一线名师指点07年高考数学同步辅导第43讲对称问题（通用）

1、一线名师指点07年高考数学同步辅导第43讲对称问题【考点回放】1点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P（2ax0，2by0）2点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P（x，y），则有，可求出x、y特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P（2ax0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对

2、称点为P（x0，2by0）3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）一般结论如下：（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2ax，2by）=0（2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P（y，x），则由（2）知，P与P的坐标满足从中解出x0、y0，代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程4两点

3、关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，y）；（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（x，y）；（3）点（x，y）关于原点的对称点为（x，y）；（4）点（x，y）关于直线xy=0的对称点为（y，x）；（5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（y，x）【考点解析】1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为A.（a，b） B.（b，a）C.（a，b） D.（b，a）解析：N（a，b），P（a，b），则Q（b，a）答案：B2.（2020年浙江，理4）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲

4、线方程是A.y2=84x B.y2=4x8C.y2=164x D.y2=4x16解析：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4x，y）.因为Q（4x，y）在曲线y2=4x上，所以y2=4（4x），即y2=164x.答案：C3.已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是A.=B.p=5C.m=n且p=5D.=且p=5解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（x）+my+5=0，即xmy5=0，与l2比较，m=n且p=5.反之亦验证成立.答案：C4.点A（4，5）关

5、于直线l的对称点为B（2，7），则l的方程为_.解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.答案：3xy+3=05.设直线x+4y5=0的倾斜角为，则它关于直线y3=0对称的直线的倾斜角是_.解析：数形结合.答案：6（2020湖北卷）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是A BC D解：设P（x，y），则Q（x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a0，b0，于是，由可得ax，b3y，所以x0，y0又（a，b）（x，3y），由1可得故选D【考点演练】1.（2020年全国卷，4）已知圆C与圆（x1）2+y2=1关于直线y=x对

6、称，则圆C的方程为A.（x+1）2+y2=1 B.x2+y2=1C.x2+（y+1）2=1 D.x2+（y1）2=1解析：由M（x，y）关于y=x的对称点为（y，x），即得x2+（y+1）2=1.答案：C2.与直线x+2y1=0关于点（1，1）对称的直线方程为A.2xy5=0 B.x+2y3=0C.x+2y+3=0 D.2xy1=0解析：将x+2y1=0中的x、y分别代以2x，2y，得（2x）+2（2y）1=0，即x+2y+3=0.故选C.答案：C3.两直线y=x和x=1关于直线l对称，直线l的方程是_.解析：l上的点为到两直线y=x与x=1距离相等的点的集合，即=x1，化简得x+y2=0或3

7、xy2=0.答案：x+y2=0或3xy2=04.直线2xy4=0上有一点P，它与两定点A（4，1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是_.解析：易知A（4，1）、B（3，4）在直线l：2xy4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大.答案：（5，6）5.已知ABC的一个顶点A（1，4），B、C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.解：设点A（1，4）关于直线y+1=0的对称点为A（x1，y1），则x1=1，y1=2（1）（4）=2，即A（1，2）.在直线BC上，再设点A（1，4）关于l2：x

8、+y+1=0的对称点为A（x2，y2），则有（1）=1，+1=0.解得 x2=3，y2=0，即A（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得=，即x+2y3=0为边BC所在直线的方程.【题型讲解】例1 求直线a：2x+y4=0关于直线l：3x+4y1=0对称的直线b的方程分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时ABl，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180，一定与b重合使用这些性质，可以找出直线b的方程解此题的方法很多，总的来说有两

9、类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程解：由 ，解得a与l的交点E（3，2），E点也在b上方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为2，直线l的斜率为则 =解得k=代入点斜式得直线b的方程为y（2）=（x3），即2x+11y+16=0方法二：在直线a：2x+y4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），由解得B（，）由两点式得直线b的方程为=，即2x+11y+16=0方法三：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y1=0的对称点Q（x0，y0），则有解得x0=，y0=Q（x0，y0）在直

10、线a：2x+y4=0上，则2+4=0，化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程方法四：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，42x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y1=0对称，则有消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y4=0（舍）点评：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成

11、此题例2 光线从点A（3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（2，6），求射入y轴后的反射线的方程分析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称解：A（3，4）关于x轴的对称点A1（3，4）在经x轴反射的光线上，同样A1（3，4）关于y轴的对称点A2（3，4）在经过射入y轴的反射线上，k=2故所求直线方程为y6=2（x+2），即2x+y2=0点评：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透例3 已知点M（3，5），在直线l：x2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使MPQ的周长最小分析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连

12、线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的MPQ的周长最小解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（3，5）据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y7=0令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，） 解方程组得交点P（，）故点P（，）、Q（0，）即为所求点评：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果例4 若抛物线上总存在关于直线的异于交点的两个对称点，试求实数的取值范围 解法一：（对称曲线相交法）曲线关于直线对称的曲线方程为如果抛物线上总存在关于直线对称的两点，则两曲线与必

13、有不在直线上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由： 代入得有两个不同的解，解法二：（对称点法）设抛物线上存在异于于直线的交点的点，且关于直线的对称点也在抛物线上 则 必有两组解(1)-(2)得 必有两个不同解，有解 从而有 有两个不等的实数解即 有两个不等的实数解 ， 解法三：（点差法）设抛物线上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是抛物线（即）内的点从而有由 (1)-(2)得 由从而有例5 试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称解：设椭圆上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是椭圆内的点 从而有由 (1)-(2)得 由由在直线上从而有小结：1对称问题的核心是点关于点的中心对称和

14、点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理2许多问题都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等3对称问题除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外，还可以用求轨迹的思想代入法来求解【基础演练】1已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为A（a，b） B（b，a）C（a，b） D（b，a）解析：N（a，b），P（a，b），则Q（b，a）答案：B2曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是Ay2=84x By2=4x8 Cy2=164x Dy2=4x16解：

15、设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4x，y）因为Q（4x，y）在曲线y2=4x上，所以y2=4（4x），即y2=164x答案：C3已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是A= Bp=5 Cm=n且p=5 D=且p=5解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（x）+my+5=0，即xmy5=0，与l2比较，m=n且p=5反之亦验证成立答案：C4点A（4，5）关于直线l的对称点为B（2，7），则l的方程为_解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线答案：3x

16、y+3=05设直线x+4y5=0的倾斜角为，则它关于直线y3=0对称的直线的倾斜角是_答案：6一个以原点为圆心的圆与圆x2+y2+8x4y=0关于直线l对称,则直线l的方程是 答案：2xy+5=07直线y=3x4关于点P(2,1)对称的直线l的方程是 答案：3xy10=0 用求方程的方法或几何性质(平行)均可8方程x2+y2+2ax2ay=0所表示的圆的对称轴方程为 答案：x+y=0提示：点(x,y)与点(y,x)关于直线x+y=0对称9如果直线axy+3=0与直线3xyb=0关于直线xy+1=0对称，则a= , b= 答案：1/3, 5 说明：掌握k=1时，求对称点的方法10已知圆C与圆关于

17、直线y=x对称，则圆C的方程为A（x+1）2+y2=1 Bx2+y2=1 Cx2+（y+1）2=1 Dx2+（y1）2=1解：由M（x，y）关于y=x的对称点为（y，x），即得x2+（y+1）2=1答案：C11与直线x+2y1=0关于点（1，1）对称的直线方程为A2xy5=0 Bx+2y3=0 Cx+2y+3=0 D2xy1=0解：将x+2y1=0中的x、y分别代以2x，2y，得（2x）+2（2y）1=0，即x+2y+3=0故选C答案：C12两直线y=x和x=1关于直线l对称，直线l的方程是_解：l上的点为到两直线y=x与x=1距离相等的点的集合，即=x1，化简得x+y2=0或3xy2=0答案

18、：x+y2=0或3xy2=013直线2xy4=0上有一点P，它与两定点A（4，1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是_解：易知A（4，1）、B（3，4）在直线l：2xy4=0的两侧作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大答案：（5，6）14已知曲线C：y=x2+x+2关于点(a,2a)对称的曲线是C/,若C与C/有两个不同的公共点,求a的取值范围解：曲线C/的方程为y=x2+(14a)x+(4a2+2a2),联立C与C/的方程并消去y得：x22ax+2a2+a2=0, 由0得：2a0. 又=，=.线段AB的中点M（，）.M点在直线AB上，=+b，即b=.

19、 将代入得1+4a（1）0.a.5.（2020年新课程，理10）已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1x42，求tan的取值范围.解：设P1B=x，P1P0B=，则CP1=1x，P1P2C、P3P2D、AP4P3均为，tan=x.又tan=x，CP2=1.而tan=x，DP3=x（3）=3x1.又tan=x，AP4=3.依题设1AP42，即132，4.tan.6. 已知两点A（2，3）、B（4

20、，1），直线l：x+2y2=0，在直线l上求一点P.（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|PB|最大.解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.则有 +22=0，（）=1.解得 x1=，y1=.由两点式求得直线A1B的方程为y=（x4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，）.由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.（2）由两点式求得直线AB的方程为y1=（x4），即x+y5=0.直线AB与l的交点可求得为P（8，3），它使|PA|PB|最大.7. 直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围.解法一：设直线l的方程为y1=k（x1），弦的两个端点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2）