uuu ruuu r AC / AB，即

21、A,B,C 三点共线。 uuuu r uuu r （2）由（1）知直线 AB 过定点 C，又由OM AB 0及AM BM（R） 知 OMAB，垂足为M，所以点M 的轨迹为以 OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。 【点晴】【点晴】两个向量的平行（共线）与垂直的充要条件在解析几何中有重要应用。在 解题时尤其要注意几何位置向量表达式坐标表示之间的转化。 【文】【文】已知双曲线 M：x2y2=1，直线 l 与双曲线 M 的实轴不垂直，且依次交直线 y=x、双曲线 M、直线 y=x 于 A、B、C、D 四点，O 为坐标原点 uuu ruuu ru

22、uu r (1) 若AB BC CD，求AOD 的面积； (2) 若BOC 的面积等于AOD 面积的 1 ，求证：AB BC CD 3 22 解：（1）设l : y kx b代入x y 1, 得(1 k )x 2bkx b 1 0. L L (1) 显然k 1, 22 222 uuu ruuu ruuu r y A B 4b k 4(1b )(1 k ) 0, 2222 即b (1k ) 0. 设B(x 1, y1 ),C(x 2 , y 2 ), 则x 1,x2是方程(1) 的两 (1b2) 2bk , x 1x2 .个根，有x 1 x 2 221k1k 设A(x 3 , y 3 ), D(

23、x 4 , y 4 ) 由 O l C D x y kxb, 1k y x, by kxb, Q AB BC CD,所以x 1 x 2 1 x 3 x 4 。由得x 4 3 1k y x, 得x 3 b ;。 24b 4 12b ,整理，得b2 9 (k21).所以 83 1k21k2 bb Q b2 0,k21.又Q OA 2, OD 2,AOD 90, 1 k1 k 2bk 1k2 2 S AOB 1 2 OA OD 9 . 1k28 x x 4 x 1 x 2 bk 2 ,x Q 3 bk 2 , 22 1k1k b2 （2）设BC的中点为P, AD的中点Q,则xP xP xQ, 又P,

24、Q都在直线上, 所以P,Q重合. AP DP, AP BP DP CP, AB CD. 又S BOC 1 S AOD , BC 1 AD, AB CD 2 AD , AB BC CD. 333 自我提升自我提升 1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知 A（3，1），B（-1，3），若点 C 满 足OC OAOB，其中R，且=1，则点 C 的轨迹方程为(D) A 3x+2y-11=0B(x-1)2+(y-2)2=5C 2x-y=0D x+2y-5=0 2、已知i , j是 x,y 轴正方向的单位向量，设a=(x 2)i yj, b=(x 2)i yj, 且满足|a|+|b|=4.则点 P(x

25、,y)的轨迹是.( C ) A椭圆B双曲线C线段D射线 3、中心在原点，焦点在坐标为(0，52)的椭圆被直线 3xy2=0 截得的弦的中 点的横坐标为 1 ，则椭圆方程为(C ) 2 2x22y22x22y2x2y2x2y2 A.1 B.1C.1 D.1 2575752525757525 x2y2 1恒有公共点，则m的取值范围是（A）. 4、直线y=kx+1与椭圆 5m 5、 已知i , j是x,y轴正方向的单位向量， 设a=(x 3)i yj,b=(x 3)i yj, y2 2 且满足|a|-|b|=2.则点 P(x,y)的轨迹 C 的方程为_.( x 1(x 0). 2 6已知A、B 为抛

26、物线 x2=2py (p0)上两点，直线AB 过焦点 F，A、B 在准线上的 射影分别为 C、D，则y 轴上恒存在一点 K，使得KA KF 0；CF DF 0； 存在实数使得 AD AO；若线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T，有 A、m1且m5B、m1C、m5D、m5 FT AB 0。中说法正确的为_ 7已知圆x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线l 同时满足下列两个条件：与双曲线 交于不同两点；与圆相切， 且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。 求直线 l 方程。 分析：分析：选择适当的直线方程形式，把条件“l 是圆的切线”“切点 M 是弦 AB 中点”翻 译为关于参数的方程组。 法一：当 l 斜率不存在时，x=-1 满足； 当 l 斜率存在时，设 l：y=kx+b 与O 相切，设切点为 M，则|OM|=1 |b| 1 b2=k2+1 k21 y