数3线性代数复习总结

1、线性代数复习总结线性代数复习总结 第一章：行列式 一、概念（1）全排列与逆序数. （2）行列式：不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项） 二、性质 1、 经转置行列式的值不变 2、 某行有公因子k，可以把k提到行列式外 3、 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和 4、 两行互换行列式变号 5、 某行的k倍加到另一行，行列式的值不变 三、展开式 1、Dn n a j1 n ij A ij （按第i行展开） D n a ij A ij （按第j列展开） i1 n 2、a j1 ij A kj 0 k ia ij A ik i1 n 0 k j a 11 a 12 3、b 1 b 2

2、a n1 a n2 a 11 a 21 a n1 b 1 b 2 b n a 1n b n b 1 A i1 b 2 A i2 b n A in .其中A ij 是a ij 中aij的代数余子式. a nn a 1n a 2n b 1 A 1j b 2 A 2 j b n A nj . a nn 四、计算 1、化成上三角或下三角行列式 2、利用行列式的性质 3、利用行列式的展开式 4、用矩阵的性质,A,B为n阶方阵，则有kA k A,AB A B. n AC 0B A B A0 CB A B, A0 0B A B,其中A,B是方阵. 5、用特征值A i 第二章：矩阵 一、初等变换： 1、初等矩

3、阵：单位阵经过一次初等变换所得的矩阵 2、 初等矩阵P左乘A所得PA就是对A作了一次与P同样的初等行变换； 初等矩阵Q左乘 A所得AQ就是对A作了一次与Q同样的初等列变换 3、任何矩阵都可以通过一系列初等行变换变成行阶梯型与行最简型矩阵 二、逆矩阵 1、证法：n阶方阵A可逆 A 0 RA n B,使得AB E（或者BA E） A的特征值全不为零 2、求法： （1）用定义，找矩阵B,使得AB E，则A1 B (2) 初等变换法 AE E A (3) 用伴随矩阵法A1 r 1 1 A , AA AA AE A 1 A （4）用分块矩阵法 B 1 A 1 r ; 1 B B 1 A 1 A1 B1

4、3、矩阵方程AX B X A B AB E A B AXB C X A1CB1 三、矩阵的秩 1、计算：用初等变换法，用定义法 2、性质 （1）A为mn矩阵，则有RA minm,n （2）RAB minRA,RB;如果A可逆，则有RAB RB. (3)A为n阶方阵，则有RA n A 0;RA n A 0. 四、矩阵运算的性质 1ABC ABC AB C 2A A, AB AB AB.(其中 是数) 3 ABT BTAT 4 AB B1A1. 5A1 1 A T T 1 6 A,B为n阶方阵，则有kA knA,AB A B. 7方阵的幂 五、特殊矩阵 伴随矩阵，正交矩阵AA A A E，对称矩阵

5、，反对称矩阵，对角矩阵 TT 第三章：向量 一、线性表示 向量可由向量组1, 2 , m 线性表示 存在数k 1 ,k 2 , ,k m 使得， k11 k 22 k mm 方程组x 11 x 22 x mm 有解（即是Ax 有解） R 1 , 2 , m R 1 , 2 , m ,（即是RA RA, ） 二、线性相关与线性无关 1 、 向 量 组1, 2 , m 线 性 相 关存 在 不 全 为 零 的 数k1,k 2 , ,k m 使 得 ， k 11 k 22 k mm 0. 2 、 向 量 组 1 , 2 , m 线 性 无 关 如 果 k 11 k 22 k mm 0, 则 有 k

6、1 k 2 k m 0. 3、向量组1, 2 , m 线性相关（无关）方程组x11 x2 2 x mm 0有非零解 （只有零解） （即是Ax 0有非零解（只有零解） ） R 1 , 2 , m m m（即是RA m m） 其中A 1 , 2 , m 4、向量组1, 2 , m ，如果A 1 , 2 , m 是方阵，则 1 , 2 , m 线性相关（无 关） A 0 A 0. 三、最大无关组与向量组的秩 概念 求法： 求向量组1, 2 , m 的秩及其最大无关组， 令A 1 , 2 , m ， 然后对矩阵 A 进行行初等变换，化到行阶梯型（或者行最简型） ，求出A的秩r，向量组的秩也是r。 四、

7、向量组的等价:互相表示 五、向量的正交，x x 1,x2 , ,x n ;y y 1, y2 , , y n , TT x与y正交 x, y xT y 0. 第四章：线性方程组 （以下A为mn矩阵，方程组为n元方程组） 一、基本结论 1、Ax O只有零解 RA n；Ax O有非零解 RA n 2、如果A是n阶方阵，则Ax O只有零解 A 0；Ax O有非零解 A 0. 3、Ax b）有唯一解RA RA,b n Ax b有无穷解RA RA,b n Ax b无解RA RA,b 4、如果A是n阶方阵，则Ax b有唯一解 A 0.且有x j 列式A中把第j列改为常数列，其他不变.（克莱姆法则） 二、基

8、础解系，解得结构 1、 定理，Ax O的秩RA r n,则Ax O得基础解系恰有n k个线性无关的解向量. 2、求Ax b的解，求导出组Ax O的基础解系与Ax b的一个特解 3、解的性质 若1, 2 是Ax b的解，则1 2 是Ax O的解； 若是Ax b的解，是Ax O的解，则是Ax b的解. A j A ,其中A j 是系数行 第五章：特征值与特征向量 一、特征值与特征向量（以下A是n阶方阵） 1、定义Ax x, x 0 x 0， 2、求法：(1)特征值：用定义Ax x, 特征方程AE 0 (2)特征向量：用定义Ax x, x 0 基础解系法，求方程组AEx O的基础解系 3、性质： （1）不同特征值的特征向量线性无关 （2） A i （3）是A的特征值， x是多项式，则是A特征值. （4）A是可逆矩阵，是A的特征值，则 二、矩阵的相似 1、定义A与B相似 P AP B 1 1 1 是A的特征值 2、性质：如果A与B相似，则有 RA RB; 3、可对角化 A B;AE BE. A可对角化A有n个线性无关的特征向量 RA i E n n i ，其中 i 为ni重特征值 4、基