列一元二次方程解应用题经典题型详解

1、列举一维二次方程求解应用问题的经典问题类型分析在学习了一维二次方程的解之后，你会经常遇到生活中与一维二次方程相关的应用问题，也就是列举一维二次方程的应用问题。许多学生在遇到这样的问题时总是进退两难，而且很难写。事实上，只要学生能够仔细阅读问题，分析问题的含义，并学会分解问题和分解问题，从而找到已知的条件和未知的问题，如果需要，我们可以通过画和列出来帮助我们理顺已知和未知的关系，并找到一个或几个相等的公式，从而列出方程的解。同时，我们应该检查答案的正确性并及时回答。现在，我们将列举十个典型的在解决一维二次方程应用问题时遇到的常见问题，并举例说明。1、利润问题这类问题的常见等价关系是：利润=销售价

2、格-购买价格，总利润=每种商品的利润销售数量，利润率=。一家购物中心卖一批名牌衬衫，现在平均每天能卖20件。每件获利40元。为了尽快扩大销售量、增加利润和减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经过调查，发现如果这种衬衫的价格下降1元，平均每天多卖两件。如果购物中心希望平均每天盈利1200元，每件衬衫应该降价多少？分析：假设每件衬衫降价人民币元，现在每件衬衫的利润为人民币元(40-)，每天售出的衬衫数量为人民币元(20 2)。根据等价关系：每件衬衫销售的利润衬衫数量=销售利润，等式可以列出。解决方案：假设每件衬衫都要降价人民币。根据问题的意思，你可以得到它(40-)(20+2)=1200解决的办

3、法是1=10，2=20，因为库存是尽快减少的，拿走20 每件应该减少20元。甲：稍微有点第二，商品定价例2怡群精品店以每件21元的价格购买一批商品，可以自行定价。如果每件商品的价格是1元，它可以卖(350-10元)件，但是物价局限制每件商品的利润不超过20%。这家商店计划赚400元。需要购买多少件？每种商品应该定价多少？根据问题的含义，(a-21) (350-10a)=400，完成后，a2-56a775=0。为了求解这个方程，我们得到a1=25，a2=31。因为21 (1 20%)=25.2，a2=31不适合这个问题。因此，350-10a=350-1025=100件。答：需要购买100件，每件

4、价格为25元。这表明商品定价是商品交易中的一个重要问题，也是各种检验中的一个热点。第三，储蓄问题例3:王红梅每年第一次将1000元的压岁钱秘密存入“儿童银行”。到期后，他取出本金和利息，将500元捐赠给“希望工程”。其余的都是每年存入的。此时，存款年利率已降至首次存款时年利率的90%。到期后，可收取530元的本金和利息，并计算首次存款时的年利率。(假设不包括利息税)第一笔存款的年利率是10% .根据问题的含义，我们得到1000 (1x)-500 (10.9x)=530。完成后，我们得到90x2145x-3=0。通过求解该方程，我们得到x1 0.0204=2.04%，x2 -1.63。由于存款利

5、率不能为负，x2-1.63被丢弃。答：首笔存款的年利率约为2.04%。解释这个解决方案是基于教育储蓄，并应注意排除利息税。第四，利益问题例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，却无法把竹竿斜着放进去。他测量出竹竿的长度比城门宽4米。他旁边的一个醉汉嘲笑他。你没看到城门的高度吗？当你把它直立时，你可以进去。结果，它比城门高2米。他们别无选择，只能咨询智者，智者教他们沿着门的对角线走。当他们这表明，似乎没有办法在解决这个问题的开始写，但只要你能仔细阅读和品尝，你可以找到等效关系，并列出方程的解决方案。5.古代诗歌例5阅读诗歌解决问题：(通过列出方程式计算周瑜去世时的年龄)。大江东去，海浪冲刷出来，多少人在老

6、去；在他建立的那一年，他监督东吴，后者英年早逝，以两位数的速度死去；十个数字只是小数字，三个数字，一个数字的平方和首付；哪个学生学得快，从周瑜到现在已经过了多少年了？如果周瑜死亡时的年龄是X，那么十个数字就是X-3。然后根据问题的含义，我们得到x2=10 (x-3) x，即x2-11x30=0，并求解这个方程得到x=5或x=6。当x=5时，周瑜的年龄是25岁，没有一年的站立时间，不适合提问，放弃；当x=6时，周瑜的年龄是36岁，这完全符合问题的含义。答：周瑜逝世，享年36岁。这表明这个话题是一个古老的诗歌问题，但它涉及数字和年龄。学生应该通过解决问题来认真对待它。六.国际象棋比赛例6在一场国际

7、象棋比赛中，每名选手与其他选手只进行一场比赛，每场比赛赢家得2分，输家得0分。在平局的情况下，两名选手各得1分，该系的四名学生计算了比赛中所有被选中选手的总分，即1979年、1980年、1984年和1985年。经过核实，一名学生的统计数据是正确的。试着计算有多少玩家参与了这个游戏。假设总共有N个玩家参加比赛，并且每个玩家必须在一个游戏中与(N-1)个玩家竞争，总共N (N-1)个游戏，但是从每个玩家的角度来看，两个玩家之间的游戏被计算一次，因此游戏的实际总数应该是N (N-1)个游戏。因为每场比赛都有2分，所以所有的球员总得分为N (N-1)。显然，两个相邻自然数的乘积的最后一位只能是0，2，

8、6，所以总分不能是1979，1984，1985，所以总分只能是1980，所以从n (n-1)=1980，N2-n-1980=0，而解是n1=45，N2=-44(省略)这场比赛有45名选手。这表明，其他类似于本课题的国际象棋比赛或相互赠送新年贺卡的体育比赛可以通过模仿一些方法来解决。七.情景对话例7为了吸引市民到天水湾景区旅游，春秋旅行社推出了如图1所示的收费标准。某单位组织员工到天水湾景区旅游，并向春秋旅行社支付了共计2.7万元。这次有多少员工去了天水湾景区？本次共有x名员工前往天水湾景区。因为100025=25000 27000，所以员工人数必须超过25人。根据问题的含义，1000-20 (

9、x-25) x=27000。完成后，x2-75x1350=0，并求解此方程，x1=45，x2=30。当x=45时，1000-20 (x-25)=600 700，这符合问题的含义。答：这次，该单位共有30名员工前往天水湾风景区旅游。图1如果人数超过25人，人均旅行费用将低于700元，但人均旅行费用不会低于。如果人数不超过25人，人均旅行费用为1000元。这说明在解决这个问题时，我们应该始终注意对话框中的数量关系，并注意分类讨论，找出符合问题含义的结论。八、产品变形相等实施例8将长18米、宽15米的矩形荒地建造成花园(阴影部分)，其占据了原始荒地面积的三分之二(精确到0.1米)(1)在设计方案1中

10、(如图2所示)，将在花园中建造两条相互垂直且宽度相等的路径。(2)设计方案二(如图3所示)花园中每个角落的扇形都是一样的。上述两项计划合资格吗？如果是，请计算图2中路径的宽度和图3中风扇的半径；如果不符合条件，请说明原因。(1)如果路径宽度是x，则18x16x-x2=1815，即x2-34x180=0，解这个方程，得到x=，也就是说，x6.6。(2)如果扇形的半径是R，那么R2=1815，即r257.32，所以r7.6。图2图4图3这是例9如图4所示，在ABC中， c=90，AC=6厘米，BC=8厘米，点p以1厘米/秒的速度从点a沿AC移动到点c，点q以2厘米/秒的速度从点c沿CB移动到点b

11、.(1)如果p和q同时开始，几秒钟后，PCQ的面积可以是8平方厘米。(2)在点P和点Q的运动过程中是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC面积的一半。如果有，找出运动时间；如果不存在，解释原因。因为 C=90，AB=10(厘米)。(1)xs设置后，PCQ的面积为8cm2，所以AP=xcm，PC=(6-x) cm，CQ=2xcm。根据问题的意思，我们得到(6-x) 2x=8。完成后，我们得到x2-6x8=0。求解这个方程后，我们得到x1=2，x2=4。因此，当p和q同时开始时，2s或4s后PCQ的面积可为8cm2。(2)设定点P x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半。根据问题的意思，(6

12、-x) 2x=68。完成后，x2-6x12=0。由于这个方程没有实数根，当PCQ的面积等于面积的一半时，就没有任何时刻。这表明，虽然这个问题是一个动态的应用问题，但它应该应用到旅行的知识中去，而且解决方案必须基于距离=速度和时间。十、阶梯问题例10一个长度为10米的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角6米。(1)如果梯子顶部向下滑动1米，梯子底部水平滑动多少米？(2)如果梯子底部水平向外滑动1米，梯子顶部滑动多少米？(3)如果梯子顶部向下滑动的距离等于底部向外滑动的距离，滑动距离是多少？根据这个问题，从梯子顶端到拐角的距离=8 (m)。(1)如果梯子的顶部滑动1米，则顶部离地面7米。将梯子底部设置为

13、滑动xm。根据毕达哥拉斯定理，方程72 (6x) 2=102被整理出来，得到x212x-15=0。为了求解这个方程，我们得到x11.14，x2 -13.14(截断)。因此，梯子的顶部向下滑动1米，底部水平滑动约1.14米。(2)当梯子底部水平向外滑动1m时，梯子顶部向下滑动xm。根据毕达哥拉斯定理，方程(8-x) 2 (61) 2=100，而x2-16x13=0。为了求解这个方程，我们得到x10.86和x215.14。因此，如果梯子的底端水平向外滑动1米，顶端向下滑动约0.86米。(3)当梯子顶部向下滑动xm时，底部向外滑动xm。然后根据毕达哥拉斯定理，方程(8-x) 2 (6x) 2=102

14、，整理后，2x2-4x=0，为了求解这个方程，我们得到x1=0和x2=2。因此，当梯子的顶部向下滑动2米时，底部向外滑动2米。它表明无论梯子如何沿着墙壁上下滑动，梯子总是与墙壁和地面形成一个直角三角形。XI。导航问题图5例11如图5所示，我们的海军基地位于a处，在正南200海里处有一个重要目标b，在正东200海里处有一个重要目标c。d岛正好位于交流电的中点，岛上有一个供电终端。f岛位于公元前，就在d岛的南面，一艘战舰以恒定的速度从a岛航行到c岛，同时一艘补给船以恒定的速度从d岛直线航行，以便向战舰发送一批物品。d岛和f岛相距多少海里？(2)已知军舰的速度是补给船的两倍，并且军舰在从B到C的途中

15、在E处与补给船相遇，那么补给船相遇时航行了多少海里？(精确到0.1海里)(1)如果f位于d的正南方，DFBC.因为ABBC和d是AC的中点，df=ab=100海里，所以d岛和f岛之间的距离是100海里。(2)如果补给船相遇时航行了X海里，则德=X海里，阿贝=2x海里，英制=ABBC-(阿贝)-CF=(300-2x)海里。在RtDEF中，方程x2=1002 (300-2x) 2可以根据毕达哥拉斯定理得到，3x2-1200x=0可以在结束后得到。为了解决这个方程，我们得到x1=200- 118.4，x2=200(如果它不适合这个问题，放弃它)。因此，补给船相遇时航行了大约118.4海里。这说明在解

16、决这个问题时，我们必须仔细分析问题的含义，及时找出问题中的等价关系，并从图形中找出直角三角形，这样才能正确地用勾股定理来公式化实例12如图6所示，正方形ABCD的边长为12，并被分成1212个小正方形格子。如图所示，边长为n(n为整数，2n11)的黑白方形纸张交替放置。第一张nn张纸只覆盖了正方形ABCD左上角的nn个小正方形格子，第二张纸只覆盖了第一张纸(n-1)请仔细观察和思考后回答以下问题：(1)由于方形纸片的边长n值不同，用于放置的方形纸片数量也不同，请填写下表：这张纸的边长是n23456使用的纸张数量(2)让纸覆盖的正方形ABCD的面积(重叠部分只计算一次)为S1，未覆盖的面积为S2

17、。(1)当n=2时，求出S1的值：S2；是否有一个n值使得S1=S2？如果它存在，就去要求它；如果没有，请解释原因。图6解决方案(1)根据问题的意思，你可以依次填写表格：11，10，9，8和7。(2)S1=N2(12-n)N2-(n-1)2=-N2 25n-12。当n=2时，S1=-22 252-12=34，S2=1212-34=110。所以S1: S2=34: 110=17: 55。(2)如果S1=S2，则有-N2 25N-12=122，即N2-25N84=0。解这个方程得到n1=4，N2=21(省略)。所以当n=4时，S1=S2。所以这个n值是存在的。据解释，在解决这个问题时，我们应该通过阅读问题中设置的条件和提供的图表，及时挖掘出隐藏的条件。对于第(3)项的解，我们可以先假设问题的存在，然后构造一个变量的二次方程，并判断一个变量的二次方程是否有实数根。十三、问题中的探索例13将一根20厘米长的铁丝切成两段，用每段铁丝的长度做一个正方形作为周长。(1)为了使这两个正方形