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文档简介
1、基础过关第4课时 直线和平面垂直4点到平面距离过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离5直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时,这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离典型例题例1. OA、OB、OC两两互相垂直,G为ABC的垂心求证:OG平面ABCBACOG证明:OA、OB、OC两两互相垂直OA平面OBC OABC又G为ABC的垂心 AGBC, BC面OAGBCOG同理可证:ACOG 又BCACCOG平面ABCPMBCDAN(1) 求证:MNCD;(2) 若PDA45,求证:MN面PCD证明:(1) 连AC取中点O,连NO、MO,并且MO交CD于RN为PC中点 NO为PAC的中位线 N
2、OPA而PA平面ABCD NO平面ABCDMN在平面ABCD的射影为MO,又ABCD是矩形M为AB中点,O为AC中点 MOCDCDMN(2) 连NR,则NRM45PDA又O为MR的中点,且NOMRMNR为等腰三角形 且NRMNMR45MNR90 MNNR 又MNCDMN平面PCD变式训练2:PD垂直于平面ABCD所在平面,PBAC,PAAB 求证: ABCD是正方形; PCBC证明:略PDABCFE例3如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PD底面ABCD,ADPD,E、F分别为CD、PB的中点(1) 求证:EF平面PAB;(2) 设ABBC,求AC与平面AEF所成的角的大小(1) 证
3、明:连结EPPD底面ABCD,DE在平面ABCD中,PDDE,又CEED,PDADBC,RtBCERtPDE,PEBEF为PB中点,EFPB由垂线定理得PAAB,在RtPAB中,PFAF,又PEBEEA,EFPEFA,EFFA PB、FA为平面PAB内的相交直线,EF平面PAB(2) 解:不防设BC1,则ADPD1,AB,PA,ACPAB为等腰直角三角形且PB2,是其斜边中点,BF1,且AFPBPB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直PB平面AEF连结BE交AC于G,作GHBP交EF于H,则GH平面AEFGAH为AC与平面AEF所成的角由EGCBGA可知EGGB,EGEB,AGAC由EG
4、HBGF可知GHBFsinGAHAC与面AEF所成的角为arc sin变式训练3:如图,在三棱锥ABCD中,平面ABD平面BCD,BADBDC90,ABAD3,BC2CD求:(1) 求AC的长;(2) 求证:平面ABC平面ACD;(3) 求D点到平面ABC的距离dABDC解:(1) (2)略(3)因VADBC(DCBD)OA6,又VDABC(ABAC)dd,VABCDVDABC,则d6,解得d.例4:如图,棱长为4的正方体AC1,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC14CPA1C1D1ABCDPHOB1(1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小;(2) 设O点在平面
5、D1AP上的射影是H,求证:D1HAP;(3) 求点P到平面ABD1的距离答案: (1) APBarctan(2) AP在面AC上的射影为AC 又ACBDPABD 而BDB1D1 B1D1AP而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H D1HAP(3) 面ABD1面BC1 过P作PMBC1于M则PM变式训练4:三棱锥VABC的三条侧棱VA、VC两两垂直,顶点V在底面内的射影是H(1) 求证H是ABC的垂心;(2) VEHACBD(1) 证明:连结AH交BC于D点,连接CH交AB于E点,VAVB,VAVC,VBVCV,VAVBC面,又BCVBC面,BCVAVHABC面,BCABC面,BCVH,又VAVHA,BCVHA面又ADVHA面,ADBC,同理可得CEAB,H是ABC的垂心(2) 连接VE,在RtVEC中,VE2EHE
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