天津高三数学综合性专题导数在研究函数中的应用 3利用导数研究不等式成立 教师专用

1、导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 3 3利用导数研究不等式成立利用导数研究不等式成立 1、设函数f (x) 2x33ax23bx8c在x 1及x 2时取得极值。 （1）求a、b的值； （2）若对于任意的x0， 3，都有f (x) c2成立，求c的取值范围。 解：（1）f (x) 6x26ax3b，因为函数f (x)在x 1及x 2取得极值，则有 6 6a 3b 0， ，解得a 3，b 4。f (1) 0，f (2) 0，即 24 12 a 3b 0 （2）由（1）可知，f (x) 2x39x212x8c， f (x) 6x218x12 6(x1)(x2)。 当x (0， 1)时，f

2、 (x) 0； 当x (1， 2)时，f (x) 0； 当x (2， 3)时，f (x) 0； 所以，当x 1时，f (x)取得极大值f (1) 58c，又f (0) 8c，f (3) 98c。 3时，f (x)的最大值为f (3) 98c。则当x0， 3，因为对于任意的x0，有f (x) c2恒成立， 所以98c c2， 得c 1或c 9， 因此c的取值范围为(， 1)U (9， )。 2、设函数f (x) tx22t2xt 1(xR R，t 0)。 （1）求f (x)的最小值h(t)； （2）若h(t) 2t m，对于t (0， 2)恒成立，求实数m的取值范围。 解：（1）Q f (x)

3、t(xt)2t3t 1(xR R，t 0)， 当x t时，f (x)取最小值f (t) t3t 1，即h(t) t3t 1。 （2）令g(t) h(t)(2t m) t33t 1m， 由g(t) 3t23 0得t 1，t 1（不合题意，舍去）。 当t变化时g(t)，g(t)的变化情况如下表： g(t)在(0， 2)内有最大值g(1)1m。 h(t) 2t m在(0， 2)内恒成立等价于g(t) 0在(0， 2)内恒成立，即等价于 1m0，所以m的取值范围为m 1。 3、已知函数fx x a bx 0，其中a,bR。 x （1）若曲线y f x在点 P2, f2处的切线方程为y 3x 1，求函数

4、fx的 解析式； （2）讨论函数f x的单调性； 1 1 （3）若对于任意的a ,2，不等式f x10在 ,1上恒成立，求b的取值 24 范围。 解：（1）f (x) 1 a ， 2x 由导数的几何意义得f (2) 3，于是a 8， 由切点P(2，f (2)在直线y 3x1上可得2b 7， 解得b 9，所以函数f (x)的解析式为f (x) x （2）f (x) 1 a ， x2 8 9。 x 当a 0时，显然f (x) 0(x 0)，这时f (x)在,0，0,内是增函数； 当a 0时，令f (x) 0，解得x a； 当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表： 所以f (x)在(,

5、a， a,)内是增函数，在( a， 0)，(0，a)内是减函数。 1 1 （3）解：由（2）知，f (x)在 ,1上的最大值为f 与 f(1)中的较大者， 44 1 1 对于任意的a， 2，不等式f (x)10在 ,1上恒成立， 24 39 1 b 4a， f 10 ， 当且仅当即 4 4 f (1) 10 ，b 9 a 1 对任意的a ， 2成立，从而得b 7 ，所以满足条件的b的取值范围是 42 7 (,。 4 4、设函数f (x) x4ax32x2b(xR R )，其中a,b R。 （1）当a 10 时，讨论函数f (x)的单调性； 3 （2）若函数f (x)仅在x 0处有极值，求a的取

6、值范围； 2，不等式f (x)1在11 ，（3）若对于任意的a2， 上恒成立，求b 的取值范 围。 解：（1）f (x) 4x33ax24x x(4x23ax4) ； 10 时，f (x) x(4x210 x 4) 2x(2x 1)(x 2)。 3 1 令f (x) 0，解得x 1 0，x2，x 3 2。 2 当a 当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表： 1 1 所以f (x)在0， ，(2， ) 内是增函数，在(， 0)， 2内是减函数。 2 2 （2）f (x) x(4x23ax4)，显然x 0不是方程4x23ax 4 0的根； 为使f (x)仅在x 0处有极值，必须4x 3

7、ax40恒成立， 即有 9a2 64 0； 解此不等式，得 a ，这时，f (0) b是唯一极值，因此满足条件的a 8 8 的取值范围是 ， 。 3 3 8 3 8 3 2 2可知 9a264 0，从而4x23ax 4 0恒成立。（3）由条件a2， 当x 0时，f (x) 0；当x 0时，f (x) 0。 ，因此函数f (x)在11上的最大值是f (1)与f (1)两者中的较大者。 2，不等式f (x)1在11 ，为使对任意的a2， 上恒成立，当且仅当 ， b 2 a， f (1) 1 2上恒成立；即 在a2， ， b 2 a f (1) 1 所以b 4，因此满足条件的b的取值范围是(,4。

8、5、设函数f (x) ax2，g(x) a2x2ln x2，其中a R,x 0。 （1）若a 2，求曲线y g(x)在点(1,g(1)处的切线方程； （2）是否存在负数a，使f (x) g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取 值范围；若不存在，请说明理由。 解：（1）由题意可知：当a 2时，g(x) 4x2ln x2 ，则 g(x) 8x 曲线y g(x)在点(1,g(1)处的切线斜率k g(1) 7，又g(1) 6 1 x 曲线y g(x)在点(1,g(1)处的切线的方程为y 6 7(x1) ，即 y 7x1。 （2）设函数h(x) f (x) g(x) ax ln x a2x2(x

9、 0) 假设存在负数a，使得f (x) g(x)对一切正数x都成立。 即：当x 0时，h(x)的最大值小于等于零。 1 2a2x2 ax 1 2h(x) a 2a x (x 0) xx 令h(x) 0可得：x 2 当0 x 当x 11 ,x 1 （舍） 2aa 1 时，h(x) 0，h(x)单增； 2a 1 时，h(x) 0，h(x)单减。 2a 1 所以h(x)在x 处有极大值，也是最大值。 2a h(x) max 1 3 1 h() 0解得：a e4 22a ， 1 3 所以负数a存在，它的取值范围为：a e4 2 。 1 6、已知函数f (x) (a )x2 ln x。（aR） 2 （1

10、）当a 1时，求f (x)在区间1, e上的最大值和最小值； （2）若在区间(1,)上，函数f (x)的图象恒在直线y 2ax下方，求实数a的 取值范围。 1x211 2解：（1）当a 1时，f (x) x ln x，f (x) x ； xx2 对于x1,e，有f (x) 0，f (x)在区间1,e上为增函数， e21 f max (x) f (e) 1，f min (x) f (1) 。 22 1 （2）令g(x) f (x) 2ax (a )x2 2ax ln x，则g(x)的定义域为(0,) 2 在区间(1,)上，函数f(x)的图象恒在直线y 2ax下方等价于g(x)0在区间 (1,)上恒成立。 1(2a 1)x2 2ax 1(x 1)(2a 1)x 1 g(x) (2a 1)x 2a xxx 11 ，令g(x) 0，得极值点x 1 1，x 2 ， 22a 1 1 当x 2 x 1 1，即 a 1时，在(x 2 ,)上有g(x) 0，此时g(x)在区间 2 若a (x 2 ,)上是增函数，并且在该区间上有g(x)(g(x 2 ),)，不合题意； 当x 2 x 1 1， 即a 1时， 同理可知，g(x)在区间(1,)上， 有g(x)(g(1