第1-4节 n阶行列式的定义

1、.,1,物电学院,计算物理教研室,线性代数,线性代数,Linear Algebra,.,2,重要性 线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，也是硕士研究生入学全国统一考试中必考的数学课程之一。 广泛性 由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要。 主要内容 本课程主要讲授行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换、向量组的线性相关性、矩阵的相似变换、二次型等共六章内容 教

2、学要求 通过教学，使大家掌握该课程的基本理论与方法，培养创造性分析、思维和逻辑推理能力，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。,Summarize,.,考试方法 期末总评成绩满分100分, 按如下三部分折算 ： 1) 平时成绩：20% (作业+考勤) 总共10次作业，每次4道计算题。缺交一次扣4分，迟交一次扣2分； 课堂点名共10次，缺席一次扣4分，迟到一次扣2分 2) 期中考试：20% 3) 期末考试：60% 参考书目 1、杨荫华， 线性代数， 北京大学出版社， 2004 2、陈龙玄，钟立敏 线性代数简明教程， 中国科学技术大学出版社，1997 3

3、、线性代数, 同济大学应用数学系 编，高等教育出版社，2005 4、王中良, 线性代数解题指导-概念、方法与技巧，北京大学出版社，2005 5、线性代数附册学习辅导与习题选解，同济大学应用数学系编，高等教育出版 社，2004,.,总目录 第一章 行列式（6课时） 1. 二、三阶行列式的定义 2 全排列及其逆序数 3 n阶行列式的定义 4 对换 5 行列式的主要性质 6 行列式按行(列)展开 7 克拉默法则 第二章 矩阵及其运算（5课时） 1 矩阵 2 矩阵的运算 3 逆矩阵 4 矩阵的分块 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（5课时） 3.1 矩阵的初等变换 3.2 初等矩阵 3.3 矩阵的秩

4、 3.4 线性方程组的解 第四章 向量组的线性相关性（8课时） 4.1 向量组及其线性组合 4.2. 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构 4.5 向量空间 第五章 相似矩阵及二次型（8课时） 5.1 向量的内积、长度及正交性 5.2. 方阵的特征值和特征向量 5.3 相似矩阵 5.4 对称矩阵的对角化 5.5 二次型及其标准形 5.6 用配方法化二次型成标准形 5.7 正定二次型,.,5,物电学院,计算物理教研室,线性代数,第一章 行列式,.,目 录 1 二、三阶行列式 2 全排列及其逆序数 3 n阶行列式的定义 4 对换 5 行列式的性质 6 行列式按行(列

5、)展开 7 克莱姆法则,第一章 行列式,.,一、内容提要 行列式是研究线性代数的一个重要工具，近代被广泛运用到理工科各个领域，特别在工程技术和科学研究中，有很多问题需要用到“行列式”这个 数学工具。 本章主要讨论如下几个问题： 1、行列式的概念及性质； 2、行列式的计算； 3、展开法则； 4、Cramer 法则求解方程组。,第一章 行列式,.,物电学院,一、引例 本节从二元方程组的解法入手，介绍二、三阶行列式的概念以及学会用对角线法则求二、三阶行列式 n阶行列式的概念源于对线性方程组的研究：,例 设有二元线性方程组,第一节 二阶、三阶行列式,利用加减消元法: (1)*a22-(2)*a12 和

6、 (1)*a21-(2)*a11,式中的分子和分母都是方程组中四个系数分两对相乘再相减而得。,.,若,则该线性方程组有唯一解，且可用消元法求出,其解可以写成如下形式 ：,.,10,此解的公式不易记,为便于记忆和应用, 萨鲁斯(Sarrus.P.F.)创造性地引进行列式的记号:,定义:设,是四个数，称,为二阶行列式。,称为这个二阶行列式的(i,j)元素， 两个下角标i, j分别表示所在的行和列的序号， 第一个下标 i 称为行标，表明该元素位于第i 行； 第二个下标 j 称为列标，表明该元素位于第 j 列。,.,主对角线,副对角线,二、二阶行列式的计算 对角线法则,若记,对于二元线性方程组,系数行

7、列式,二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆。分别称式中红、兰线为主、副对角线。,.,对上面线性方程组的解，若用行列式记号，令：,.,物电学院,解可写成,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,.,例如，对线性方程组,由于,二元一次方程组的解为：,.,类似地，为了得出关于三元线性方程组：,的解法，引入三阶行列式：,定义,.,定义: 称,=,上式称为数表所确定的三阶行列式.,三、三阶行列式,.,物电学院,四、三阶行列式的计算,对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号， 蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,.,如果三元线性方程组,系数行

8、列式,附录: 利用三阶行列式求解三元线性方程组,2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项 为负.,.,若记,同理求出D2, D3,则三元线性方程组的解为:,.,解： 按对角线法则有：,例题2 计算三阶行列式,.,例题3 求解方程,解：方程左端的三阶行列式,.,22,为了给出n阶行列式的定义，以及展开表达式一般形式，先介绍“全排列”及其“逆序数”的概念。 1【排列】 permutation 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，或n阶排列（简称排列）。 例如:自然数1, 2 的排列共有两种： 12, 21 自然数1, 2, 3的排

9、列共有六种： 123，132， 213，231，312，321 推广: n个不同元素的排列共有 n! 种。其中, n 阶排列中都有一个从小到大的排列1,2,3,.n,称为自然顺序排列(或标准排列). 用Pn表示n个元素所成全排列的个数，则Pnn！,2 全排列及其逆序数,.,物电学院,线性代数,23,为了方便起见，今后把自然数 1,2,n 视为n个不同的元素的代表。用Pn表示这n个不同的元素中的一个排列(Pn=1,2,n) ,且 时 于是 便是1,2,n的一个排列。,.,2【逆序】 an inverseorder 在一个排列中,如果某两个元素比较,前面的数大于后 面的数,就称这两个数构成一个逆序

10、; 如在n个不同自然数的一个排列中,某个数字的右边有 ti个比它小的数字,则说明该数字在此排列中有ti个逆序。 例如: 有一排列: 31254, 31254 其中,3 后面比3小的有1,2两个数字, 则3在该排列中有两个逆序.,一个排列中所有数字的逆序数之和称为该排列的逆序数。对于排列 把这个排列中各数的反序之和称为这个排列的逆序数. 记为,【逆序数】：number of the inverse-orders,.,25,例如,排列的逆序数记作：,.,3【计算排列逆序数的方法】,方法1,分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即

11、为所求排列的逆 序数.,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.,方法2,例1 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位，逆序数为0;,2的前面有一个大的数,逆序数1； 5是最大的数，其前面没有大数,逆序数为0;,.,物电学院,线性代数,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为:,1的前面有3个比1大的数,其逆序数为3;,4的前面有1个大数,故逆逆序数为1;,.,例如 2431 45321 12n,t(2431) = 4 偶排列,t(45321) = 9 奇排列,t (12

12、n) = 0 偶排列,注意: 1、标准排列是偶排列.,4【排列的奇偶性】 奇排列（odd permutation） 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 偶排列（even permutation） 逆序数为偶数的排列称为偶排列；,.,例 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,.,物电学院,线性代数,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列.,.,2 排列具有奇偶性.,3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.,1 个不同的元素的所有排列种数为,小结,4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数:,最大的逆序总数

13、:,一般情形为 :,.,3 n阶行列式的定义,注意 红线上三元素的乘积冠以正号， 蓝线上三元素的乘积冠以负号,注意 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,1、三阶行列式的结构,.,从上式可以看出三阶行列式展开式的特点: 1）三阶行列式展开式中共有3!=6项； 2）各项都有3个因子,且是每行每列中各选一个不同的 元的积； 3）每项都有确定的符号。 把上等式右端展开的每项的三个因子按它们在行列 式中行的顺序排成:,即每项三个元的行标恰好是按自然顺序排列而列标 排成p1p2p3,构成自然数123的一个排列,共有3!=6种排列. 其中偶排列前带正号,奇排列前带负号. 因此，二、三阶行列式展开式可以改写如

14、下:,以上结果可以很自然地推广到n 阶情形,.,2【定义】 n2个元素排成n行n列，称,为n阶行列式，其中,是对所有n阶排列,取和。,此行列式可简记,或 ， 。,记一阶行列式 ；,.,.,3 【n阶行列式的等价定义】：,.,4【说明】,1）行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个 数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2） 阶行列式是 项的代数和;,3） n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n个元素的乘积;正负号由下标排列的逆序数决定.,4）一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,.,5【几个特殊行列式】： 例1 上三角行列式、下三角行列式、对角形行列式的值均为主对角线元素的乘

15、积。,上三角行列式,下三角行列式,对角形行列式,副上（下）三角形行列式、副对角形行列式的绝对值是副对角线元素之乘积：,.,6【实例分析】：,例1 计算上三角行列式,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解 分析 用展开定义求：,.,例2 计算下三角行列式,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解 分析 用展开定义求：,.,例3,.,例4 证明对角行列式,.,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,.,例5 计算对角行列式,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于 ,同理可得,解 分析,即行列式中不为零的项为,.,6、思考题,1、分别用两种方

16、法求排列16352487的逆序数.,2、已知,3 用行列式的定义计算,4 确定5阶行列式中乘积项 的符号.,.,思考题1解答,解,用方法1,1 6 3 5 2 4 8 7,用方法2,由前向后求每个数的逆序数.,.,思考题2解答,解,含 的项有两项,即,对应于,.,线性代数,解3,.,第一章,50,线性代数,【例4】确定5阶行列式中乘积项 的符号.,【解】,方法1,5 + 4 = 9,方法2,.,.,定义: 在一个排列中，将某两个数的位置对调 （其它数不动）的变动叫做一个对换。,定理1 一个排列中的任意两个数对换后，排列 改变奇偶性。,推论 n ! 个n 阶排列在同一个对换下,两两配对, 由一个变成另一个。,定理2 在全部n 阶排列中，奇偶排列各 占一半。, 4 对换,2431,2134,.,证明定理1.1 对一个排列施行一个对换改变排列的奇偶性,证明：设排列为,除 外，其它元素的逆序数不改变.,.,当 时，,的逆序数增加1;,经对换后 的逆序数不变 ,经对换后 b的逆序数减少1 ， a的逆序数不变.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当 时，,现来对换 与,.,物电学院,线性代数,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇