重庆市第一中学2020届高三数学上学期10月考试试题 理（通用）

1、重庆市第一中学2020届高三数学上学期10月考试试题 理 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 设集合，若，则集合（ ）A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的一个区间为（ ）A. B. C. D. 3.

2、 已知向量，则（ ）A. B. C. D. 4. 中国古代数学名著九章算术中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按以上顺序依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为（ ）A. 200 B. 300 C. D. 4005. 实数的大小关系为（ ）A. B. C. D. 6. 已知非零向量满足，的夹角为，且，则向量的数量积为（ ）A. B. C. D. 7. 等比数列的前项和为，且，成等差数列，则（ ）A. B. 或 C.

3、D. 或8. 设的内角所对边分别为，已知，的面积为，则的外接圆面积为（ ）A. B. C. D. 9. 在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于两点，点的坐标为，则过三点的圆截y轴所得的弦长为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，在所有棱长均为2的直三棱柱中，分别为 的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 11. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个圆心在原点，半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足 .则下列叙述

4、错误的是（ ）A. B. 当时，点到轴的距离的最大值为6C. 当时，函数单调递减 D. 当时， 12. 已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，. 过点作曲线的两条切线. 若这两条切线相互垂直，则函数的最小值为( )A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为，则该圆锥的体积为_.14. 已知向量，且，则_.15. 设锐角的内角所对边分别为，且，则的取值范围为_.16. 数列的前项和为，数列的前项和为， 满足，且. 若对任意恒成立，则实数的最大值为_三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出演算步骤或证明过程.（一）必考题：

5、共60分17（12分）设数列的前项和为，若且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（12分）如图，在中，.（1）若,求的长；（2）若的垂直平分线与分别交于两点，且，求角的大小.19.（12分）某超市计划销售某种食品，现邀请甲、乙两个商家进场试销10天.两个商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出不超出30件(含30件)的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利10元. 经统计，试销这10天两个商家每天的销量如下茎叶图（茎为十位数字，叶为个位数字）：（1）现从甲商家试销的10天中随机抽取两天，

6、求这两天的销售量都小于30件的概率；（2）根据试销10天的数据，将频率视作概率，用样本估计总体，回答以下问题：记商家乙的日返利额为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；超市拟在甲、乙两个商家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的数学期望考虑，请利用所学的统计学知识为超市作出选择，并说明理由.20.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为点，左、右顶点分别为，长轴长为，椭圆上任意一点（不与重合）与连线的斜率乘积均为.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过点的直线与椭圆交于两点，过点的直线与椭圆交于两点，且，试问：四边形可否为菱形？并请说明理由.21.（12分）已知函数（1）若在处取极小值，求实数的

7、取值范围；（2）若是函数图象上不同的三点，且，试判断与之间的大小关系，并证明（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设为曲线上不同两点（均不与重合），且满足，求的最大面积.23. 选修45：不等式选讲已知为正实数.（1）求证：；（2）求的最小值. 2020年重庆一中高2020级高三上期月考试题参考答案数 学（理） 一、选择题.(每小题5分,共60分)题号123456789101112答案DBD

8、BCABAACCB二、填空题.(每题5分,共20分) 13. 14. 15. 16. 三、解答题.(共70分)17解：（1）当时，当时， 得，因为故从第二项起，为等比，所以（2）易知是首项为，公比为的等比数列，故，则，故故18. 解：(1)在中，由余弦定理有，即，解得（2）如图，连接CD，由题设，有BDC2A，在中，由正弦定理有，故CD.在直角中，DECDsin A，所以cos A，而A(0，)，故A19.解：(1)记“抽取的两天销售量都小于30件”为事件A，则.（2）设乙商家的日销售量为a件，则当a=28时，X=285=140；当a=29时，X=295=145；当a=30时，X=305=15

9、0；当a=31时，X=305+110=160.所以X的所有可能取值为：140，145，150，160.所以X的分布列为X140145150160P所以E(X)=140+145+150+160=153依题意，甲商家的日平均销售量为：280.2+290.4+300.2+310.2=29.4.所以甲商家的日平均返利额为：60+29.43=148.2元.由得乙商家的日平均返利额为153元148.2元，所以推荐该超市选择乙商家长期销售.20.解：（1）由题意，则，。设，则点与点连线的斜率为，点与点连线的斜率为，故，又因为点在椭圆上，故有，联立解得，则椭圆的方程为.（2）由于点关于原点对称且，故关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以四边形为平行四边形；由（1），知，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，设，.联立方程，得，所以，.若是菱形，则，即，于是有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21.解：（1）定义域为，当时，在单调递减，单调递增，则在处取极小值；当时，令得或，要使在处取极小值，则解得综上，（2），令， ， ，所以在上是增函数，又，当时， ， ， ，故，当时， ， ，