2020高考数学冲刺 不等式（通用）

1、不等式知识点总结精华考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含绝对值的不等式数学探索版权所有考试要求：数学探索版权所有（1）理解不等式的性质及其证明数学探索版权所有（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用数学探索版权所有（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式数学探索版权所有（4）掌握简单不等式的解法数学探索版权所有（5）理解不等式a-ba+ba+b不 等 式 知识要点三.不等式

2、、线性规划、算法1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：若,则.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.取倒数:；如，等价于或2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若,则(当且仅当时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ”， 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2)，(当且仅当时,取等号)；(3)公式注意变形如：,；若,则(

3、真分数的性质)；4.证明不等式常用方法：比较法：作差比较：.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因.基本步骤：要证需证,只需证； 反证法：正难则反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有：添加或舍去一些项,如：；.将分子或分母放大(或缩小)利用基本不等式,如：.利用常用结论： ； (程度大)； (程度小)；换元法：减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元、代数换元.如：知,可设；,可设；6.（1）一元二次不等式或分及情况分别解之，如设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：或或RRR如

4、解关于的不等式：。(2)指数不等式 ；对数不等式 （1）当时，；（2）当时，。7线性规划二元一次不等式表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。不等式所表示的平面区域边界线画成实线。说明：（1）取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。（2）当两个点位于直线=0两侧，（或） （3）求的最大值，将直线平移正方向服从； （4）表示直线的右侧；表示直线上方；（5）二元一次不等式表示的平面区域：法一：先把二元一次不等式改写成或的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断； 无等号时用虚线表示不包含直线，有等号时用实线表示包含

5、直线；设点，若与同号，则P，Q在直线的同侧，异号则在直线的异侧。如已知点A（2，4），B（4，2），且直线与线段AB恒相交，则的取值范围是_（6）线性规划问题中的有关概念：满足关于的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。关于变量的解析式叫目标函数，关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数；求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解（）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；（7）求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条件列出不等式；作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而

6、获得最优解。1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）（对称性）（2）（传递性）（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加）（5）（异向不等式相减）（6）（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等式相除）（倒数关系）（11）（平方法则）（12）（开方法则）3.几个重要不等式（1）（2）（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）极值定理：若则：如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；

7、 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. （当仅当a=b=c时取等号）（当仅当a=b时取等号）（7）4.几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b为正数）：特别地，（当a = b时，）幂平均不等式：注：例如：.常用不等式的放缩法：（2）柯西不等式： （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、

8、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例 一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 （4）.指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；应用化归思想等价转化注：常用不等式的解法举例（x为正数）： 类似于，试题精粹江苏省2020年高考数学联考试题2（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2020届高三调研考试）已知等比数列中，各项

9、都是正数，且成等差数列，则= （）8（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2020届高三调研考试）已知点在由不等式组所确定的平面区域内，则所在的平面区域的面积为 （4）14（江苏省2020届苏北四市第一次联考）对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 13. （常州市2020届高三数学调研）已知，是原点，点的坐标满足，则（1）的最大值为 ；（2）的取值范围为 .； 14. （常州市2020届高三数学调研）曲线上的点到原点的距离的最小值为 . 6（姜堰二中学情调查（三）若实数对（x，y）满足约束条件，则的最小值为 212. （泰州市2020届高三第一次模拟考试）已知正实数满足，则的最小值为 。；

10、.10（江苏省南通市2020届高三第一次调研测试）若圆C：在不等式所表示的平面区域内，则的最小值为 8、（南通市六所省重点高中联考试卷）设 若2x2，2y2，则z的最小值为 13. （苏北四市2020届高三第一次调研考试）若关于x的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是 讲评建议：解决此题最好的方法是观察，故对条件两边开方，化为，再转化为函数数形结合解决，当然其它的方法也还是有的，教学中有必要展示学生解法，以体现学生的创造性。绝对值函数教学中要引起重视，绝对值函数即是分段函数。从二次函数角度也可以解决，主要是让学生了解决抛物线开口大小的是二次项系数绝对值的大小。若硬解二次不等式，会

11、者也可解之，或直接解一次不等式，等等。10、（宿迁市高三12月联考）设，则的最小值是_ _；41 （无锡市1月期末调研）不等式对一切非零实数均成立，则实数的范围为 13（徐州市12月高三调研）若，且，则的最小值为 .410（盐城市第一次调研）设满足约束条件,若目标函数的最大值为35,则的最小值为 . 813. （苏北四市2020届高三第二次调研）已知实数满足，则的取值范围是 13. （苏州市2020届高三调研测试）已知的三边长满足，则的取值范围为 .【解析】通过求得可行域如图因此可以看作是点到原点连线的斜率，。试题精粹江苏省2020年高考数学联考试题一、填空题:13（江苏省南通市2020年高三

12、二模）如图正六边形ABCDEF中，P是CDE内(包括边界)的动点，设（、R），则+的取值范围是 14（江苏省南通市2020年高三二模）设函数，若存在，使得与同时成立，则实数a的取值范围是 解析：由知，又存在，使得知即或，另中恒过，故由函数的图象知：若时, 恒大于0，显然不成立。若时，若时，另，显然不成立。13（江苏省无锡市2020年普通高中高三质量调研）已知，对一切恒成立，则实数的取值范围为 。解析：由“对一切恒成立”转化为“的最大值，又知，可转化为求“在上最大值”；因在上为减函数，的最大值为2；即的最大值为2，所以2；可得或。12（江苏省泰州市2020届高三联考试题）点在两直线和之间的带状区

13、域内（含边界），则的最小值为_解析：由，又点在两直线和之间的带状区域内（含边界）得，根据二次函数知的最小值为5.14（江苏省泰州市2020届高三联考试题）已知实数满足：，且，则的最小值为_ 解析：由知，又可化，所以，从而（当且仅当时取“=”）5(江苏通州市2020年3月高三素质检测)已知a，b(0，+)， a+b=1，则ab的最大值为 9(江苏通州市2020年3月高三素质检测)若不等式2x23x+a0的解集为( m,1)，则实数m 12（2020年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）若不等式对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是，则正整数m只能取 1或2 9（江苏省无锡市部分学校2

14、020年4月联考试卷）平面上满足约束条件的点形成的区域为，区域关于直线对称的区域为，则区域和中距离最近两点的距离为 。13（江苏省盐城市2020年高三第二次调研考试）若二次函数的值域为，则的最小值为 .5、（江苏省连云港市2020届高三二模试题）已知不等式对于,恒成立,则实数的取值范围是 . 13、（江苏省连云港市2020届高三二模试题）函数f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式 0的解集为 （，1）（1，）13（江苏省苏南六校2020年高三年级联合调研考试）当时，恒成立，则实数的取值范围是_14（江苏省苏南六校2020年高三年级联合调研考试）已知点与点在直线

15、两侧，则下列说法：； 当时，有最小值无最大值；，使恒成立；当且，时，的取值范围为，其中正确说法的序号是_11. （2020年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为”，给出如下一种解法： 参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 3、（江苏省南京市2020年3月高三第二次模拟）若，且，则的最大值是 110、（江苏省南京市2020年3月高三第二次模拟）定义在R上的奇函数,当x（0，+）时，f(x) =,则不等式f(x)0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为

16、.20（江苏省无锡市部分学校2020年4月联考试卷）（16分）已知函数。（1）若证明：对于任意的两个正数，总有成立；（2）若对任意的，不等式：恒成立，求的取值范围。 所以：在上为增函数。 即：不等式解题方法不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列

17、、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。一、知识整合 1解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰2整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质

18、及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用3在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰 4证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理

19、思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点比较法的一般步骤是：作差(商)变形判断符号(值)5证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的6不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最

20、大值或最小值利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用题的基本步骤：1.审题，2.建立不等式模型，3.解数学问题，4.作答。7通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识二、方法技巧1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。2.解含参数不等式时，要特别注

21、意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。3不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。4根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。三、例题分析b)M，且对M中的其它元素(c，d)，总有ca，则a=_分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有ca”？M中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)|y-1|+(y+3)(2)当1y3时，所以当y=1时，= 4简评：题设条件中出现集合的形

22、式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质即求集合M中的元素满足关系式例2已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ） A B C D 解：画出图象，由线性规划知识可得，选D例3数列由下列条件确定：（1）证明：对于,（2）证明：对于证明：（1）（2）当时，=。例4解关于的不等式：分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当。例5若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范围分析：要求f

23、(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组()变形得()所以f(-2)的取值范围是6，10解法二(数形结合)建立直角坐标系aob，作出不等式组()所表示的区域，如图6中的阴影部分因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时

24、，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10即f(-2)的取值范围是：6f(-2)10解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4， 所以 33f(-1)6 +得43f(-1)+f(1)10，即6f(-2)10简评：(1)在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解：2b，84a12，-3-2b-1，所以 5f(-2)11(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题若长期这样思考问题，数学的素

25、养一定会迅速提高例6设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=x，均不相交.试证明对一切都有.分析：因为xR，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)证明：由题意知，a0设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则又二次方程ax2+bx+c=x无实根，故1=(b+1)2-4ac0，2=(b-1)2-4ac0所以(b+1)2+(b-1)2-8ac0，即2b2+2-8ac0，即b2-4ac-1，所以|b2-4ac|1简评：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径例7某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。由题意得不不等式过关测试1若实数a、b