新课标人教A版高中数学1导数的几何意义教案

1、导数的几何意义教案 【教学目标【教学目标】 知识与技能目标知识与技能目标： （1）使学生掌握函数f (x)在x x0处的导数f /x 0 的几何意义就是函数 f (x)的图像在 x x 0 处的切线的斜率。 （数形结合） ，即： f/x 0 lim x0 f x 0 x f (x 0 ) 切线的斜率 x (2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。 过程与方法目标：过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解 决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。 【教学手段】【教学手段】采用计算机（Flas

2、h,Powerpoint） ，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与 直观性，有效提高教学效率和教学质量。 【教学重点与难点【教学重点与难点】 重点重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。 难点：难点：发现、理解及应用导数的几何意义 【教学过程教学过程】 （一）作业点评，承上启下：（一）作业点评，承上启下： 问 题 ： 在 高 台 跳 水 运 动 中 ， t 秒(s)时 运 动 员 相 对 于 水 面 的 高 度 是 h(t) 4.9t2 6.5t 10（单位：m） ，求运动员在t 1s时的瞬时速度，并解释此时的运 动状态；在t 0.5s时呢？ 教师点评作业的优点及不足；由学生甲

3、解释t 1s，t 0.5s时运动员的运动状态。 （说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡） （二）课题引入，类比探讨：二）课题引入，类比探讨： 由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质。 问（一） ：导数的本质是什么？写出它的表达式。 学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出： / 导 数 f (x 0 ) 的 本 质 是 函 数 f (x) 在 x x 0 处 的 瞬 时 变 化 率 ， 即 ： f/x 0 lim x0 f x 0 x f (x 0 ) x （说明：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号， 有利于学生思维能力的有效提高，为学生“

4、发现”,感知导数的几何意义奠定基础） 问（二） ：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来 探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？ 教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形” ，自然要结合“数” ： / 即：导数的代数表达式，并回忆求导数f (x0)的步骤。 / 问（三）求导数f (x0)的步骤有哪几步? 教师引导学生回答： 第一步：求平均变化率 f (x 0 x) f (x 0 ) ； x f (x 0 x) f (x 0 ) 无限趋近于的常数就是 x 第二步：当x趋近于 0 时，平均变化率 f /(x 0 )。 （回归本质，数形结合） 教师进一步引导学生：

5、这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意 义，类比地，也可以分两个步骤： 问（四） ：第一步：平均变化率 f (x 0 x) f (x 0 ) 的几何意义是什么？ x 请在函数图像中画出来； 学生动手活动：见“学生动手实践” 。 由学生乙回答：平均变化率 f (x 0 x) f (x 0 ) 的几何意义是割线 AB 的斜率。 x A(x 0 , f (x 0 ), B(x 0 x, f (x 0 x)。教师提醒学生 A、B 两点的坐标必须写清楚。 问（五） ：第二步：x 0时，割线AB有什么变化？请画出来。 学生动手活动：见“学生动手实践” 。 教师展示学生作品，引导学生观

6、察：类比数的变化： x 0，B(x 0 x, f (x 0 x) A(x 0 , f (x 0 ), 当x 0，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线 在x x0处的切线，请把它画出来。 学生动手活动：见“学生动手实践” 。 教师展示学生作品， 引导学生发现，并说出： （形）x 0，割线AB 切线AD， 则割线AB的斜率切线AD的斜率 由数形结合，得 f/x 0 lim x0 f x 0 x f (x 0 ) 切线AD的斜率 x / 所以，所以， 函数函数f (x)在在x x0处的导数处的导数f x 0 的几何意义就是函数 的几何意义就是函数f (x)的图像在的图像在x

7、 x0处的处的 切线切线 ADAD 的斜率。的斜率。 （数形结合）（数形结合） 。 （说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情 感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解“导数的几何意义” ，掌握“数 形结合，类比探讨”的数学思想方法。 ） （三）（三） 动画演示，总结归纳动画演示，总结归纳 1演示 Flash 动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出来。 2 教师提问： 此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示Powerpoint 动画。 y l 1 A 初中平面几何中， 圆的切线的的定 义： 直线和圆有惟一公共点时， 叫做直 线

8、和圆相切。 这时， 直线叫做圆的切线， 惟一的公共点叫做切点。 圆是一种特殊的曲线。 这种定义并 不适用于一般曲线的切线。例如上图 中，直线l1虽然与曲线有惟一的公共 l 2 B 点， 但我们不能认为它与曲线相切； 而 另一条直线l1虽然与曲线有不只一个 x C 公共点，我们还是认为它是曲线的切 线。 因此， 以上圆的切线定义并不适用 于一般的曲线。 通过逼近的方法， 将割线趋于的确 定位置的直线定义为切线 （交点可能不 惟一） ，适用于各种曲线。所以，这种 定义才真正反映了切线的直观本质。 3根据导数的几何意义，在点P 附近，曲线f (x)可以用在点 P 处的切线 近似代替，这是微积分中重要

9、的思想方法以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。 （动画演示： 通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图， 图象放得越 大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线， 所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲” ） 教师引导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结合教材。 （说明：适时、 有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对 “导数的几何意 义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效 结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。 ） （四）训练巩固、加强理解（四）训

10、练巩固、加强理解： 1在函数h(t) 4.9t 6.5t 10的图像上， （1）用图形来体现导数h (1) 3.3， 2/ h/(0.5) 1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。 （2）请描述、比较曲线h(t)在t 0 ,t 1 ,t 2 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t 4 附近呢？ h O t3 t 4 t 0 t 1 t 2 t （说明：要求学生动脑（审题） ，动手（画切线） ，动口（讨论、描述运动员的运动状态） ， 体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合” 、 “以直代曲”的思想方法。 ） 2如图表示人体血管中的药物浓度c f (t)（单位：mg /mL）随

11、时间t（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计t 0.2, 0.4, 0.6, 0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时 变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到 0.1) t 药物浓度的 瞬时变化率 0.20.40.60.8 （说明：要求学生动脑（审题） ，动手（画切线） ，动口（说出如何估计切线斜率） ，进一步 体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合” 、 “以直代曲”的思想方法。 ） （五）抽象概括，归纳小结：（五）抽象概括，归纳小结： 1抽象概括：由练习 2 抽象概括出导函数（简称导数）的概念： f / x 0 是确定的数（静态） ， f x是 x的函数（动态） 由

12、f /x 0 lim x0 / f x 0 x f (x 0 ) （特殊一般） x f fx x f (x) x （静态动态）lim x0 x （说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想 2归纳小结： 由学生进行开放式小结： （1）函数f (x)在x x0处的导数f /x 0 的几何意义就是函数 f (x)的图像在 x x 0 处的切线 AD 的斜率。 （数形结合） ，即： f/x 0 lim x0 f x 0 x f (x 0 ) 切线AD的斜率 x （2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、 “以直代曲”的思想方法。 （3）导函数（简称“导数” ）的概

13、念。f （六）作业布置，分层要求：（六）作业布置，分层要求： 1习题 P10A5,6.B2,3. 2如图（函数图像参见“学生动手实践” ，此略）是利用信息技术画出的函数 / fx x f (x) x lim x0 x r(V) 3 3V (0 V 5)的图像，请根据图像，估计V 0.6,1.2时，气球的瞬时膨胀率。 4 有什么发现？ r r(V) 3 3V 0 V 5 4 O V 3请给出求函数y f (x)在x x0处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切 线的题目。 （探索：若把 3 “在点(x0, f (x0)处”改为“过点(x0, f (x0)” ，算法有何不同？并小 组自编四个求切

14、线的题目。 ） 学生动手实践 / 提问：1导数f (x0)的本质是什么？请写数学表达式。 导数的本质是函数f (x)在处的 即： 函数f (x)平均变化率 像中画出来。 f (x 0 x) f (x 0 ) 的几何意义是什么， 请在函数图 x f (x) f (x 0 x) f (x 0 ) y 1）平均变化率的几何意义： x 2）当x 0时，观察图形变化。 f (x 0 ) Ox 0 x / 3导数f (x0)的几何意义是什么？ / 导数f (x0)的几何意义是 练习 1在函数h(t) 4.9t 6.5t 10的图像上， （1）说说h (1) 3.3，h (0.5) 1.6 的几何意义。 （

15、2）请描述、比较曲线h(t)在t 0 , t 1 , t 2 附近增（减）以及增（减）快慢的情 况。在t3, t 4 附近呢？ 2/ (1) h O 0.5 1.0 t (2) h O t 3 t 4 t 0 t 1 t 2 t 2如图表示人体血管中的药物浓度c f (t)（单位：mg /mL）随时间t（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计t 0.2, 0.4, 0.6, 0.8(min)时，血管中药物浓度的瞬时变 化率(精确到 0.1)，把数据用表格的形式列出。 t 药物浓度的 瞬时变化率 0.20.40.60.8 抽象概括： 归纳小结： 附：动态直观消除神秘，启发点拨贯通曲直 f

16、/x 0 lim x0 f x 0 x f (x 0 ) x 导数的几何意义课例点评 广州市教育局教学研究室 许世红 本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意 义。它能过直观具体的形象帮助学生消除对极限的神秘感， 深刻理解导数的内涵和意义， 形 成对于变量与常量之间相互联系与转化的认识， 感受和体验辩证思维活动的过程， 它对于学 生深化数形结合认识， 了解辩证思维的方式具有十分典型和重要的功能。 本课的设计和教学 较好地反映了以上意图， 较好地体现出高中数学课程标准所倡导的教学理念， 主要特色如下： 1 教学思路清晰，学习重点突出 本节课围绕着“利用函数图象

17、直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解 释实际问题”两个教学重心展开。 首先， 教师从点评简单的作业 “求高台跳水运动中某时刻的瞬时速度并描述该 时刻的运动状态”入手，复习导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出 从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率瞬时变化率” 的研究思路， 运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合 的角度思考，获得导数的几何意义“导数是曲线上某点处切线的斜率” 。 完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问 题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲” ，从而达到“以简单 的

18、对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究， 让学生从不同的角度完整地体验导 数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。 整节课的教学思路清晰，突出了对主干知识的深入研讨。虽然活动的每一个环节和片 断基本上以教材内容为主线展开， 但每一个知识、每一个发现，教师总是设法由学生自己得 出，教师只是在关键处加以引导，尤其是，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生 在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，充分体现出学生才是学习的主角这一新课程 理念。 2 设问合乎情理，探究活动自然 著名哲学家波普尔说“问题构成了一切科学探索活动(包括数学活动)的实际出发点” 。 在课堂上，只有通过适当的设

19、问，才能在教学中真正实现“人人开动脑筋 ,积极思考” 。本节 课， 教师十分注意提问的艺术， 设计的问题围绕 “怎样想到导数的几何意义就是切线的斜率” 而进行，引导学生充分经历“提出问题（从数的角度研究了导数后，从形的角度如何研究导 数？） 寻求想法实施想法发现规律给出定义应用定义解释现象 （如何 估计切线的斜率） ”这一完整的探究活动，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。 3 注重学法引导，揭示研究方法 无论是复习导数的实际意义、 数值意义，还是研究导数的几何意义及其应用， 教师都很 注重对数学思考和解决问题基本方法的教学，教师总是问： “你为什么这样做？” 、 “你是 怎样想的？” 、 “还可以怎样做？”等问题，问思路、问道理、问方法，及时组织学生交流思 维过程，展现问题解决的途径，揭示研究问题的基本方法， 借此引导学生学会必要的思维策 略。从学生对例2、例 3 的分析