高三数学第一轮复习：三角平面向量综合（文）人教实验A版知识精讲（通用）

1、高三数学第一轮复习：三角平面向量综合（文）人教实验A版【本讲教育信息】一. 教学内容：三角，平面向量综合二. 重点、难点： 1. 三角恒等变形，和差倍半公式 2. 三角函数图象性质3. 平面向量4. 解三角形，正余弦定理【典型例题】例 1 已知向量=（cos，sin），求=（cos，sin）， |=。（1）求cos（）的值；（II）若，且sin=，求sin的值。 解：（1） |=，22+2=，又=（cos，sin）， =（cos，sin），2=2=1， =coscos+sinsin=cos（） cos（）= （2） ， 0-，由（1）得cos（）=， sin（）= 又sin=， cos= si

2、n=sin（）+=sin（）cos+cos（）sin=例 2 在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，C2A，（1）求的值；（2）若，求边AC的长。解：（1）（2）又由解得a=4，c=6，即AC边的长为5。例 3 已知在ABC中，且与是方程的两个根。（1）求的值； （2）若AB，求BC的长。解：（1）由所给条件，方程的两根 . （2） ， 由（1）知， 为三角形的内角， ，为三角形的内角， ， 由正弦定理得： 例 4 在ABC，三个内角A、B、C满足sinB（1+cosA）=sinAcosC（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积为4，求ABC周长的最小值。解：（1） （2） ABC的

3、周长当且仅当时取等号 ABC的周长的最小值为例 5 已知A、B、C是ABC的内角，向量，且（1）求角A；（2）若求。解：（1） ，即（2）由题意知，整理得，即或即时，使例 6 已知函数f（x）= +2sin2x（1）求函数f（x）的最大值及此时x的值；（2）求函数f（x）的单调递减区间。解：（1） cos3x=4cos3x3cosx，则=4cos2x3=2cos2x1 f（x）=2cos2x-1+2sin2x=2sin（2x+）1 在2x+=2k+时，f（x）取得最大值21即在x=k+（kZ）时，f（x）取得最大值21 （2） f（x）=2sin（2x+）1要使f（x）递减，x满足2k+2x+

4、2k+即k+xk+（kZ）又 cosx0，即xk+（kZ） 于是k+，k+ ，（k+，k+ 均为减区间 例 7 在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且cosB。（1）求cotAcotC的值；（2）设，求ac的值。解：（1）在ABC中 又b2ac由正弦定理可得 即（2） ac2又由余弦定理可得： ac3例8 已知函数的定义域为，值域为。试求函数（）的最小正周期和最值。解析：当0时，解得，从而， ，T=，最大值为5，最小值为5；当m0时， 解得，从而，T=，最大值为，最小值为。例 9 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求cosB的值；（

5、2）若，且，求b的值。（1）解：由正弦定理得，因此（2）解：由，所以例 10 已知向量=（tanx，1），=（sinx，cosx），其中 。（1）求函数的解析式及最大值；（2）若的值。解：（I）=（tanx，1），=（sinx，cosx），= （2）例 11 已知： = （cos，1 + sin）， = （1+cos， sin）（1）如果，= ，求tancot （2）如果求的取值范围解：（1）82615205 两边平方得 （2） 例 12 若函数的图象与直线相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列。（1）求的值；（2）若点是图象的对称中心，且，求点的坐标。解：（1） 由题意知，为的最大值或

6、最小值，所以或（2）由题设知，函数的周期为，.令，得，由，得或，因此点A的坐标为或【模拟试题】（答题时间：60分钟）1. 若锐角ABC的三个内角为A、B、C，两向量，且与是共线向量。（1）求角A的大小；（2）求函数的值域。2. 已知：A、B、C是ABC的三个内角，向量，），），且。 （1）求角A。 （2）若，求。3. 已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值，最小值4. 已知向量，定义。（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数的最大值及取得最大值时的的取值集合。5. 已知都是锐角，且（1）若，求的值；（2）当取最大值时，求的值。6. 已知向量：，函数，若图象的相邻两对称轴间

7、的距离为 （1）求的解析式； （2）若对任意实数，恒有成立，求实数m的取值范围。7. 已知锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且tanB=（1）求B；（2）求。8. 如图所示，在中，。（1）求AB的值；（2）求sin（2A+C）的值。9. 已知向量（cos，sin），（cos，sin），且x0，。（1）求及；（2）若f （x）= 2的最小值为7，求实数的值。10. 在中，角的对边分别为，且。（1）求角的大小；（2）当取最大值时，求角的大小。11. 已知向量且A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角。（1）求角C的大小；（2）若，求c边的长。12. 已知。（1）求的最小正周期

8、；（2）设，且函数为偶函数，求满足，的x的集合。【试题答案】1. （1）与共线，有，即因为ABC是锐角三角形，所以（2）当B=60时，y取最大值2；而因此函数的值域为2. 解：（1），且， 即 （2）由题意，得即 3. 解：（1） 的最小正周期为（2） ， 当时，函数的最大值为1，最小值4.（1） 所以，函数（2）函数所以，函数5. 解：（1） 整理得： （2）由已知得： 当且仅当时，取得最大值此时， 6. 解：（1）相邻两对称轴的距离为 （2），又若对任意，恒有解得7. 解：（1）因为而因为B为锐角，所以B=60（2）8. 解：（1）由余弦定量，AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC （

9、2）由由正弦定理： 由倍角公式知，且 9. 解：（1） a = （cos，sin）， b = （cos，sin） ab cos cossin（ sin）cos cossin sincos（）cos2x 又易知：a1，b1 ab2 a 2b 22 ab112 cos2x4cos2x ，且x0， ，ab2cosx. （2） f （x） ab2abcos2x2（2cosx）2cos2x4cosx 12（cosx）2221 若0，当cosx0时，f （x）取得最小值1，不合题意；若1，当cosx1时，f （x）取得最小值14，由题意有147，得2；若01，当cosx时，f （x）取得最小值221，由题意有2217，得（舍去）。综上所述