贵州省遵义市2020届高三数学9月第一次统一考试试题 理（含解析）（通用）

1、贵州省遵义市2020届高三数学9月第一次统一考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对集合内的不等式进行计算，然后根据交集运算得到答案.【详解】集合中，解不等式，得，所以集合而集合所以，故选C项.【点睛】本题考查对数不等式的计算，集合交集的运算，属于简单题.2.在复平面内，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】对条件中的式子进行计算化简，得到复数，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案.【

2、详解】由，得所以在复平面对应的点为，所以对应的点在第一象限.故选A项.【点睛】本题考查复数的计算，复平面的相关概念，属于简单题.3.已知两个单位向量和的夹角为，则的最小值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】对平方，然后将单位向量和的模长和夹角带入，得到关于的函数，然后得到其最小值，从而得到答案.【详解】因为和是单位向量，且夹角为所以，所以，所以的最小值为.【点睛】本题考查向量模长的表示，求模长的最小值，属于简单题,4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】故选A5.已知：，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别将

3、与特殊值进行比较，然后判断出其大小关系，得到答案.【详解】因为，所以，故选D项.【点睛】本题考查比较指数值和对数值的大小，属于简单题.6.执行如图所示程序框图，若输入的，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的要求，得到每次循环对应的的值，再根据判断语句，结束循环，输出的值，得到答案.【详解】根据程序框图的循环语句可知第一次循环，此时，；第二次循环，此时，；第三次循环，此时，；第四次循环，此时，；第五次循环，此时，；第六次循环，不满足，循环停止，输出故选C项.【点睛】本题考查根据输入值求程序框图的输出值，裂项相消求数列的和，属于简单题.7.已知函数，则不等

4、式的解集是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，根据函数的解析式，求解函数是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，又由，即函数定义域上的奇函数，又由不等式可转化为 即，即，解得，即不等式的解集为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自

5、阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.9.已知函数，是的导函数，则下列结论中错误的是A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点，则是函数的零点C. 把函数的图像向右平移个单位，就可以得到函数的图像D. 函数和在区间上都是增函数【答案】C【解析】【分析】先求出的导数，结合解析式的特点来判断.【详解】，所以选项A正确；由极值点定义可知选项B正确；把的图像向右平移个单位，得到与不相等；故选C.【点睛】

6、本题主要考查三角函数的图像和性质.三角函数的图像变换主要平移方向和系数的影响.10.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1记作数列，若数列的前n项和为，则（ ）A. 265B. 521C. 1034D. 2059【答案】B【解析】【分析】先计算出杨辉三角中第47个数在第几行，然后根据每行规律得到这一行的和，然后再求其前47项的和.【详解】根据题意杨辉三角

7、前9行共有故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9，所以前47项的和故选B项.【点睛】本题考查杨辉三角的特点，等比数列求和，属于中档题.11.已知边长为4等边三角形，D为的中点，以为折痕，将三角形折成直二面角，则经过A，B，C，D球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先对平面图形进行转换，将三棱锥补齐成长方体，进一步求出长方体外接球体的半径，最后求出所求球的表面积【详解】如图所示，边长为4的等边三角形，D为的中点，以为折痕，将三角形折成直二面角.则,将三棱锥可补成一个长方体，则经过A，B，C，D球为长方体的外接球，设球的半径为故：所以所以其

8、表面积.故选C项.【点睛】本题考查通过补齐图形求三棱锥的外接球半径及表面积，属于中档题.12.已知分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )A. 3B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】求出到渐近线距离，利用关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，可得直角三角形，由勾股定理得关于的方程，即可求出双曲线的离心率.【详解】由题意， ，一条渐近线方程为,则到渐近线的距离为，设关于渐近线的对称点为与渐近线交于，为的中点，又是的中点，为直角,为直角三角形，由勾股定理得，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线与离心率，属于难题.离

9、心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解二、填空题:把答案填在题中横线上13.直线与圆（其中）无公共点，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，将圆的圆心和半径表示出来，然后利用公式，得到关于的不等式，解出答案.【详解】圆（其中）,圆心为，半径为，且因为直线与圆无公共点则圆心直线的距离大于半径，即，且解得的范围为.【点睛】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于简单题.14.甲几

10、何体（上）与乙几何体（下）组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为，则等于_ 【答案】13【解析】【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥利用体积计算公式即可得出【详解】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥，.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求球和圆锥的体积，属于简单题.15.已知数列、均为等差数列，且前n项和分别为和，若，则_【答案】【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的，再由等差数列的求和公式，转化为，从而得到答案.【详解】因为数列、均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列

11、的求和公式，属于中档题.16.已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先由函数得到定点坐标，再把代入直线，得到的关系，再由基本不等式得到答案.【详解】函数（且）的图象恒过定点，所以,将代入到直线中，得到，即所以当且仅当时，等号成立.所以答案为：【点睛】本题考查对数函数过定点，基本不等式求最小值，属于中档题.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设函数（）当时，求函数的值域；（）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的面积【答案】（）；（）【解析】【分析】（）对进行化简，得到正弦型函数，然后根据的范围，求出的范围，得到

12、的值域. （）由得到的值，根据和正弦定理得到的值，再由求出，根据和正弦定理，得到，由面积公式求出的面积.【详解】解：（），函数的值域为（），又，即由，由正弦定理， ，【点睛】本题考查三角函数的化简，求正弦型函数的值域，正弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.18.未来创造业对零件的精度要求越来越高.打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间.某制造企业向高校打印实验团队租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在

13、实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取个零件，度量其内径的茎叶图如图（单位：）.（1）计算平均值与标准差；（2）假设这台打印设备打印出品的零件内径服从正态分布，该团队到工厂安装调试后，试打了个零件，度量其内径分别为（单位：）：、，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？参考数据：，.【答案】(1) (2) 机器异常，需要进一步调试【解析】【分析】（1）由均值与方差的定义公式计算；（2）由正态分布求得概率后知零件内径在外的概率只有0.0026，而在外，因此机器异常【详解】（1） ， ，所以.（2）结论：需要进一步调试.理由如下：如果机器正常工作，则服从正态分布， ，零件内径在之外的概率只有

14、，而，根据原则，知机器异常，需要进一步调试.【点睛】本题考查均值与方差公式，考查正态分布，解题时由相应公式计算即可属于基础题19.如图所示，四棱锥中，底面，为的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）分别计算BCA和CAE得出两角相等，得出AEBC，故而AE平面PBC；（2）建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小【详解】（1）证明：在中，是直角三角形又为的中点，是等边三角形，又平面平面平面（2）由（1）可知，以点为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 设为平面的法向量，则

15、即设，则设为平面的法向量，则即设，则二面角的余弦值为【点睛】本题考查了线面平行的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题一般证明线面平行是从线线平行入手，通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行。20.顺次连接椭圆的四个项点，怡好构成了一个边长为且面积为的菱形（）求椭圆的方程；（）设，过椭圆C右焦点F的直线交椭圆C于A、B两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值【答案】（）；（）【解析】【分析】（）根据题意列出的方程组，解出，得到椭圆方程；（）按斜率不存在和存在分别表示出直线，直线与椭圆联立，得到，将坐标表示出来，代入，得到关于斜率的不等式，从而求

16、出其最大值，得到的范围.【详解】解：（）由已知得：，解得， 所以，椭圆C的方程为（）设，当直线垂直于x轴时，且此时，当直线不垂直于x轴时，设直线，由得， 要使不等式恒成立，只需，即的最小值为【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的交点，椭圆中的范围问题，属于中档题.21.已知， （）讨论函数的单调性；（）记表示m，n中的最大值，若，且函数恰有三个零点，求实数a的取值范围【答案】（），当时，的单减区间为；当时，的单减区间为和，单增区间为（）【解析】【分析】（）对求导，得到，然后分和，分别要求的正负，从而得到的单调区间；（）分和进行讨论，当时，可知证明至多有两个零点，不合题意，当时，先得出关于对称

17、，所以要有3个零点，则必须在上取到2个零点，得到关于的不等式组，解出的范围，得到答案.【详解】解：（）的定义域为R，当时，所以的单减区间为；当时，令，得，令，得， 综上得，当时，的单减区间为；当时，的单减区间为和，单增区间为 （），的唯一一个零点是， 由（1）可得：（）当时，的单减区间为，此时至多有两个零点，不符合题意（）当时，令，则的图象关于点对称，即的图象关于中心对称，注意到在上恒正，要有3个零点，则必须上取到2个零点，如图，极大值，且 则有， 综上，【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，极大值和零点问题，属于难题.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为

18、原点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（II）设点，分别在曲线，上运动，若，两点间距离的最小值为，求实数的值.【答案】（I），；（II）或.【解析】【分析】（I）消去参数后可得的普通方程，利用可得的直角方程.（II）利用的最小值得到圆心到直线的距离，从而可求出.【详解】（I）曲线；曲线的极坐标方程为，即，将，代入，得（II）因为曲线的半径，若点，分别在曲线，上运动，两点间距离的最小值为，即圆的圆心到直线的距离，解得或.【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造在极坐标系中，当动点在不同的几何对象上运动变化时