高三数学第二轮复习教案

1、高三数学第二轮复习教案高三数学第二轮复习教案 第第 5 5 讲讲 解析几何问题的题型与方法（二）解析几何问题的题型与方法（二） 七、强化训练七、强化训练 x2y21 1、已知 P 是以F1、F 2 为焦点的椭圆 2 2 1(a b 0)上一点，若PF ，则椭圆的离tanPF F PF 0 1212 ab2 心率为（） （A） 5121 （B）（C）（D） 3233 2、已知ABC 的顶点 A（3，1） ，AB 边上的中线所在直线的方程为6x+10y59=0，B 的平分线所在直线的方程为： x4y+10=0，求边 BC 所在直线的方程。 3、求直线 l2：7xy+4=0 到 l1：x+y2=0

2、的角平分线的方程。 4、已知三种食物 P、Q、R 的维生素含量与成本如下表所示。 现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合，制成 100kg 的混合物.如果这 100kg 的混合物中至少含维生素 A44 000 单位与维生素 B48 000 单位，那么 x，y，z 为何值时，混合物的成本最小？ 5、某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为 18m2，可住游客5 名，每名 游客每天住宿费为 40 元；小房间每间面积为15 m2，可住游客3 名，每名游客每天住宿费为50 元.装修大房间每间需 1000 元， 装修

3、小房间每间需 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得 最大收益？ 6、已知ABC 三边所在直线方程 AB：x6=0，BC：x2y8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圆的方程。 维生素 A（单位/kg） 维生素 B（单位/kg） 成本（元/kg） 食物 P 400 800 6 食物 Q 600 200 5 食物 R 400 400 4 7、已知椭圆 x2+2y2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为 坐标。 4 13 ，求点 A 的 3 x2y2 8、已知椭圆 2 2 1（a

4、b0）上两点 A、B，直线l : y x k上有两点 C、D，且 ABCD 是正方形。此正方形外 ab 接圆为 x2+y22y8=0，求椭圆方程和直线l的方程。 9、求以直线l : x 2为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴MN 端点的轨迹方程。 10、 若椭圆的对称轴在坐标轴上， 两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点， 又焦点到同侧长轴端点的距离为 2 1， 求椭圆的方程。 x2y2 11、已知直线y x 1与椭圆 2 2 1(a b 0)相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线l : x 2y 0上。 ab （）求此椭圆的离心率； （2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x

5、 y 22 4上，求此椭圆的方程。 12、设A（x1，y1）为椭圆x2+2y2=2 上任意一点，过点A 作一条直线l，斜率为 x 1 ，又设d 为原点到直线l的距离，r1、 2y 1 r2分别为点 A 到椭圆两焦点的距离。求证：r 1 r 2 d为定值。 13、某工程要将直线公路l一侧的土石， 通过公路上的两个道口A和B， 沿着道路AP、 BP运往公路另一侧的P处， PA=100m， PB=150m，APB=60，试说明怎样运土石最省工？ x2y2 14、 已知椭圆 2 2 1（ab0） ， P 为椭圆上除长轴端点外的任一点， F1、 F2为椭圆的两个焦点， （1） 若PF 1F2 ， ab

6、cos PF 1F2 ，求证：离心率e 2 2 ； （2）若F 1PF2 2，求证：F 1PF2 的面积为b tan。 cos 2 15、在 RtABC 中，CBA=90，AB=2，AC= 上运动，且保持| PA |+| PB | 的值不变。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程； 2 。DOAB 于 O 点，OA=OB，DO=2，曲线 E 过 C 点，动点 P 在 E 2 （2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点M、N 且 M 在 D、N 之间，设 试确定实数的取值范围。 DM ， DN 16、 （2004 年北京春季高考） 已知点 A（2，8） ，B(x1，y1)，C(

7、x2，y2)在抛物线y 2px上，ABC的重心与此 抛物线的焦点 F 重合（如图） 。 2 y B A OFM x C （I）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （II）求线段 BC 中点 M 的坐标； （III）求 BC 所在直线的方程。 八、参考答案八、参考答案 1、解：设 c 为为椭圆半焦距，PF 1 PF 2 0 PF 1 PF 2 22 2PF PF (2c) 2 1 1 又tanPF 1F2 PF 1 PF 2 2a 2 PF 2 1 PF 1 2 c a 5 9 c5 a3 解得：( ) 选（D） 。 2e 说明：垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此类问题的关键

8、是利用向量垂直的充要条件： “a b ab 0” ，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题。 2、解：设 B（a， b） ，B 在直线 BT 上， a4b+10=0 又 AB 中点M3a,b1在直线 CM 上， 22 点 M 的坐标满足方程 6x+10y59=0 6a310b1590 22 解、组成的方程组可得a=10，b=5 B（10， 5） ，又由角平分线的定义可知， 直线 BC 到 BT 的角等于直线 BT 到直线 BA 的角， 又k AB k BT 6 7 1 4 k BT k BC k BA k BT 1k BT k BC 1k BA k BT 2 9 k BC ， BC 所在直线的

9、方程为y5 (x10)即 2x+9y65=0。 3、解法一：设 l2到 l1角平分线 l 的斜率为 k， k1=1，k2=7。 2 9 。 k7 1k ，解之得 k=3 或k 1 ，由图形可知 k0， 17k1k3 k=3，又由 20 7 x x 2 y y 40 4 4 解得 l1与 l2的交点Q 1,9 ， 4 4 9 由点斜式得y 3x 1 即 6x+2y3=0。 2tg k 1 k 2 4 2 tg 4 ，所以角为锐角，而 1 2 ，由二倍角公式可知 解法二：解法二：设 l2到 l1的角为，则tg 21k 1k2 33 1tg2 2 tg 2或tg 1 为锐角， 2222 tg 1 k

10、7 ， 2217k k=3 等同解法一。 解法三：解法三：设 l： （x+y2）+（7xy+4）=0即（1+7）x+（1）y+（42）=0。 k 17，由解法一知k 317， 11 1 5 ，代入化简即得：6x+2y3=0。 解法四：解法四：用点到直线的距离公式，设l 上任一点 P（x， y） ，则 P 到 l1与 l2的距离相等。 |xy2| |7xy4| 整理得：6x+2y3=0 与 x3y+7=0，又 l 是 l2到 l1的角的平分线， 250 k0，x3y+7=0 不合题意所以所求直线 l 的方程为 6x+2y3=0。 4、 分析： 由 x+y+z=100， 得 z=100xy， 所以

11、上述问题可以看作只含x， y 两个变量.设混合物的成本为 k 元， 那么 k=6x+5y+4 （100xy）=2x+y+400，于是问题就归结为求 k 在已知条件下的线性规划问题。 解：已知条件可归结为下列不等式组： x 0 y 0 。x y 100 400 x 600y 400(100 x y) 44000 800 x 200y 400(100 x y) 48000 x y 100 即 y 20 。 2x y 40 在平面直角坐标系中，画出不等式组所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100，y=20，2xy=40 围成的一个三 角形区域 EFG（包括边界） ，即可行域，如图所示的阴影部分

12、。 设混合物的成本为 k 元，那么 k=6x+5y+4（100xy）=2x+y+400。 作直线l0：2x+y=0，把直线l0向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点E，且与原点的距离最小，此时2x+y 的值 最小，从而 k 的值最小。 由 2x y 40 得 y 20 x 30 y 20 即点 E 的坐标是（30，20） 。 所以，k 最小值 =230+20+400=480（元） ，此时 z=1003020=50。 答：取 x=30，y=20，z=50 时，混合物的成本最小，最小值是480 元。 5、解：设隔出大房间 x 间，小房间 y 间时收益为 z 元，则 x、y 满足。 18x

13、15y 180 ，x，yN， 1000 x 600y 8000 且z=200 x+150y。 所以 6x 5y 60 ，x，yN， 5x 3y 40 图 4） 。 图 4 作出可行域及直线l0： 200 x+150y=0， 即 4x+3y=0。（如 把直线l0向上平移至l1的位置时， 直线经过可行域上 时，z=200 x+150y 取最大值.但解 6x+5y=60 与 5x+3y=40 联立的方程组得到 B（ N，所以可行域内的点B 不是最优解。 为求出最优解，同样必须进行定量分析。 因为 4 的点 B，且与原点距离最大.此 2060 ，） 。由于点B 的坐标不是整数，而x，y 77 2060

14、260 +3=37.1， 但该方程的非负整数解 （1， 11） 、 （4， 7） 、 （7， 3） 均不在可行域内， 所以应取 4x+3y=36. 777 同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为（0，12）和（3，8）.此时 z 取最大值 1800 元. 。 6、解：解方程组可得A（6，3） 、B（6，1） 、C（4，2）设方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则： 62(3)26D3E F 0 22 6 (1) 6D E F 0 22 4 2 4D2E F 0 解之得：D= 21 ，E=4，F=30。 2 21x4y300 。 2 所以所求的ABC 的外接圆方程为：x2y2 7、分析：

15、若直线 y=kx+b 与圆锥曲线 f（x，y）=0 相交于两点 P（x1，y1） 、Q（x2、y2） ，则弦 PQ 的长度的计算公式为 | PQ |1 k2| x1 x2|1 1 | y1 y2|，而。 2 k ，结合| x1 x2|(x1 x2)24x1x2，因此只要把直线 y=kx+b 的方程代入圆锥曲线 f（x，y）=0 方程，消去 y（或 x） 一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。 y x x0 解： 设 A （x0， 0） （x00） ， 则直线l的方程为 y=xx0， 设直线l与椭圆相交于 P （x1， y1） ， Q （x2、 y2） ， 由 2 ， 2 x 2y12 可得

16、3x24x0 x+2x0212=0， 2x124x ，则x1 x2 0，x 1 x 2 0 33 22 16x8x482 0 | x1 x2|(x1 x2)24x1x2 0 362x02 933 2 4 1424 14 2 1 x2| x1 x2|，即2 36 2x0 333 x02=4，又 x00，x0=2，A（2，0） 8、解：圆方程 x2+y22y8=0 即 x2+（y1）2=9 的圆心 O （0，1） ，半径 r=3。 设正方形的边长为 p，则 2p 2r， p 3 2， 又 O是正方形 ABCD 的中心， O到直线 y=x+k 的距离应等于正方形边长p 的一半即 3 2 ，由点到直线

17、的距离公式可知k=2 或 k=4。 2 （1）设 AB: y x 2 由 CD: y x 4 y x2 22 x y 2y 8 0 x2y2 得 A（3，1）B（0，2） ，又点 A、B 在椭圆 2 2 1上， ab x2y2 1。 124 a2=12，b2=4，椭圆的方程为 （2）设 AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4） ， （3，1） 代入椭圆方程得a 2 48 2 , b16，此时 b2a2（舍去） 。 5 x2y2 1。 综上所述，直线l方程为 y=x+4，椭圆方程为 124 9、分析：已知了椭圆的焦点及相应准线，常常需要运用椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到

18、相应准线的距离 之比等于离心率 e，而该题中短轴端点也是椭圆上的动点，因此只要运用第二定义结合a、b、c 的几何意义即可。 解：设 M（x，y） ，过 M 作MA l于 A，| MO|x2 y2，| MA| x 2， x2 y2 e， x 2 又过 M 作MO x轴于 O ，因为点 M 为短轴端点，则 O必为椭圆中心， |OO| x c，| MO | a x2 y2， e c a x x y 22 ， x2 y2 x 2 x x2 y2 化简得 y2=2x， 短轴端点的轨迹方程为y2=2x（x0） 。 10、解：若椭圆的焦点在x 轴上，如图，四边形B1F1B2F2是正方形，且 A1F1= 2

19、1，由椭圆的几何意义可知， b c x2 y21，同理焦点也可以在y 轴上，综上所述，椭圆的方程 解之得：a 2 ,b 1，此时椭圆的方程为 a 2b 2 ac 2 1 x2y2 2 y1或 x21。 为 22 ，y x 1 11、解： （1）设 A、B 两点的坐标分别为A(x1, y1),B(x2, y2).则由 x 2得 y2 2 2 1 ba (a2b2)x2 2a2x a2 a2b2 0， 根据韦达定理，得 2a22b2 , y1 y2 (x1 x2) 2 2 ,x1 x2 2 a b2a b2 a2b2 线段 AB 的中点坐标为（ 2 ） , 222 a ba b a22b2 222

20、222 由已知得 2 0,a 2b 2(a c )a 2c 222 a ba b 2 。 2 故椭圆的离心率为e （ 2 ） 由 （ 1 ） 知b c,从 而 椭 圆 的 右 焦 点 坐 标 为F(b,0),设F(b,0)关 于 直 线l : x 2y 0的 对 称 点 为 (x 0 , y 0 ),则 y 0 0 1x b y 1且0 20 0, x 0 b 222 解得 x 0 2 34 b且y 0 b 55 2 由已知得 x 0 y 0 4,( b) ( b) 4,b 4 3 5 2 4 5 22 x2y2 1 故所求的椭圆方程为 84 12、分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到

21、定直线的距离之比等于常数e（0e1）的点的轨迹是椭圆，椭圆 x2y2y2x2 2 1上任一点 P（x1，y1）到左焦点 F1的距离|PF1|=a+ex1，到右焦点 F2的距离|PF2|=aex1；同理椭圆 2 2 1上 2abab 任一点 P（x1，y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和 aey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的 运用。 解：由椭圆方程x 2y 2可知 a2=2，b2=1 则 c=1， 22 离心率e 2 ， 2 22 2 由焦半径公式可知，r 1 r 2 (a ex 1 )(a ex 1 ) a e x 1 2 又直线l的方程为： 1 2 x 1

22、。 2 y y 1 x 1(x x 1 )即 x1x+2y1y2=0， 2y 1 由点到直线的距离公式知，d 2 x 1 4y 1 22 ， 又点（x1，y1）在椭圆上， 2y12=2=x12， d 2 x 1 4y 1 22 2 x 1 2(2 x 1 ) 22 2 4 x 1 2 ， r 1r2 d 4 x122 2为定值。 2 2 4 4x1 13、解： 以直线 l 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在 l 一侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点， 设这样的点为 M，则。 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|， 即|MA|MB|=|BP|AP|=5

23、0， | AB | 50 7， 22 M 在双曲线 x y 1的右支上。 222525 6 故曲线右侧的土石层经道口B 沿 BP 运往 P 处，曲线左侧的土石层经道口A 沿 AP 运往 P 处，按这种方法运土石最省工。 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？ PF 1F2 的两个顶点为焦点，14、 分析：另一点是椭圆上的动点， 因此| PF 1 | | PF2| 2a， |F1F2|=2c， 所以我们应以PF 1F2 为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。 证明： （1）在PF 1F2 中，由正弦定理可知 |

24、F 1F2 | PF 1 | PF2| ，则。 sin( )sinsin | PF 1 | | PF2|2c2c2a sin( )sin sinsin( )sin sin coscos 2csin() 22 2 e 2asinsin 2sincoscos 222 2sin （2）在PF 1F2 中由余弦定理可知。 (2c)2| PF 1 |2 | PF 2 |22 | PF 1 | PF 2 |cos2 (| PF 1 | | PF 2 |)2 2 | PF 1 | PF 2 | 2 | PF 1 | PF2|cos2 (2a)2 2 | PF 1 | PF2|(1 cos2) PF 1 4a2 4c22b2 | 1 | PF2| 2 1 cos2 1 cos2 S 1 PF 1F2 2 | PFsin2 b2 sin2 1 | PF2| 1 cos2 b2tan 15、解： （1）建立平面直角坐标 系， 如图所示 . | PA |+| PB |=| CA |+| CB | = 2 2 22 ( 2 2 )2 2 2 动点 P 的轨迹是椭圆 a 2,b 1,c 1. 曲线 E 的方程是 x2 2 y21 （2）设直线 L 的方程为y kx 2， 代入曲线 E 的方程x2 2y2 2，得 (2k21)x28kx 6 0 设