数学归纳法典型例题

1、数学归纳法典型例题 数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 数学归纳法的原理及应用 四. 知识分析 【知识梳理】 数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法， 在高等数学中有着重要的用途， 因而成 为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论， 而且 加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性， 因此，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式，就显得特别重要。 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： （1） （归纳奠基

2、）证明当n 取第一个值 n = n 0 时命题成立； （2） （归纳递推）假设 n = k（ 时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 上述证明方法叫做数学归纳法。 ）时命题成立，证明当开始的所有正整数n 都成立。 数学归纳法是推理逻辑， 它的第一步称为奠基步骤， 是论证的基础保证， 即通过验证落实传 递的起点，这个基础必须真实可靠； 它的第二步称为递推步骤， 是命题具有后继传递性的保 证，即只要命题对某个正整数成立， 就能保证该命题对后继正整数都成立， 两步合在一起为 完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步 各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题

3、是否具有 传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即 nk1 时为什么成立，nk1 时成 立是利用假设 nk 时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出nk 1 时成立，而不是直接代入，否则nk1 时也成假设了，命题并没有得到证明。 用数学归纳法可证明有关的正整数问题， 但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明 的，学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 （1） 对项数估算的错误， 特别是寻找 nk 与 nk1 的关系时， 项数发生什么变化被弄错。 （2）没有利用归纳假设：归

4、纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不 过去了。 （3） 关键步骤含糊不清， “假设 nk 时结论成立， 利用此假设证明 nk1 时结论也成立”， 是数学归纳法的关键一步， 也是证明问题最重要的环节， 对推导的过程要把步骤写完整， 注 意证明过程的严谨性、规范性。 【典型例题】 例 1. 用数学归纳法证明：时， 。 解析：当式成立。 时，左边 ，右边，左边=右边，所以等 假设则当时， 时等式成立，即有， ， 所以当时，等式也成立。 等式都成立。 由，可知，对一切 点评： （1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于 “先看项”，弄清等式 两边的构成规律，等式的两边

5、各有多少项， 项的多少与 n 的取值是否有关，由到时等式的两 边会增加多少项，增加怎样的项。 （2）在本例证明过程中， （I）考虑“n 取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是 把第一个值代入通项，考察命题的真假， （II ）步骤在由到的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪 证。 （3）在步骤的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确时 证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。 例 2. 。 解析： （1）当（2）假设当时，左边

6、时命题成立，即 ，右边，命题成立。 ， 那么当时， 左边 。 上式表明当时命题也成立。 由（1） （2）知，命题对一切正整数均成立。 例 3. 用数学归纳法证明：对一切大于1 的自然数 n，不等式 成立。 解析：当 假设时，左=，右，左右，不等式成立。 时，不等式成立，即 ， 那么当时， ， 时，不等式也成立。 由，知，对一切大于1 的自然数 n，不等式都成立。 点评： （1 ）本题证明命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进 行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式 成立。 （2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第步 成立， 则成立是推理的基础

7、，第步成立，是推理的依据（即成立， ，从而断定命题对所有的自 然数均成立） 。中的未必是 1，根据题目要求，有时可为2， 时命题也成立的过程中， 要作适当的变形， 设法另一方面， 第步中， 验证 3 等；第步中， 证明 用上归纳假设。 例 4. 若不等式 正整数 a 的最大值，并证明你的结论。 对一切正整数 n 都成立，求 解析：取， 。 令所以取，得，而， ，下面用数学归纳法证明， ， （1） （2）假设时，已证结论正确 时， 则当时，有 ， 因为， 所以， 所以 即时，结论也成立， ， ， 由（1） （2）可知，对一切 都有 故 a 的最大值为 25。 例 5. 用数学归纳法证明： 解析：

8、方法一：令 （1） （2）假设 ， 能被 9 整除。 ， 能被 9 整除。 能被 9 整除，则 能被 9 整除。 由（1） （2）知，对一切 方法二： （1） （2）若 ，原式， ，命题均成立。 能被 9 整除， 能被 9 整除，则时 时也能被 9 整除。 ，能被 9 整除。 由（1） ， （2）可知，对任何点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采 用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。 例 6. 求证：解析： （1）当（2）设则当时，时， 。 由归纳假设，上式中的两项均能被 故时命题成立。 ，命题成立。 整除， 时，能被能被整除， 。 ，命题显然成立。

9、 整除， 由（1） （2）可知， 对 例 7. 平面个部分。 由，可知，对 点评：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从 k 个变成 k+1 个时，所证 的几何量将增加多少， 这需用到几何知识或借助于几何图形来分析， 在实在分析不出来的情 况下，将 n=k+1 和 n=k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加 说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。 例 8. 设 的结论。 解析：当时，由，是否存在关于自然数n 的函数 对于，使等式的一切自然数都成立？并证明你， 得 当时，由， ， 得 猜想。 ， 下面用数学归纳法证明： 当当 假设 那么当时，

10、 时，等式时，由上面计算知，等式成立。 成立， 恒成立。 当时，等式也成立。 的自然数 n，等式都成立。 ，使等式成立。 与 n 的关系式，猜想由知，对一切故存在函数点评：（1）归纳、猜想时，关键是寻找满 足条件的 的关系未必对任意的都满足条件，故需用数学归纳法证明。 ，即 （2）通过解答归纳的过程提供了一种思路：可直接解出 。 【模拟试题】 1. 用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，归纳假设应写成 A. 假设 B. 假设 C. 假设 D. 假设时，命题成立 时，命题成立 时，命题成立 时，命题成立 能被整除”时，第二步 2. 证明 左端增加的项数是 A. 1 项B. ，假设时成立，当 1

11、时，项C. k 项D. ，则凸项 （）3. 记凸 k 边形的B.C.D. 4. 某个命题与自然数 n 有关，若时该命题也成立，现已知当 A. 当 B. 当时，该命题不成立 时，该命题成立 时命题成立，那么可推得当时，该命题不成立， 那么可推得 C. 当 n=4 时，该命题不成立 D. 当 n=4 时，该命题成立 5. 用数学归纳法证明 时，不等式左边应添加的项是 时，由到 A.B.C.D. 6. （5 分）在数列列的前n 项和） ，则_。 中， ， ，且， ， ，2 成等差数列（表示数_ 分别为_；由此猜想 7. （5 分）已知 对一切都成立，那么 a=_，b=_，c=_。 8. （14 分）由下列各式： ， ，你能得出怎样的结论？并进行证明。 ， ， 9. （16 分）设数列（1）证明：满足， 。 对一切正整数 n 均成立； （2）令，判断与的大小，并说明理由。 10. （14 分） 已知函数 数列满足， ，设数列满足。 ， ， （1）用数学归纳法证明 （2）证明： 。 11. （16 分） （2006 年，江西）已知数列满足： ，且 。 （1）求数列的通项公式； 恒成立。（2）证明：对一切正整数n，不等式 【试题答案】 1. B2. D3. B4. C5. C6. ， ， ，7.