挑战中考数学压轴题21由比例线段产生的函数关系问题

1、2.12.1由比例线段产生的函数关系问题由比例线段产生的函数关系问题 例例 1 20131 2013 年宁波市中考第年宁波市中考第 2626 题题 如图 1，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 点 A 的坐标为(0,4)，点 B 的坐标为(4,0)， 点 C 的坐标为(4,0)，点 P 在射线 AB 上运动，连结 CP 与 y 轴交于点 D，连结 BD过 P、 D、B 三点作Q，与y 轴的另一个交点为 E，延 长 DQ 交Q 于 F，连结 EF、BF （1）求直线 AB 的函数解析式； （2）当点 P 在线段 AB（不包括 A、B 两点） 上时 求证：BDEADP； 设 DEx，DFy，请

2、求出 y 关于 x 的函 数解析式； （3）请你探究：点 P 在运动过程中，是否 存在以 B、D、F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为21？如果存在，求出此时 点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“13 宁波 26” ，拖动点 P 在射线 AB 上运动，可以体验到， DEF 保持等腰直角三角形的形状， y 是 x 的一次函数 观察 BDBF 的度量值， 可以体验到， BDBF 可以等于 2，也可以等于 0.5 请打开超级画板文件名“13 宁波 26” ，拖动点 P 在射线 AB 上运动，可以体验到， DEF 保持等腰直角三角形的形状观察

3、BDBF 的度量值，可以体验到，BDBF 可以等 于 2，也可以等于 0.5 答案答案 （1）直线 AB 的函数解析式为 yx4 （2）如图 2，BDECDEADP； 如图 3，ADPDEPDPE，如图 4，BDEDBPA， 因为DEPDBP，所以DPEA45 所以DFEDPE45因此DEF 是等腰直角三角形于是得到y2x 图 2图 3图 4 （3）如图 5，当 BDBF21 时，P(2,2)思路如下： 由DMBBNF，知BN 1 DM 2 2 2 3 设 OD2m，FNm，由 DEEF，可得 2m24m解得m 因此D(0, )再由直线 CD 与直线 AB 求得交点 P(2,2) 如图 6，当

4、 BDBF12 时，P(8,4)思路同上 4 3 图 5图 6 例例 2 20122 2012 年上海市徐汇区中考模拟第年上海市徐汇区中考模拟第 2525 题题 在 RtABC 中，C90，AC6，sin B 3 ，B 的半径长为 1，B 交边 CB 于 5 点 P，点 O 是边 AB 上的动点 （1）如图 1，将B 绕点 P 旋转 180得到M，请判断M 与直线 AB 的位置关系； （2）如图 2，在（1）的条件下，当OMP 是等腰三角形时，求OA 的长； （3）如图 3，点 N 是边 BC 上的动点，如果以 NB 为半径的N 和以 OA 为半径的O 外切，设 NBy，OAx，求 y 关于

5、x 的函数关系式及定义域 图 1图 2图 3 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 徐汇 25” ，拖动点 O 在 AB 上运动，观察OMP 的三个顶 点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O 和点 P 可以落在对边的垂直平分线 上，点 M 不能 请打开超级画板文件名“12 徐汇 25” ， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三 个角度的大小，可得两种等腰的情形点击“相切”按钮，可得y 关于 x 的函数关系 思路点拨思路点拨 1B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱 2分三种情况探究等腰OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方 法比较简单 3探求y 关于

6、 x 的函数关系式，作OBN 的边 OB 上的高，把OBN 分割为两个具有 公共直角边的直角三角形 满分解答满分解答 （1）在 RtABC 中，AC6，sin B 所以 AB10，BC8 过点 M 作 MDAB，垂足为 D 在 RtBMD 中，BM2，sinB MD 3 ，所以MD 6 BM55 3 ， 5 因此 MDMP，M 与直线 AB 相离图 4 （2）如图 4，MOMDMP，因此不存在 MOMP 的情况 如图 5，当 PMPO 时，又因为 PBPO，因此BOM 是直角三角形 在 RtBOM 中，BM2，cosB BO 4 ，所以BO 8 此时OA 42 BM555 如图 6，当 OMO

7、P 时，设底边 MP 对应的高为 OE 在 RtBOE 中，BE 3 ，cosB BE 4 ，所以BO 15 此时OA 65 2BO588 图 5图 6 （3）如图 7，过点 N 作 NFAB，垂足为 F联结 ON 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ONxy 在 RtBNF 中，BNy，sinB 3 ，cosB 4 ，所以NF 3 y，BF 4 y 5555 在 RtONF 中，OF AB AO BF 10 x 4 y，由勾股定理得 ON2OF2NF2 5 于是得到(x y)2 (10 x 4 y)2(3y)2 55 整理，得y 25050 x 定义域为 0x5 x40 图 7图 8 考点伸

8、展考点伸展 第（2）题也可以这样思考： 如图 8，在 RtBMF 中，BM2，MF 6 ，BF 8 55 在 RtOMF 中，OF10 x 8 42 x，所以OM2 ( 42 x)2(6)2 5555 在 RtBPQ 中，BP1，PQ 3 ，BQ 4 55 在 RtOPQ 中，OF10 x 4 46 x，所以OP2( 46 x)2(3)2 5555 当 MOMP1 时，方程(42 x)2(6)2 1没有实数根 55 当 POPM1 时，解方程(46 x)2(3)2 1，可得x OA 42 555 当 OMOP 时，解方程(42 x)2(6)2 ( 46 x)2(3)2，可得x OA 65 55

9、558 例例 3 20123 2012 年连云港市中考第年连云港市中考第 2626 题题 如图 1，甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发，点 O 为坐标原点甲沿 AO 方向、乙 沿 BO 方向均以每小时 4 千米的速度行走， t 小时后， 甲到达 M 点， 乙到达 N 点 （1）请说明甲、乙两人到达点 O 前，MN 与 AB 不可能平行； （2）当 t 为何值时，OMNOBA？ （3）甲、乙两人之间的距离为 MN 的长设 sMN2，求 s 与t之 间 的 函 数 关 系 式 ， 并 求 甲 、 乙 两 人 之 间 距 离 的 最 小 值图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 连

10、云港 26” ，拖动点N 在射线 BO 上运动，可以体验到，当 上时， MNOBAO，M、N 都在 O 右侧时， MN 与 AB 不平行 当点 A 落在MNBOMN OBA 请打开超级画板文件名“12 连云港 26” ，拖动点N 在射线 BO 上运动，可以体验到，当 上时， MNOBAO，M、N 都在 O 右侧时， MN 与 AB 不平行 当点 A 落在MNBOMN OBAs 与 t 之间的函数关系式呈抛物线图象，当t1 时，甲、乙两人的最小距离为12 千米 答案答案 （1）当 M、N 都在 O 右侧时， OM OA 所以 24tON64t2 12t，1t， 2OB63 OMON 因此 MN

11、与 AB 不平行 OAOB （2）如图 2，当 M、N 都在 O 右侧时，OMNB，不可能OMNOBA 如图 3，当 M 在 O 左侧、 N 在 O 右侧时， MONBOA，不可能OMNOBA ONOA 如图 4，当 M、N 都在 O 左侧时，如果OMNOBA，那么 OMOB 4t 62 所以解得 t2 4t 26 图 2图 3图 4 （3）如图 2，OM 24t，OH 12t，MH 3(12t) NH ON OH (64t)(12t) 52t 如图 3，OM 4t 2，OH 2t 1，MH 3(2t 1) NH ON OH (64t)(2t 1) 52t 如图 4，OM 4t 2，OH 2t

12、 1，MH 3(2t 1) NH OH ON (2t 1)(4t 6) 52t 综合、，s MN2 MH2 NH2 (52t)216t232t 28 16(t 1)2123(2t 1) 所以当 t1 时，甲、乙两人的最小距离为12 千米 2 例例 4 20114 2011 年上海市中考第年上海市中考第 2525 题题 在 RtABC 中，ACB90，BC30，AB50点P 是 AB 边上任意一点，直线PE AB，与边 AC 或 BC 相交于 E点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上，EMEN， sinEMP 12 13 （1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长；

13、（2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A、C 重合，设 APx，BNy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3） 若AMEENB （AME 的顶点 A、 M、 E 分别与ENB 的顶点 E、 N、 B 对应） ， 求 AP 的长 图 1图 2备用图 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“11 上海 25” ，拖动点 P 在 AB 上运动，从图象中可以看到，y 是 x 的一次函数观察图形和角度的度量值，可以体验到，点E 在 AC 和 BC 上，各存在一 个时刻，AMEENB 请打开超级画板文件名“11 上海 25” ，拖动点 P 在 AB 上运动，当点

14、 E 与点 C 重合时， CM 26点E 在边 AC 上时，y 是 x 的一次函数当AP=42时，三角形相似，且满足顶点 对应。 思路点拨思路点拨 1本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐反复解直角三角形，注意对应关系 2备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E 在 BC 上的图形画在备用图中 3第（3）题当 E 在 BC 上时，重新设 BPm 可以使得运算简便一些 满分解答满分解答 （1）在 RtABC 中，BC30，AB50，所以 AC40，sinA 33 ，tanA 54 3 在 RtACP 中，CP ACsinA 40 24 5 在 RtCMP 中，因为sinCMP CP121313 ，

15、所以CM CP 24 26 CM131212 3 x 4 （2）在 RtAEP 中，EP APtanA 在 RtEMP 中，因为sinEMP 因此MP EP12EP12 ，所以tanEMP EM13MP5 55351313313 EP x x，EM EP x x 12124161212416 5 x 16 521 于是y BN AB AP NP 50 xx 50x 1616 已知 EMEN，PEAB，所以 MPNP 定义域为 0x32 513 xx AMEN 1616 （3）如图 3，当 E 在 AC 上时，由，得 MENB1321 x50x 1616 x 解得 xAP22 如图 4，当 E 在 BC 上时，设 BPm，那么 AP50m 在 RtBEP 中，EP 4 m 3 5545131313 EP m m，EM EP 4m m 12123912