东北三省四市2020届高三数学第一次模拟试题 文（含解析）（通用）

1、东北三省四市2020届高三数学第一次模拟试题 文（含解析）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求解出集合，根据交集运算得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，表示复数的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】将整理为，可得对应的点为，由此得到结果.【详解】对应的点为：对应的点在第一象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数运

2、算和复数的几何意义，属于基础题.3.下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将函数整理为，可求得对称中心为：，当时得到结果.【详解】函数的对称中心横坐标为： 可知函数图象的对称中心为：可知当时，为函数的对称中心本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数式的化简，得到的形式，再求解对称中心的问题，采用整体对应的方式求解对称中心是重点.4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 720【答案】B【解析】【分析】直接模拟程序框图运行.【详解】由题得p=1,14，k=2,p=2,24,k=3,p=6

3、,34，k=4,p=24,4=4,p=24.故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用，结合求得结果.【详解】由等差数列性质可知：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质及求和公式的应用，属于基础题.6.已知m，n为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.【详解】当时，若，可得又，可知本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行的判定，属

4、于基础题.7.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量，年，某企业连续年累计研发投入达亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这年间的研发投入（单位：十亿元）用如图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的是（ ）A. 年至年研发投入占营收比增量相比年至年增量大B. 年至年研发投入增量相比年至年增量小C. 该企业连续年研发投入逐年增加D. 该企业连续年来研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】【分析】根据折线图和条形图依次判断各个选项，从而得到结果.【详解】选项：年至年研发投入占营收比增量达2%；年至年增量不到，由此可知正确；选项：年至年研发投入增量为；年

5、至年研发投入增量为，可知正确；选项：根据图表，可知研发投入绝对量每年都在增加，正确；选项：年至年研发投入占营收比由降到，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查统计图标中的折线图和条形图，属于基础题.8.若，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以和作为临界值，依次判断所处范围，从而求得结果.【详解】，即，又，可知，即可得：本题正确选项：【点睛】本题考查指数、对数的比较大小问题，常用方法是结合函数单调性，通过临界值来处理.9.我国古代数学名著九章算术-商功中阐述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖觸，阳马居二，鳖属居一.不易之率也，合两鳖觸三而一

6、，验之以基，其形露矣，”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为. 则对该几何体描述：四个侧面都是直角三角形最长的侧棱长为四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形外接球的表面积为其中正确的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图还原几何体，根据长度关系依次验证各个选项，可得正确结果.【详解】由三视图还原几何体，如下图所示：由三视图可知：，且面，面，可知，为直角三角形；又，可知面，得，为直角三角形；又，可知面，得，为直角三角形；可知四个侧面均为直角三角形，正确；由图可知，最长侧棱为，且，正确；三边长为：；三边长为：；三边长为：；三边长为：

7、可知四个侧面均不相同，错误；外接球球心为中点，则，则外接球表面积为：，正确.本题正确选项：【点睛】本题考查由三视图还原几何体、空间中的线面关系、多面体的外接球问题，关键是能够通过三视图得到几何体的长度关系和角度关系.10.函数f（x）=的部分图象大致是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】函数f（x）的定义域为（-，-）（-，）（，+）f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=0，

8、故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项11.已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若的中点在轴上的射影分别为，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过，可知，假设直线代入，整理出韦达定理的形式，从而构造出关于的方程，求得结果.【详解】有题意知：设直线方程为：，即代入抛物线方程可得：

9、设，则，由可得：即：解得：本题正确选项：【点睛】本题考查直线与抛物线的问题，关键是能够利用韦达定理表示出线段长度，从而构造出方程，使问题得以求解.12.已如函数f（x）=，若x1x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】经过讨论可知，利用可得，从而将化为；通过求解函数的值域求得的取值范围.【详解】设若，则，不成立；若，则，不成立若，则 设，则当时，则单调递减当时，则单调递增本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，本题解题的关键是能够通过讨论得到的范围，从而构造出新函数，再利用导数求得结果.第卷（非选择题共

10、90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分13.已知，且2是，的等比中项，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】通过等比中项得到，再利用基本不等式求得最小值.【详解】由题意得：又，当且仅当时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，属于基础题.14.已知矩形，以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.【详解】为焦点 在双曲线上，则又 本题正确结果：【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.15.已知是两个单位向量，且夹角为，则数量积的最小值为_【答案】【解析】【分析】通过数量积运算

11、律，可将数量积化为，根据二次函数可求得最小值.【详解】由题意：当时，最小值为：本题正确结果：【点睛】本题考查向量数量积的运算律，结合二次函数求得最值，关键是能通过运算律将问题转化为模长和夹角运算的问题，难度不大.16.已知数列中， 则_【答案】【解析】【分析】根据递推公式，可配凑出，从而得到为等差数列，通过求解前项和求得结果.【详解】 可知：数列为等差数列，首项为，公差本题正确结果：【点睛】本题考查利用数列递推公式求解数列前项和问题，关键是能够采用倒数法，将递推公式整理为等差数列定义式的形式，从而配凑出等差数列，利用等差数列相关知识求解得到结果.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过

12、程或演算步骤. 17.在中，.（）若，求的面积；（）若，求的长.【答案】（）；（） .【解析】【分析】（）利用正弦定理求得，可得，求出后可得面积；（）根据，利用余弦定理建立方程，求得结果.【详解】（）由正弦定理得： （）设，则根据可得：解得：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题；关键是能够通过互补角的余弦值互为相反数的关系建立起方程，从而求得结果.18.某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人人，乙车间有工人人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位

13、：）进行统计，按照进行分组，得到下列统计图.分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于的人数；分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测车哪个车间工人的生产效率更高？从第一组生产时间少于的工人中随机抽取人，求抽取人中，至少人生产时间少于的概率.【答案】甲车间：人；乙车间：人；甲车间平均值：；乙车间平均值：；乙车间工人生产效率更高； 【解析】【分析】分别计算出在生产完成一件产品的频率，然后估算总体的频数；利用频数分布图和频率分布直方图分别估计平均值，由于乙车间平均值较小，可得乙车间生产效率高；可确定工人共有人，其中少于的共有人，列举出所有基本事件，根据古典概型求得结果.【详解】第一组

14、工人人，其中在内（不含）生产完成一件产品的有人甲车间工人中生产一件产品时间少于的人数为（人）第二组工人人. 其中在内（不含）生产完成一件产品的有人乙车间工人中生产一件产品时间少于的人数为（人）第一组平均时间为第二组平均时间为 乙车间工人生产效率更高；由题意得，第一组生产时间少于的工人有人，其中生产时间少于的有人分别用代表，生产时间不少于的工人用代表抽取人基本事件空间为 ，共个基本事件.设事件“人中至少人生产时间少于”则事件共个基本事件【点睛】本题考查统计中的频数分布图和频率分布直方图、分层抽样、古典概型的问题；对于文科考题中的古典概型问题，主要考查的求解方法为：列举法.19.如图，等腰梯形中，

15、,为中点，将沿折到的位置.证明：；当四棱锥的体积最大是，求点到平面的距离.【答案】证明见解析； .【解析】【分析】通过等腰梯形中的长度和平行关系可证得，可知翻折后，从而可得平面，进而证得结论；求解出三棱锥体积后，利用求出结果.【详解】证明：在等腰梯形中，连接，交于点 四边形为平行四边形 为等边三角形在等腰梯形中，, 翻折后可得：又平面，平面， 平面平面 当四棱锥的体积最大时平面平面又平面平面，平面,平面 又设点到平面的距离为【点睛】本题考查立体几何中线线垂直的证明、点到平面距离的求解.在立体几何问题中，证明线线垂直通常采用先证线面垂直，再利用线面垂直性质得到结论；求解点到平面距离的解题方法是利

16、用体积桥的方式建立方程.20.已知椭圆的离心率为，是椭圆的短轴端点，且，点在椭圆上运动，且点不与重合，点满足求椭圆的方程；求四边形面积的最大值.【答案】 ； .【解析】【分析】根据离心率和的长度求得，从而得到椭圆方程；四边形的面积可以表示为：，通过假设直线分别求得和，从而将问题转化为函数最值求解问题，从而得到结果.根据不同的假设直线的方式，会构成不同的函数，得到不同的解法.【详解】 又且，解得：，因此椭圆的方程为法一：设，直线；直线由解得：又 四边形的面积 当时，的最大值为法二：设直线，则直线直线与椭圆的交点的坐标为则直线的斜率为直线由解得：四边形的面积：当且仅当时，取得最大值【点睛】本题考查

17、椭圆标准方程的求解、椭圆中的四边形面积最值的求解.解决椭圆中最值或取值范围问题时，能够根据条件将所求面积构造成关于某一变量的函数关系是解题的关键，得到函数关系后，采用求解函数值域的方式得到最值或取值范围.21.已知函数若函数图象上各点切线斜率的最大值为，求函数的极值点；若关于的不等式有解，求取值范围.【答案】 的极小值点为，无极大值点； 且.【解析】【分析】求导后可知当时，取最大值，从而求得，得到，根据函数单调性求得极值点； 有解，可知，通过导数可得到，设函数，只需，求得，可知且即可，从而得到的取值范围.【详解】 当时，取最大值 此时在上，单调递减；在上，单调递增的极小值点为，无极大值点 且在

18、上，单调递减在上，单调递增关于不等式有解 令 在上，单调递增；在上，单调递减 可知：且的取值范围是且【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，重点考查了利用导数解决能成立问题，关键在于能将能成立的不等式转变为最值与定值的关系，再利用导数求得函数最值，从而求解得到结果.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程选讲22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线：，从原点作射线交于点，点为射线上的点，满足，记点的轨迹为曲线.（）求出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线交于，两点，求的值.【答案】（）(t为参数)，；（）3.【解析】【分析】（）根据点和倾斜角为，代入直线参数方程，得到的参数方程；利用和极坐标的关系得到，