正弦定理和余弦定理应用举例(新)

1、正弦定理和余弦定理应用举例一、选择题1在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 ()Ab20，A45，C80 Ba30，c28，B60Ca14，b16，A45 Da12，c15，A1202一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时 ()A5海里 B5海里C10海里 D10海里32009年8月4日发生的2009年第8号台风“莫拉克”造成台湾省461人死亡，192人失踪，其台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台

2、风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是 ()A.米 B10米C.米 D20米4如图，四边形ABCD中，BC120，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于 ()A.B5C6 D75如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度决定6某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为 ()A15米 B5米C10米 D12米二、填空题7 一船以每小时15 km的速度向东航行，船在

3、A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_8在ABC中，已知sinAsinBcosCsinAsinCcosBsinBsinCcosA，若a、b、c分别是角A、B、C所对的边，则的最大值为_9线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_h后，两车的距离最小三、解答题10(2009辽宁高考)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于

4、水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)11如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP，求POC面积的最大值及此时的值12(2008湖南高考)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45(其中sin，090)且

5、与点A相距10 海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由正弦定理和余弦定理应用举例1.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 ()A.海里/时 B34海里/时C.海里/时 D34海里/时2一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.3如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现

6、已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求AB的长题组二高 度 问 题4.据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是 ()A.米 B10米 C.米 D20米5在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2，再向塔底前进10 m，又测得塔顶的仰角为4，则塔的高度为_6某人在山顶观察地面上相距2 500 m的A、B

7、两个目标，测得目标A在南偏西57，俯角为30，同时测得B在南偏东78，俯角是45，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)题组三角 度 问 题7.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于 ()A120 B105 C90 D758如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度决定题组四正、余弦定理的综合应用9.有一山坡，坡角为30，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为 ()A300 m B40

8、0 m C200 m D200 m10线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_h后，两车的距离最小11如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP，求POC面积的最大值及此时的值12(2010宁波模拟)某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8 m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5 m，BCD60，已知建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低？正弦定理

9、和余弦定理作业一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1(2010湖北)在ABC中，a15，b10，A60，则cosB()AB. C D.2(2010天津)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2b2bc，sinC2sinB，则A()A30 B60 C120 D1503(2010江西)E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF()A. B. C. D.4(2011青岛模拟)ABC中，若lgalgclgsinBlg且B，则ABC的形状是()A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形5ABC中，a、b、c

10、分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B30，ABC的面积为0.5，那么b为()A1 B3 C. D26已知锐角A是ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若sin2Acos2A，则()Abc2a Bbcc.新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最大边，其对应角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形答案：A6某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为 ()A15米 B5米C10米 D12米解析：如图

11、，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh，在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得：OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，h25h500，解得h10，或h5(舍)答案：C二、填空题7一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_解析：如图所示，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)答案：30 km8在ABC中，已知sinAsin

12、BcosCsinAsinCcosBsinBsinCcosA，若a、b、c分别是角A、B、C所对的边，则的最大值为_解析：在三角形中，由正、余弦定理可将原式转化为：abacbc，化简得：3c2a2b22ab，故，即的最大值为.答案：9线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_h后，两车的距离最小解析：如图所示：设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD80t，BE50t. 因为AB200，所以BD20080t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理：DE2BD2BE22BDBEc

13、os60(20080t)22 500t2(20080t)50t12 900t242 000t40 000.当t时DE最小答案：三、解答题10(2009辽宁高考)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)解：在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂

14、线，所以BDBA.在ABC中，即AB，因此，BD0.33 km.故B、D的距离约为0.33 km.11如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP，求POC面积的最大值及此时的值解：因为CPOB，所以CPOPOB60，OCP120.在POC中，由正弦定理得，所以CPsin.又，OCsin(60)因此POC的面积为S()CPOCsin1210sinsin(60)sinsin(60)sin(cossin)cos(260)，(0，60)所以当30时，S()取得最大值为.12(2008湖南高考)在一个特定时段内，以点E为中心的7

15、海里以内海域被设为警戒水域点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45(其中sin，090)且与点A相距10 海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由解：(1)如图AB40，AC10，BAC，sin.090，cos .由余弦定理可知，BC10，船的行驶速度为15(海里/小时)(2)如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B，C的坐标分别是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC与x轴的

16、交点为D.由题设有，x1y1AB40，x2ACcosCAD10cos(45)10(cossin)30，y2ACsinCAD10sin(45)10(cossin)20.过点B，C的直线l的斜率k2，直线l的方程为y2x40.又点E(0，55)到直线l的距离d3c新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最大边，其对应角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形答案：A题组四正、余弦定理的综合应用9.有一山坡，坡角为30，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人

17、行走的路程为 ()A300 m B400 m C200 m D200 m解析：如图，AD为山坡底线，AB为行走路线，BC垂直水平面则BC=100，BDC=30，BAD=30，BD=200，AB=2BD=400 米答案：B10线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_h后，两车的距离最小解析：如图所示：设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD

18、BEcos60=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)50t=12900t2-42000t+40000.当t=时DE最小答案：11如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP，求POC面积的最大值及此时的值解：因为CPOB，所以CPOPOB60，OCP120.在POC中，由正弦定理得，所以CPsin.又，OCsin(60)因此POC的面积为S()CPOCsin120sinsin(60)sinsin(60)sin(cossin)cos(260)，(0，60)所以当30时，S()取得最大值为.12(2010宁

19、波模拟)某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8 m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5 m，BCD60，已知建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低？解：设BCam(a1.4)，CDbm，连接BD.则在CDB中，(b)2b2a22abcos60.b.b2a2a.设ta1，t10.4，则b2a2(t1)3t47，等号成立时t0.50.4，a1.5，b4.答：当AB3 m，CD4 m时，建造这个支架的成本最低正弦定理和余弦定理一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1(2010湖北)在A

20、BC中，a15，b10，A60，则cosB()AB.C D.解析：依题意得0B60，由正弦定理得得sinB，cosB，选D.答案：D2(2010天津)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2b2bc，sinC2sinB，则A()A30 B60C120 D150解析：由sinC2sinB可得c2b，由余弦定理得cosA，于是A30，故选A.答案：A3(2010江西)E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF()A. B.C. D.解析：设AC1，则AEEFFBAB，由余弦定理得CECF，所以cosECF，所以tanECF.答案：D4(2011青岛模拟)ABC中，若

21、lgalgclgsinBlg且B，则ABC的形状是()A等边三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形解析：lgalgclgsinBlg，lglgsinBlg.sinB.B，B，由ca，得cosB.a2b2，ab.答案：D5ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B30，ABC的面积为0.5，那么b为()A1 B3C. D2解析：2bac，acac2，a2c24b24，b2a2c22acb2b.答案：C6已知锐角A是ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若sin2Acos2A，则()Abc2a Bbc2aCbc2a Dbc2a解析：由sin

22、2Acos2A，得cos2A，又A是锐角，所以A60，于是BC120.所以cos1，bc2a.答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7(2010江苏)在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若6cosC，则的值是_解析：解法一：取ab1，则cosC，由余弦定理和c2a2b22abcosC，c.在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tanAtanB，又sinC，tanC2，4.解法二：6cosC得，6，即a2b2c2，tanC4.答案：48(2010山东)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，sinBcosB，则角A的大小为_解析：由sinBcosBsin得sin1，所以B.由正弦定理得sinA，所以A或(舍去)答案：9(2010新课标全国)在ABC中，D为BC边上一点，BC3BD，AD，ADB135.若ACAB，则BD_.解析：如图，设ABc，ACb，BCa，则由题设可知BDa，CDa，所以根据余弦定理可得b2()222acos45，c2()222acos135，由题意知bc，可解得a63，所以BDa2.答案：210(2010新课标全国)在ABC中，D为边BC上一点，BDDC，ADB120，AD2.若ADC的面积为3，则BAC_.解析：由ADB120知ADC60，又因