数学中考第二轮专题复习26二次函数

1、二次函数知识点总结及相关典型题目二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分第一部分 基础知识基础知识 1.定义：一般地，如果y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y ax的性质 （1）抛物线y ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y ax的图像与a的符号关系. 当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax（a 0）. 3.二次函数 y ax bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 2 4. 二 次 函 数y ax b

2、x c用 配 方 法 可 化 成 ：y ax h k的 形 式 ， 其 中 2 2 2 2 2 2 2 b4ac b2 h ，k . 2a4a 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax；y ax k； 2 y ax h；y ax h k；y ax bx c. 22 22 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开 口

3、方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 b4ac b2 b 4ac b2 （，） （1） 公式法：y ax bx c ax ， 顶点是， 2a4a2a4a 2 2 对称轴是直线x b . 2a （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h k的形式，得到顶 2 点为(h,k)，对称轴是直线x h. （3）运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形， 所以对称轴的连线 的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y ax bx c

4、中，a,b,c的作用 （1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样. （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c的对称轴是直线 2 2 2 bb ，故：b 0时，对称轴为y轴； 0（即a、b同号）时，对称轴 2aa b 在y轴左侧； 0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. a x （3）c的大小决定抛物线y ax bx c与y轴交点的位置. 当x 0时，y c，抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点（0，c） ： c 0，抛物线经过原点; c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负 半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的

5、对称轴在y轴右侧，则 2 2 b 0. a 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向 当a 0时 对称轴顶点坐标 （0,0） (0,k) (h,0) (h,k) y ax2 y ax k y ax h2 x 0（y轴） 2x 0（y轴） x h x h x b 2a 2 y ax h k 开口向上 当a 0时 y ax bx c 2 开口向下 b4ac b2 ， () 2a4a 11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：y ax bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. 2 （2）顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

6、 2 （3） 交点式： 已知图像与x轴的交点坐标x1、x2， 通常选用交点式：y ax x1x x2 . 12.直线与抛物线的交点 （1）y轴与抛物线y ax bx c得交点为(0, c). （ 2 ） 与y轴 平 行 的 直 线x h与 抛 物 线y ax bx c有 且 只 有 一 个 交 点 (h,ah 2 2 2 bh c). （3）抛物线与x轴的交点 二次函数y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元 二次方程ax bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一 元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点 0抛物线与x轴相交； 有一个交点（顶

7、点在x轴上） 0抛物线与x轴相切； 没有交点 0抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐 标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax bx c k的两个实数根. （5） 一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax bx ca 0的图像G的 2 2 2 2 交点，由方程组 y kxn y ax2bxc 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无 l与G有两个交点; 解时l与G没有交点. （6）抛物线与 x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax

8、bx c与x轴两交点为 2 Ax 1， 0 ，Bx 2， 0，由于 x 1、 x 2 是方程ax2bx c 0的两个根，故 bc x 1 x 2 ,x 1 x 2 aa AB x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 4cb24ac b 4x 1x2 aaa a 2 第二部分第二部分 典型习题典型习题 .已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C） ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0 A E F D C B 第,题图第 4 题图 .二次函数yax bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（） Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca

9、0，b0，c0 Da0，b0，c0 .如图，已知ABC中，BC=8，BC 上的高h 4，D 为 BC 上一点，EF / /BC，交 AB 于 点 E，交 AC 于点 F（EF 不过 A、B） ，设 E 到 BC 的距离为x，则DEF的面积y关于x的 函数的图象大致为（） 2 4 y 44 4 O2 A 4x O2 B 4 O2 C 4 O2 D 4 EF4 x EF 82x,y x24x 84 .抛物线y x 2x3与 x 轴分别交于 A、B 两点，则 AB 的长为 4 2 1)x1与 x 轴交点的横坐标为x 1 、x2（x1x2）6.已知二次函数ykx (2k，则对于下 1)x10有 列结论

10、：当 x2 时，y1；当xx2时，y0；方程kx (2k 2 2 14k2 两个不相等的实数根x1、x2；x11，x21；x2x 1 ，其中所有正 k 确的结论是（只需填写序号） 10.已知抛物线y ax ( 3a)x4与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C是否存在实数 a，使得 2 4 3 ABC 为直角三角形若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由 解：依题意，得点 C 的坐标为（0，4） 设点 A、B 的坐标分别为（x1，0） ， （x 2 ，0） ， 2 由ax (3a)x4 0，解得x1 3，x2 4 3 4 3a 点 A、B 的坐标分别为（-3，0） ， （ A

11、B | 4 ，0） 3a 4 3|，AC AO2OC25， 3a 4 2| 42 3a BC BO2OC2| AB | 2 4164168 3|2 2 239 2 9， 3a9a3a9aa 16 22AC 25，BC 16 9a2 当AB AC BC时，ACB90 由AB AC BC， 222 222 16816 9 25(16) 9a2a9a2 1 解得 a 4 116400625 222 当a 时， 点 B 的坐标为 （， 0） ，AB ，AC 25，BC 4399 得 于是AB AC BC 当a 2 222 1 时，ABC 为直角三角形 4 22 当AC AB BC时，ABC90 由AC

12、 AB BC，得25 ( 解得 a 222 16816 9)(16) 22a9a9a 4 9 444 当a 时， 3，点 B（-3，0）与点 A 重合，不合题意 4 93a 3 9 当BC AC AB时，BAC90 由BC AC AB，得 222 222 16168 16 25 (9) 9a29a2a 解得a 4 不合题意 9 综合 、 、 ，当a 1 时，ABC 为直角三角形 4 11.已知抛物线 yx2mxm2. （1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且AB 5，试求 m 的值； （2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点， 若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并

13、且 MNC 的面积等于 27，试求 m 的值. 解: (1)（x1，0）,B(x2，0) .则 x1，x2是方程 x2mxm20 的两根. x1 x2m , x1x2=m2 0 即 m2 ; 2又 ABx1 x2（x 1+x2 ）4x 1x2 5 , m24m3=0 . 解得：m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 . （2）M(a，b)，则 N(a，b) . M、N 是抛物线上的两点, 2 a mam2 b,L 2 a mam2 b.L y C C MM O x N N 得：2a22m40 . a2m2 . 当 m2 时，才存在满足条件中的两点M、N. a 2m . 这时 M、N 到

14、 y 轴的距离均为 2m, 又点 C 坐标为（0，2m）,而 SM N C= 27 , 2 1 （2m） 2m=27 . 2 解得 m=7 . 12.已知：抛物线yax 4axt与 x 轴的一个交点为 A（1，0） （1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； （2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB 为 一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式； （3）E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 52 的点，如果 点 E 在 （2） 中的抛物线上， 且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧， 问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE 的周长

15、最小?若存在，求出点 P 的坐标； 2 若不存在，请说明理由 解法一： （1）依题意，抛物线的对称轴为x2 抛物线与 x 轴的一个交点为 A（1，0） ， 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点 B 的坐标为（3，0） （2）抛物线yax 4axt与 x 轴的一个交点为 A（1， 0） ， 2 1)t0 t3ayax 4ax3a a(1) 4a( D（0，3a） 梯形 ABCD 中，ABCD，且点 C 在抛物线yax 4ax3a上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形 ABCD 的面积为 9， a1 所求抛物线的解析式为yx 4x3或y x 4ax 3 （3）设点 E 坐标为（x

16、0 ，y 0 ）.依题意，x00，y00， 且 22 2 22 11 (ABCD)OD9(24)3a9 22 55 y 0 x 0 2x 0 2 2 y 0 设点 E 在抛物线yx 4x3上， y0x04x03 2 1 5x ， x 06， 0 y0 x 0 , 2 解方程组得2 515； y0y x24x 3 y 0 0 00 4 点 E 与点 A 在对称轴 x2 的同侧，点 E 坐标为（ 15 ，） 24 设在抛物线的对称轴x2 上存在一点 P，使APE 的周长最小 AE 长为定值，要使APE 的周长最小，只须 PAPE 最小 点 A 关于对称轴 x2 的对称点是 B（3，0） ， 由几何

17、知识可知，P 是直线 BE 与对称轴 x2 的交点 设过点 E、B 的直线的解析式为ymxn， 1 5m, 1 mn ,2 24解得 3 n . 3mn0. 2 直线 BE 的解析式为y 点 P 坐标为（2， 131 x 把 x2 代入上式，得y 222 1 ） 2 22 设点 E 在抛物线y x 4x 3上， y 0 x0 4x 0 3 5 y x 0 , 3 02 解方程组消去y 0，得 x 0 x 030 2 2 y x2 4x 3. 00 0 0 .此方程无实数根 综上，在抛物线的对称轴上存在点P（2， 解法二： （1）抛物线yax 4axt与 x 轴的一个交点为 A（1，0） ， 2

18、 1 ） ，使APE 的周长最小 2 1)t0 t3ayax 4ax3a a(1) 4a( 令 y0，即ax 4ax3a0解得 x 1 1，x 23 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（3，0） （2）由yax 4ax3a，得 D（0，3a） 梯形 ABCD 中，ABCD，且点 C 在抛物线 2 22 2 yax24ax3a上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形 ABCD 的面积为 9， 3a3 a1 所求抛物线的解析式为yx 4x3或yx 4x3 （3）同解法一得，P 是直线 BE 与对称轴 x2 的交点 如图，过点 E 作 EQx 轴于点 Q设对称轴与 x 轴的交 点为 F 2

19、2 1 (ABCD)OD9解得 OD3 2 BFPF11PF PF 55 BQEQ2 24 1 点 P 坐标为（2，） 2 由 PFEQ，可得 以下同解法一 13.已知二次函数的图象如图所示 （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标 （2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合） ，设 NQ 的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC 为直角三角形?若存在，求出所有 符合条件的点

20、 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）将OAC 补成矩形，使OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶 点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶 点坐标（不需要计算过程） 解： （1）设抛物线的解析式y a(x 1)(x 2)， 2 a1(2)a 1 y x x 2 2 其顶点 M 的坐标是 ， 1 2 9 4 （2）设线段 BM 所在的直线的解析式为y kxb，点 N 的坐标为 N（t，h） ， 0 2k b， 3 91解得k ，b 3 2k b. 42 3 x3 2 311123 2 1 h t 3，其中 t 2s 12(2t 3)t t t 1 2222342 3

21、 2 11 s 与 t 间的函数关系式是S t t 1，自变量 t 的取值范围是 t 2 422 线段 BM 所在的直线的解析式为y （3）存在符合条件的点 P，且坐标是P 1 ， ，P 2 ， 设点 P 的坐标为 P(m，n)，则n m m2 2 5 7 2 4 3 2 5 4 PA2 (m1)2 n2，PC2 m2(n 2)2，AC2 5 分以下几种情况讨论： i）若PAC90，则PC PA AC 2 n m m 2， 2222 m (n 2) (m 1) n 5. 222 解得：m1 55 7 ，m2 1（舍去） 点P 1 ， 2 2 4 222 ii）若PCA90，则PA PC AC 2 n m m2， 2222 (m1) n m (n2) 5. 解得：m3 5 3 3 点P 2 ，m4 0（舍去） 42 2 iii）由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时，PA AC，所以边 AC 的对角APC 不 可能是直角 （4）以点 O，点 A（或点 O，点 C