2020高考数学 专题练习 二十一 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 文（通用）

1、高考专题训练二十一函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题班级_姓名_时间：45分钟分值：80分总得分_1(2020湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可

2、以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)分析：本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力解：(1)由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3333，即当车流密度为100辆/千米

3、时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时2(2020广东卷)设b0，数列an满足a1b，an(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2anbn11.分析：通过变形转化，构造基本数列(等差数列、等比数列)是求解递推数列通项的常用思路，而对于不等式的证明，可运用分析法，将其变形再给予证明(1)由an联想到取倒数得，令cn，有cncn1，当b1时，cn为等差数列，当b1时，设cnk(cn1k)，展开对比得k，构造等比数列，求得cn后再求an；(2)当b1时，易验证，当b1时，先用分析法将2anbn11转化为bn11，利用公式anbn(ab)(an1an2bbn1)

4、，再转化为2nbn(bn11)(1bb2bn1)，然后将右边乘开，再利用基本不等式即可得证解：(1)a1b0，an，令cn，则cncn1，当b1时，cn1cn1，且c11，cn是首项为1，公差为1的等差数列，cn1(n1)1n，于是cnn，这时an1；当b1时，cn，且c1，是首项为，公比为的等比数列，cnn1，由得an， (2)证明：由(1)得，当b1时，an1,2anbn1122成立，当b1时，an，2anbn11bn11，而1bn(1b)(1bb2bn1)，又b0，故只需证：2nbn(bn11)(1bb2bn1)，()而(bn11)(1bb2bn2bn1)(b2nb2n1bn1)(bn1

5、bn2b1)(b2n1)(b2n1b)(bn1bn1)2bn2bn2bn2nbn.()式成立，原不等式成立3(2020重庆卷)设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图象关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值分析：本小题主要考查利用导数的求法、导数的几何意义、二次函数的图象与性质讨论函数的极值等问题在具体处理过程中，先求得函数的导数，再根据导数的符号明确其增减性，进而明确极值情况解：(1)因f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb.从而f(x)62b，即yf(x)关于直线x对称，从而由题设条件知，解得a3.又由于f(

6、1)0，即62ab0，解得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x12，x21.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数从而函数f(x)在x12处取得极大值f(2)21，在x21处取得极小值f(1)6.4(2020四川卷)过点C(0,1)的椭圆1(ab0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(a,0)过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(2)当点P异于点B时，求证：为定值分析：本小题考查直线、椭圆、平面向量基本概念，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查解析几何中的常见思想方法，考查学生细致的运算能力及综合运用知识分析和解决问题的能力属于较难题解：(1)由已知得b1，e，解得a2，所以椭圆方程为y21.椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为yx1，代入椭圆方程化简得7x28x0.解得x10，x2，代入直线l的方程得y11，y2，所以D点坐标为.故|CD| .(2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为ykx1(k0且k)代入椭圆方程化简得(4k21