三年高考（2020）高考数学试题分项版解析 专题23 立体几何中的角 理（含解析）（通用）

1、主题23立体几何中的角度2020年高考全景展1.浙江卷2020众所周知，金字塔的底面是正方形的，侧边都是等长的，E是线段AB上的点(不包括端点)。如果东南和西北角之间的角度为1，东南和平面ABCD之间的角度为2，二面角的平面角度为3，则A.123，321，132，231答案 d分析通过分析：分别得到线角、线平面角和二面角，然后构造直角三角形，根据边的大小关系确定角度的大小关系。详细说明：设o为正方形ABCD的中心，m为圆形的中点，e为圆形的平行线EF，f为圆形，o为圆形，n为垂直EF，连接s o、SN和OM，SO垂直于底部ABCD，OM垂直于圆形。因此，因为，也就是选择d .引人注目：寻找平行

2、线、垂直线和垂直面以及垂直面。2.2020国家卷二在一个长方体中，一条直线在不同平面上形成的角度的余弦是A.学士学位答案 c画龙点睛之笔：用法向量求解空间线与平面的夹角的关键在于“四破”:第一，打破“建筑体系”，构建一个合适的空间直角坐标系；第二，打破“坐标间隙”，精确求解相关点的坐标；第三，打破“法向量障碍”，找到平面的法向量；第四，打破“应用公式壁垒”。3.如浙江卷2020所示，已知多面体ABCA1B1C1、A1A、B1B和C1C垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2。证据：AB1飞机a1b1c1；(ii)求出由直线AC1和平面ABB1形成的角度的

3、正弦值。答案 ()见分析()详细说明：方法1:可用，所以。因此，通过，通过，通过，顺便说一下。所以飞机。()如图所示，交叉点，交叉点处的直线交叉和连接。从一个平面到另一个平面，从一个平面，所以它与平面成一个角度。所以。因此，直线与平面之间角度的正弦值为。方法2:(一)如图所示，空间直角坐标系O-xyz以交流的中点O为原点，光线OB和OC分别为x轴和y轴的正半轴。根据问题的含义，每个点的坐标如下：因此。你懂的。所以飞机。()让直线和平面之间的夹角为。从()可以知道让一个平面的法向量从。因此，直线与平面之间角度的正弦值为。画龙点睛之笔：用法向量求解空间线与平面的夹角的关键在于“四破”:第一，打破“

4、建筑体系”，构建一个合适的空间直角坐标系；第二，打破“坐标间隙”，精确求解相关点的坐标；第三，打破“法向量障碍”，找到平面的法向量；第四，打破“应用公式壁垒”。2020年高考全景展1.2020课程标准二，原则10如果已知，在直三棱镜中，直线在不同平面上形成的角度的余弦是()A.学士学位答案 c测试地点不同表面上直线形成的角度；余弦定理；补语的应用名师点睛平移线段法是求直线在不同平面上形成的角度的常用方法。它的基本思想是将直线转化为共面的问题。具体步骤如下：(1)平移：平移一条或两条平面外直线，使平面外直线形成一个角度；2识别：证明所形成的角度是不同平面的直线形成的角度；计算：为了找到这个角度的

5、值，我们经常使用解三角形；权衡：非平面直线形成的角度的取值范围是，当角度为钝角时，其互补角度应取为两条非平面直线形成的角度。为了找出不同平面线形成的角度，应特别注意不同平面线之间形成的角度范围。2.2020浙江，9如图所示，已知正四面体DABC(等边三棱锥)，P，Q和R分别是AB，BC和CA上的点，AP=PB，平面角为立体几何是高中数学的重要内容，也是高考的考点和热点。这些问题的设置通常包括两类问题，例如线和平面之间位置关系的证明和角距离的计算。在回答第一类问题时，一般需要依靠平行线和垂直线以及平面的判断定理；为了解决第二类问题，首先建立空间直角坐标系，用空间矢量的坐标形式和量积公式求解。3.

6、2020课程标准3，原则16 A和B是空间中的两条垂直线。等腰直角三角形的右侧交流所在的直线垂直于A和B，斜边AB以直线交流为旋转轴旋转。得出以下结论：(1)当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与A成60角时，AB与B成60角；直线AB与a形成的角度的最小值为45；AB线与A线夹角的最小值为60。正确的是_ _ _ _ _ _。(填写所有正确结论的数字)答案 分析试题分析：问题的含义是以AC为轴，BC为底半径的圆锥母线，以AC为轴的圆锥的底部可以通过b点，d点的公开面是圆的。如图所示，连接DE，然后连接DEBD，连接AD，等腰ABD，当直线AB与a形成60角时，通过点b作为B

7、FDE，在点f处与圆c相交，连接AF，由圆的对称性可知，是一个等边三角形，即AB和b形成60度角，是正确的，是错误的。从最小角度定理来看，是正确的；显然，平面ABC直线a可以满足，直线与直线形成的最大角度为90 ,错误。正确的说法是 。测试地点不同表面上直线形成的角度(1)平移线段法是求具有不同表面的直线形成的角度的常用方法。它的基本思想是将直线转化为共面的问题。具体步骤如下：(1)平移：平移一条或两条平面外直线，使平面外直线形成一个角度；2识别：证明所形成的角度是不同平面的直线形成的角度；计算：为了找到这个角度的值，我们经常使用解三角形；权衡：非平面直线形成的角度的取值范围是，当角度为钝角时

8、，其互补角度应取为两条非平面直线形成的角度。(2)应特别注意不同平面中直线之间形成的角度范围。4.2020课程标准二，原则19如图所示，在棱锥体中，侧焊盘是一个等角三角形，垂直于底部焊盘，而E是PD的中点。(1)证明：直平面PAB；(2)点m在边PC上，直线BM与底面ABCD形成的角度为，计算二面角的余弦值。【答案】(1)证据省略；(2 ).问题分析：(1)取中点，链接，因为它是中点，所以、和，所以。四边形是平行四边形。平面，平面，所以平面。(2)已知以A为坐标原点的方向是X轴的正方向，即单位长度。建立如图所示的空间直角坐标系，然后，设定规则，BM和底部ABCD之间的角度是45，但是底部ABC

9、D的法向量。所以，那是。m在电脑的边缘，设定，然后。从和获得(放弃)。因此。让它成为平面反弹道导弹的法向量，然后也就是说，所以这是可取的。因此，因此，二面角的余弦是。测试点确定线是平行的；面角的矢量计算(1)要解决这个问题，我们应该注意两点：第一，两个平面的法向量之间的角度不一定是二面角；第二，向量运算要用方程思想来进行，并且要仔细、准确地计算。(2)如果m和n是平面和的法向量，则二面角是互补的或等于，因此存在| cos |=| cos |=。解决问题时，我们必须注意判断角度是锐角还是直角试题分析：(1)让交点为“连接”，因为直线是平行的平面，根据性质定理，可以知道直线是平行的，即中点，所以它

10、是的中点；()由于平面是平的，我们以中点为原点在图形空间中建立直角坐标系。根据矢量法，我们首先计算两个平面的法向量和和，然后根据公式计算二面角。()根据()的结论，我们直接计算它。试题分析：解决方法：(1)让交点相连。因为飞机，飞机，所以。因为它是一个正方形，它是的中点，所以它是的中点。那么，让平面的法向量为。那么，点菜吧。平面的法向量是。二面角是锐角，所以它的大小是。(三)从问题的含义来看。那么，让直线和平面之间的角度为。因此，直线与平面之间角度的正弦值为。测试站点 1。线与线之间的位置关系；2.向量法。【名师点睛】本课题涉及立体几何中直线和平面的平行度和垂直度的判断和性质，全面考查立体几何

11、的证明和解答，旨在考查学生的空间想象和逻辑推理能力；用空间矢量解决立体几何问题是一种成熟的方法，应注意建立合适的空间直角坐标系和操作的准确性。6.2020天津，Li 17如图所示，在三角金字塔的P-ABC，PA.的底面ABC点D、E和N分别是边PA、PC和BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2。(一)核查：锰平面溴化二苯醚；(二)求二面角的正弦值；(iii)假设点H在边PA上，直线NH和直线BE形成的角度的余弦是，计算线段AH的长度。答案 (1)参见分析(2)、(3)或【分析】试题分析：此题主要考查直线与平面平行度、二面角、直线在不同平面上形成的角度等基础知识。它考察了用空间

12、矢量解决立体几何问题的方法，并考察了空间想象、计算和推理能力。首先，需要建立一个空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明直线与平面的平行性只需要平面的法向量，并计算直线对应的向量与法向量的量积为0。为了找到二面角，我们只需要找到对应于两个半平面的法向量。利用法向量之间的夹角，我们可以利用向量之间的夹角公式，求出不同平面上直线形成的夹角的余弦值。通过使用已知的条件，我们可以得到这个值。试题分析：如图所示，以A为原点，建立一个空间直角坐标系，X轴、Y轴、Z轴的正方向为、方向，可根据试题的含义得到A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)

13、，M(0，0，1)，N(1，2，0)。证明：=(0，2，0)，=(2，0，)。让它成为平面BDE的法向量。那么，就是，随它去吧。and=(1，2，)，可用。因为平面BDE，MN/平面BDE。()根据问题的含义，让AH=h()，然后H(0，0，H)，然后得到，从已知、获得、整理、解决或。因此，线段AH的长度为或。测试点由平行于平面的直线、二面角和平面外直线形成的角度空间矢量是解决空间几何问题的利器。用空间矢量来寻找空间角度、空间距离或证明线与平面的关系是非常方便的。利用矢量夹角公式可以快速、准确地求出直线在不同平面上形成的角度，特别是利用平面的法向量可以方便地求出直线角度、二面角或点到平面的距离

14、。7.2020浙江，19(本科目满分为15分)如图所示，已知金字塔pABCD，PAD为等腰直角三角形，其斜边为AD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，e为PD的中点。(一)证明：平面式专用自动人行道；()求线CE与平面PBC之间的角度的正弦值。答案 ()见分析；()。分析测试分析(一)如图所示，让功率放大器的中点为f，连接电流放大器和滤波器。e和f分别是PD和PA中点，因为，所以，也就是说，四边形BCEF是一个平行四边形，所以，因此，飞机PAB.(2)以BC和AD分别为m、n。在q点将PN连接到EF，并连接MQ。e、f和n分别是PD、PA和AD的中点，因此q是EF的中点。在平行四边形BCE

15、F中，MQ/ce。Pn ad，pad为等腰直角三角形。从DCAD得到bn 广告，其中n是广告的中点。因此，AD飞机PBN，从BC/AD获取BC飞机PBN，然后是PBC飞机PBN.交点q是铅的垂直线，垂直脚是h，连接MH。MH是MQ在平面PBC上的投影，所以QMH是直线CE和平面PBC形成的角度。让CD=1。在PCD中，从压力=2，压力=1，压力=，电容=，在PBN，从PN=BN=1到PB=，QH=，在RtMQH，QH=，MQ=，所以正弦QMH=，所以直线CE和平面PBC之间的角度的正弦值是。测试地点证明直线和平面平行，并计算直线和平面的角度本课题主要研究属于中级课题的线平面平行度、线平面垂直度和平面垂直度的判定定理。证明线-面平行性的常用方法有：利用线-面平行性的判断定理，运用该定理的关键是试图找到一条平行于平面中已知直线的直线，并利用几何学的特点。合理地利用中性线定理、平行线和平面的性质，或者构造平行四边形并找到比例表达式来证明两条线是平行的。利用平行平面的性质，即两个平面平行，一个平面上的直线与另一个平面平行。用方法证明了问题(1)。此外，该问题还可以使用空间矢量来求解直线和平面的角度。8.2020江苏，22如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD和A