福建省福清市华侨中学2020届高三数学上学期期中试题 文（通用）

1、2020学年高三（上）期中考试文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）A B C D 2已知为虚数单位，则复数（ ）A -1 B C D 3在等比数列an中，a4 ，a12是方程的两根，则a8=( )A B C D 4已知命题命题是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是（ ）A、 B、 C、 D、5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 35 B C D 6已知双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为( )A B C D7已知an等差数列，a1=9，S5=S9,那么使其前n项和Sn最大的n是

2、（ ）A 6 B 7 C 8 D 98设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A 若，则 B 若,则C 若,则 D 若，则9在中，角B为，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cosA= ( )A B C D10已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）A B C D 11已知函数，若，则的取值范围是（ ）A B C D 12已知函数在-a,a上是减函数，则a的最大值是 ( )A B C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知实数，满足不等式组目标函数，则Z的最大值为_14已知，若，则和的夹角是_.x01451202115若点为

3、圆的弦的中点，则弦所在直线方程为_.16已知函数的定义域为，部分对应值如下表。的导函数的图象如图所示。下列关于函数的命题：函数在是减函数；如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；函数有4个零点，则；其中真命题的个数是_. ( 填出你认为正确的序号)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17（本小题满分12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足.（1）求数列an的通项公式；（2）令，记数列的前n项和为Tn，证明：Tn0，故2020年至2020年该地区农村居民

4、家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元将2020年的年份代号t12代入(1)中的回归方程，得0.5122.38.3，故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为8.3千元19(本小题满分12分)在矩形ABCD所在平面的同一侧取两点E、F，使，若AB=AF=3,AD=4,DE=1.（1）求证：；（2）取BF的中点G，求证；（3）求多面体ABFDCE的体积. 20(本小题满分12分)已知抛物线，斜率为1的直线l1交抛物线C于A,B两点，当直线l1过点(1，0)时，以AB为直径的圆与直线相切.（1）求抛物线C的方程；（2）与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点，若平行线l1, l2之间的

5、距离为，且 的面积是面积的倍，求l1和l2的方程. 21（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，判断函数的单调性；（3）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）已知以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线（为参数）（1）求曲线 和 的普通方程；（2）若点在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值23选修45：不等式选讲（10分）已知函数 .（1）若，解不等式；（2）若不存在实数，使得不等式，求实数的取值范围

6、2020学年高三（上）期中考试文科数学参考答案 一、单选题1【详解】，故，选D.【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.2【详解】，故选C.【点睛】本题考查复数的运算，对于除法运算，只需分子和分母同时乘以分母的共轭复数即可计算，这类问题属于基础题.3【详解】因为是方程的根，故且 ，由是等比数列可知，故，因为，故，故，选B.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列.4A5【详解】三视图对应的几何体如图所示：其底面为直角梯形，其中，平面，且，故体积为，故选B.【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后

7、点、线、面的关系及几何量的对应的关系6【详解】由双曲线的离心率为可得，故，故椭圆的离心率为，故选D【点睛】圆锥曲线的离心率的计算，关键是找到的一个关系式即可，注意双曲线和椭圆中的意义不一样，关系也不一样，双曲线中实半轴长、虚半轴长和半焦距长满足，而在椭圆中长半轴长、短半轴长和半焦距长满足7【详解】因，故公差小于零，数列的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为，故时最大【点睛】等差数列的通项公式和前和公式有如下函数特征：（1）等差数列的通项可写为，当时，数列的散点图分布在一次函数的图像上，且直线的斜率就是公差（2）等差数列的前项和可写为，当时，数列的散点图分布在二次函数上，该二次函数的图像恒过，当

8、时，散点图开点向上，当，散点图开口向下8【详解】如图，平面平面，平面，平面，但，故A错；平面平面，平面，但平面，故B错；，平面，平面，但平面平面，故C错；对于D，因为，所以，而，所以综上，选D【点睛】本题考查立体几何中的点、线、面的位置关系，具有一定的综合性解决这类问题，可选择一些常见的几何模型，在模型中寻找符合条件的位置关系或反例9【解析】作延长线上一点为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理得，由余弦定理得，故选A.10【详解】由图像可知的周期为，故图像的对称中心为，当时，有对称中心为，故选D【点睛】的图像上相邻两条对称轴之间的距离为半周期，相邻两个对称中心之间的距离为半周期三角函数的图像和性

9、质大多数和其对称轴和对称中心相关11【详解】，当时，故，所以为上的增函数又，故为上的奇函数，因等价于，故，故，故选C【点睛】函数值的大小关系与自变量大小关系的转化，常需要利用函数的单调性和奇偶性来转化，如果函数较为复杂，应把函数函数看出一些简单函数的加、减等，再利用导数等工具判别这些简单函数的单调性等性质即可12【详解】，由题设，有在上恒成立，所以，故，所以，因，故即，的最大值为，故选A【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则二、填空题13【详解】不等组对应的可行域如图所示，当动直线过是有最大值，由 得，故，此时，填3【点睛】二

10、元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率14【详解】因为，故，故即，故，因，故，填【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.15【解析】因为 为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，所在直线方程为，化简为，故答案为.【考点】1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.16【详解】由导函数的图像可知函数的单调增区间为-1,0，（1,4），单调减区间为(0,1，4,5，故命题为真命题；由表可知，可知当时，的最

11、大值是2，t的最大值为5；所以命题为假命题；由函数有4个零点，可得函数的图像与直线有四个交点，所以，所以命题为真命题。故选B。【点睛】判断导函数的图像和函数图像之间的关系，应注意时，函数为增函数，时，函数为减函数。由函数的零点个数求参数的取值范围，一般有两种方法： 求函数的单调性和极值，考虑函数的图像与轴交点的个数，进而可求参数的取值范围；转化为考虑函数的图像与直线交点的个数问题。三、解答题17【详解】（1）当时， ，整理得，当时，有.数列是以为公比，以为首项的等比数列， 所以（2）由（1）有，则 ， 故 ，故原不等式得证.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和

12、，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18解(1)由所给数据计算得(1234567)4，(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3， (ti)2941014928， (ti)(yi)(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614，0.5，4.30.542.3，所求回归方程为0.5t2.3.(2)由(1)知，b0.50，故2020年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元将2020年的年份代

13、号t12代入(1)中的回归方程，得0.5122.38.3，故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为8.3千元19 解：(1)四边形是矩形， ，又，在平面内，.4分(2)连结交于点，则是的中位线，在平面内，所以.8分（3）.12分20解：（1）设AB直线方程为代入得 设当时，AB的中点为依题意可知，解之得抛物线方程为.4分 （2）O到直线的距离为，.6分因为平行线之间的距离为，则CD的直线方程为.8分依题意可知，即化简得，代入或者.12分 21【详解】（1）当时，函数的导函数,则切线的斜率，而，所以直线的切线方程为,即 （2）依题意可得所以.故，列表讨论如下： 单调递增极大值单调递减极小值

14、单调递增所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是 (3)当时，原不等式可化为，即对任意恒成立令，则，令，则，在上单调递增， 存在使即，当时，即；当时，即在上单调递减，在上单调递增由，得，.【点睛】（1）对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标；（2）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则（3）不等式的恒成立问题，应优先考虑参变分离的方法，把恒成立问题转化为函数的最值（或最值的范围）问题来处理，有时新函数的最值点（极值点）不易求得，可采用设而不求的思想方法，利用最值点（极值点）满足的等式化简函数的最值可以相应的最值范围22【详解】（1）曲线的普通方程为，将： 代入中，得 （2）因，则 到直线的距离为：，当时取最小值，此时【点睛】（1）极坐标方程与直角坐标方程的互化，关键是参数方程化为直角方程，关键是消去参数，消参的方法有反解消