建筑力学 结构第六章结构的变形

1、第六章 结构的变形,一、结构的位移 (Displacement of Structures),一、结构的位移 (Displacement of Structures),引起结构位移的原因,还有什么原 因会使结构产 生位移?,为什么要计算 位移?,第六章 结构的变形,二、 计算位移的目的,(1) 刚度要求,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。,(2) 超静定、动力和稳定计算,(3）施工要求,第六章 结构的变形,（3）理想联结 (Ideal Constraint)。,三、 本章位移计算的假定,叠加原理适用（pri

2、nciple of superposition),(1) 线弹性 (Linear Elastic),(2) 小变形 (Small Deformation),第六章 结构的变形,6-1 内力与变形的关系,6.1.1 轴向变形与轴力的关系,轴向拉（压）杆的变形,纵向拉长：L=L1-L, 纵向线应变 ： = L/L 横向缩小：d=d1-d, 横向线应变 ： = d/d 拉杆 为正， 为负； 压杆 为负， 为正。,虎克定律 当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形L与轴力N、杆长L及横截面面积A之间存在如下比例关系： L= NL/ EA 弹性模量E：数值随材料而异，通过试验测定。 杆件抗拉（压）刚度： E

3、A 将= L/L，=N/A代入，则：=E 虎克定律：杆件应力不超过某一限值（材料的比例极限p ）时，应力与应变成正比。,6-1 内力与变形的关系,6.1.1 轴向变形与轴力的关系,弯曲变形的概念,梁的挠曲线近似微分方程,用叠加法计算梁的变形,梁的刚度校核,用积分法计算梁的变形,提高梁弯曲刚度的措施,6-2 梁在弯曲时的变形,6.2.1弯曲变形的概念,梁的挠度和转角,梁的挠曲线： 变形后的梁轴线是一条连续、光滑曲线. 挠度: 横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移y, 挠度方程: y=f(x) 转角: 横截面绕中性轴所转的角度, 单位: rad 挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量,6-2 梁在弯

4、曲时的变形,挠度和转角的关系 挠曲线上C1点处斜率 tg=dy/dx 在小变形下，可取tg , 因此 =dy/dx=y,挠度和转角正负号规定 坐标系的建立： y轴向下为正 截面挠度y:向下为正，向上为负 截面转角 :顺时针转为正，逆时针转为负,6.2.1弯曲变形的概念,6-2 梁在弯曲时的变形,6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程,纯弯梁的曲率方程 1/=M/EI 横向弯曲时, 各截面曲率随M(x)而变, 忽略剪力Q的影响后 1/(x)=M(x)/EI 由高等数学可知: 在小变形dy/dx1, 可忽略,上式简化为,6-2 梁在弯曲时的变形,挠曲线近似微分方程 正负号取决于坐标系的 选择和弯矩正负

5、号规定: 挠曲线近似微分方程:,6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程,6-2 梁在弯曲时的变形,积分法推导梁的变形 对等截面直梁,EI=常数. 挠曲线近似微分方程改写为: 积分一次得转角方程: 再积分一次得挠度方程: C和D为积分常数,由挠曲线上已知约束条件确定,称为边界条件.,6.2.3 用积分法计算梁的变形,6-2 梁在弯曲时的变形,6.2.3用积分法计算梁的变形,积分法的应用 例1: 求图示悬臂梁的(x)和y(x),并求挠度fB. 1.列弯矩方程: M(x)=-P(l-x) 2.挠曲线近似微分方程 EIy=-M(x)=P(l-x) 积分一次得: EIy=EI=Plx-Px2/2+C 再积分

6、一次: EIy=Plx2/2-Px3/6+Cx+D,6-2 梁在弯曲时的变形,3.确定积分常数 边界条件: x=0, =y=0 C=0 x=0, y=0 D=0 4.列转角和挠度方程 = (Plx-Px2/2)/EI y=(Plx2/2-Px3/6)EI 5.求最大挠度fB: 将x=l代入: fB=Pl3/3EI (挠度向下),6-2 梁在弯曲时的变形,6.2.3用积分法计算梁的变形,例2：如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠度及截面A处的转角。,解：梁的弯矩方程为：,将上式一次积分得转角：,再次积分，可得挠度方程：,边界条件： 时， ； 时，,

7、故有,6.2.4 用叠加法计算梁的变形,用叠加法计算梁的变形 叠加法：几个荷载共同作用下引起梁的的变形,等于各个荷载单独作用下引起的梁变形的叠加。,叠加原理的步骤： 分解载荷；分别计算各载荷单独作用时梁的变形；叠加得最后结果。,6-2 梁在弯曲时的变形,梁在简单载荷作用下的变形,梁在简单载荷作用下的变形,梁在简单载荷作用下的变形,梁在简单载荷作用下的变形,例4：悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如图所示。试求截面B的挠度和转角。,解：1）分解载荷,梁上载荷可分解成均布载荷q与集中力F的叠加。,2）查表可得这两钟情况下 截面B的挠度和转角

8、：,+,6.2.4 用叠加法计算梁的变形,3）叠加得截面B的挠度和转角,（）,（顺时针）,6.2.5 梁的刚度校核,一、梁的刚度条件,梁的刚度条件,挠度的许用值 f 一般为梁的跨度L 的1/2001/1000。,设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和max， f 和 分别为挠度和转角的许用值，则,例5: 如图所示简支梁，选用32a工字钢，跨中作用有集中力F = 20kN，跨度为 l = 8.86m，弹性模量 E = 210GPa，梁的许用挠度 。试校核梁的刚度。,解：查型钢表可得32a工字钢的惯性矩为：,查表可得梁的跨中挠度为,故该梁满足刚度条件,6.2.5 梁的刚度校核,提高梁的刚度措施

9、提高梁的抗弯刚度 减少梁的跨度或增加支座 改善加载方式,梁的弯曲变形与梁的抗弯刚度EI、梁的跨度l以及梁的载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：,1）提高梁的抗弯刚度EI,梁的挠度与抗弯刚度EI成反比，因此提高梁的抗弯刚度EI，可以降低梁的变形。值得注意的是，由于各种钢材的弹性模量较为接近，使用高强度的合金钢代替普通低碳钢，并不能明显提高其刚度。要提高梁的抗弯刚度，应在面积不变的情况下增大截面的惯性矩，例如使用工字形、圆环形截面，可提高单位面积的惯性矩。,2）减小梁的跨度,因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以减小梁的跨度，将使梁的挠度大为减小。,如果把简

10、支梁的支座向内移动 a ，简支梁变成外伸梁，梁的跨度减小了。因为外伸梁段上的载荷使梁产生向上的挠度，中间梁段的载荷使梁产生向下的挠度，它们之间有一部分相互抵消，因此挠度减小了。,3）改善梁的载荷作用方式,合理调整载荷的位置及分布方式，可以降低弯矩，从而减小梁的变形。如图所示作用在跨中的集中力，如果分成一半对称作用在梁的两侧（见右图 ），甚至化为均布载荷，则梁的变形将会减小。,6-3 单位荷载法求结构的变形,3.3.1单位荷载法的基本公式,求k点竖向位移,欲求的某一截面的变形。,MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因；虚设单位荷载引起的内力是 。,例: 1)求A点水平位移,所加单位广义力与所求

11、广义位移相对应,该单位 广义力在所求广义位移上做功.,单位力状态的确定,2)求A截面转角,3)求AB两点相对水平位移,4)求AB两截面相对转角,6-3 单位荷载法求结构的变形,3.3.1单位荷载法的基本公式,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,m=1,6-3 单位荷载法求结构的变形,6-3 单位荷载法求结构的变形,1.梁与刚架,3.3.1单位荷载法的基本公式,2.桁架,3.拱,6-3 单位荷载法求结构的变形,例1.求图示悬臂梁B端的竖向位移BV。EI为常数。,解:(1) 取图(b)所示虚力状态。 (2) 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以下侧受拉为正 B为原点) MP=qx2/2 (0

12、xl) =x (0xl) (3) 将MP及 代入位移公式，得,在杆件数量多的情况下,不方便。下面介绍计算位移的图乘法.,6-4 图乘法,刚架与梁的位移单位荷载法的计算公式为：,一、图乘法,图乘法求位移公式为:,图乘法的 适用条件是 什么?,1、杆件的轴线为直线。 2、在积分区间内MP、 图 中至少有一个是直线。 3、EI在积分区间内是常数。,例. 试求图示梁B端转角.,解:,MP,例. 试求图示结构B点竖向位移.,解:,MP,Mi,二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法,二次抛物线,图,图,例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解:,三、图形分解,求,MP,Mi,三、图形分解,求

13、,MP,Mi,当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.,三、图形分解,求,Mi,取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.,能用 Mi图面积乘 MP图竖标吗?,三、图形分解,求,MP,Mi,三、图乘法小结,1. 图乘法的应用条件：,（1）等截面直杆，EI为常数；,（2）两个M图中应有一个是直线；,（3） 应取自直线图中。,2. 若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。,3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.,例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 。,三、应用举例,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,6.4.1 力法的基本原理和超静定次数 6.4.2

14、力法的基本方程,6-4 力法解超静定梁,6.4.1 力法的基本概念和超静定次数,超静定结构的组成 力法的基本原理 超静定次数的确定方法,力法的基本概念和超静定次数,力法的基本原理和超静定次数 超静定结构的组成,静定结构(statically determinate structure)：,从几何组成性质看，为无多余约束的几何不变体系；从力学性质看，其内力和支座反力均可由静力平衡条件唯一确定。,超静定结构(statically indeterminate structure)：,从几何组成性质看，为有多余约束的几何不变体系；从力学性质看，其内力和支座反力不可能完全由静力平衡条件唯一确定。,所以，

15、内力和支座反力完全由静力平衡条件唯一确定的结构称为静定结构，而不能完全由静力平衡条件唯一确定的结构称为超静定结构。,力法的基本概念,力状态等价,位移状态？,位移等价条件,基本结构(primary structure),原结构(original structure),X1被称为原结构的多余未知力， 对应的约束被称为多余约束，当多余未知力通过补充的位移条件被确定后，超静定结构的支座反力和内力就可完全确定，其方法即力法。,力法的基本概念和超静定次数,超静定次数的确定方法,确定超静定次数的方法：,从原结构(超静定结构)中去掉多余约束，代之以多余未知力Xi，直到原结构变成为静定结构(基本结构), 这时，

16、基本结构中所作用的多余未知力个数即为超静定结构的超静定次数。,力法的基本概念和超静定次数,注意 :,(1) 关键是要去掉所有的多余约束，不能去掉太多也不能去掉太少;,(2) 在去掉多余约束时要与相应静定结构比较，以确定是否去掉了所有多余约束？,(3) 去掉约束数的计算：,去掉或切断一根链杆相当于拆掉一个约束；,拆开一单铰相当于拆掉二个约束；,切断一梁式杆相当于拆掉三约束；,使一根梁式杆变为单铰连接，相当于拆掉一个约束；,去掉一根支座链杆相当于拆掉一个约束，去掉一个固定支座相当于拆掉三个约束，使一个固定支座变成为铰支座相当于拆掉一个约束。,力法的基本概念和超静定次数,例：超静定次数的确定和基本结

17、构的选取,从原结构(超静定结构)中去掉多余约束，代之以多余未知力Xi，直到原结构变成为静定结构(基本结构), 基体结构中所作用的多余未知力个数。,一次超静定,二次超静定,三次超静定,力法的基本概念和超静定次数,从原结构(超静定结构)中去掉多余约束，代之以多余未知力Xi，直到原结构变成为静定结构(基本结构), 基体结构中所作用的多余未知力个数。,三次超静定,三次超静定,基本结构 I,基本结构 II,结论：选取超静定结构的基本结构时，其结果是不唯一的。,力法的基本概念和超静定次数,从原结构(超静定结构)中去掉多余约束，代之以多余未知力Xi，直到原结构变成为静定结构(基本结构), 基体结构中所作用的

18、多余未知力个数。,基本结构 I,基本结构 II,结论：1. 一个超静定结构的基本结构可以有多种，但超静定次数是一定的；,2. 基本结构必须是静定结构，瞬变体系不能作为基本结构。,不能选为基本结构,力法的基本概念和超静定次数,6.4.2 力法的基本方程,一次超静定结构的力法方程 二次超静定结构的力法方程 三次超静定结构的力法方程 n次超静定结构的力法方程,6.4.2力法的基本方程,一次超静定结构的力法方程,原结构,基本结构,位移条件,1P：为基本结构在已知荷载单独作用下沿X1方向产生的位移；,11：为基本结构在多余未力单独作用下沿X1方向产生的位移。,原结构,基本结构,位移条件,1P：为基本结构

19、在已知荷载单独作用下沿X1方向产生的位移；,11：为基本结构在单位多余未力X1=1单独作用下沿X1方向产生的位移。,力法典型方程(canonical equation of force method),6.4.2力法的基本方程,力法的分析步骤：,(1) 选取基本结构，确定未知力个数，列出力法基本方程；,(2) 画出弯矩图：,MP图：为基本结构在已知荷载单独作用下的弯矩图；,图：为基本结构在单位多余未力X1=1单独作用下的弯矩图。,(3) 求系数及自由项；,1P：自由项，为基本结构在已知荷载单独作用下沿X1方向产生的位移；,11：称为主系数，为基本结构在X1=1单独作用下沿X1方向产生的位移。,(4) 解方程，求多余未知力X1；,(5) 求超静定结构的最后内力，并画出相应的内力图。,6.4.2力法的基本方程,例1：,解：,(1) 选取基本 结构, 并列出 方程,(2) 画弯矩图,(3) 求11, 1P,6.4.2力法的基本方程,6.4.2力法的基本方程,(4) 求X1,(5) 画弯矩图,二次超静定结构的力法方程,原结构,基本结构,位移条件：,二次超静定结构有2个位移条件,1P, 2P :,自由项, 为基本结构在已知