2020高考数学 考前冲刺第三部分专题八 直线和圆（通用）

1、2020考前冲刺数学第三部分【高考预测】(1)考查圆锥曲线的概念与性质;(2)求曲线方程和求轨迹;(3)关于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的问题。【易错点点睛】易错点1 直线的方程1(2020精选模拟题)已知点A【错解分析】在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=0中，B的取值，B应取-1,而不是取1.【正确解答】2(2020精选模拟题)若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切，则c的值为( )A.8或-2 B.6或-4C.4或-6 D.2或-8【错误解答】C.直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直线方程为：2(x+1)-(y+1)+

2、c=0即：2x-y+1+c=0,此直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即或-6, 故选C.【错解分析】坐标平移公式运用错误，应用x-h,y-k分别来替换原来的x,y.【正确解答】A直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直线为2x-y-3+c=0,此直线与圆相切有：或者说c=-2,故选A.4.(2020精选模拟题)设直线ax+by+c=0的倾斜角为a,且sina+cosa=0,则a、b满足 ( )A.A+b=1 B.a-b=1C.a+b=0 D.a-b=0【错误解答】C.【错解分析】直线Ax+By+c=0的斜率k=答案： D解析：略答案：162x-y+8=0 解析：由已知可设l

3、2的方程为：y=tan2x-2，l1与l3垂直，l1，的斜率为k1=2,tan2=，即l2的方程为y=-x-2，解方程组得P点坐标(-3，2)由点斜式得l1，的方程为y=2(x+3)+2易错点2两直线的位置关系1(2020精选模拟题)已知过点A(-2,m)和B(M,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为 ( )A.0 B.-8 C.2 D.10【正确解答】B法一：由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行可设直线y=kx+b,即kx-y+b=0法二：以A为圆心，1为半径画圆，以B为圆心2为半径作圆，圆心距|AB|=A与B必相交，则A与B的分切线有两条，即到点A距离为1到点B距离为2的直线有

4、2条.3(2020精选模拟题)如下图，定圆半径为a,圆心为(b,c)则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在 ( )A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【错误解答】B由图知bac0.取b=3,a=2,c=1.解方程组【错解分析】由图看出的是长度大小关系，在比较时坐标值与长度值相混淆。【正确解答】C由图形如此图圆心在第二象限且a、b、c满足球队0ca-b,取c=1,a=2,b=-3解方程组得x=-2,y=-1,故选C.此题也可以讨论ax+by+c=0在y轴截距及斜率与直线x-y+1=0进行比较去解决。4(2020精选模拟题)由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、P

5、B，切点分别为A、B，0时,z最大，当B1，当x=1，y0 3已知两点A（-1，0），B（0，2），若点P是圆（x-1）2+( )3已知两点A（-1，0），B（0，2），若点P是圆 y2=1上的动点，则ABP面积的最大值和最小值分别为 （ ） 点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆 O1、O 2的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程.答案：解：作MCAB交PQ于点M，则MC是两圆的公切线，|MC|=|MQ|，|MC|=|MP|，即M为PQ的中点设M(x，y)，则点C、O1、O2的坐标1.已知直线L过点（-2，0，当直线L） 与圆有两个交点时，其斜率k取值范围是 （ ）

6、 【错误解答】设此直线为圆心到直线的距离刚好好等于半径（即相切）时 .故选D .【错解分析】计算出见答案中有此结果, 便盲目选出答案 .并没有开方算出【正确解答】可设直线方程为代入圆的方程中,用选C .2. (2020精选模拟题) “ a=b” j是“直线与圆 ( )充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分又不必要条件【错误解答】 当 时圆心坐标为圆心到直线的距离为与半径杨等，故是直线和圆相切的充分人条件，同理不直线与圆相切时，圆心到的距离为故是直线与圆相切的充分必要条件.【错解分析】 在运用点到直线的距离公式时,应先变为 再计算. 这刊里y的系数应为- 1而不是未变形前的

7、1.【错解分析】 在算出r后,往中代入时、忘记后面是r2.【正确解答】 由圆心到直线的距离等于半径得r = 2.4. (2020精选模拟题) 设P 0 是一常数,过点Q(2P,0)的直线与抛物线交于相由【错解分析】 时,，虽然不成立，而时说明k不存在，即直线AB.【正确解答】 法一;由题意,直线AB不能是水平线,故可设直线方程为:又设A则其坐标满足 消去x得,由此得由前已证,OH应是圆H的半径,且|OH|=从而当k=0时,圆H的半径最小,亦使圆H和面积最小,此时,直线AB的方程为:法二:由题意,直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：则其坐标满足 故【特别提醒】1直线与圆、圆与圆的位置关系判断

8、时利用几何法(即圆心到直线，圆心与圆心之间的距离，结合直角三角形求解.)2.有关过圆外或圆上一点的切线问题，要熟悉切线方程的形式【变式训练】 1 已知直线ax+by+c=0(abc0)与圆x2+y2=1相切，则三条边分别为，|a|、|b|、|c|的三角形是( )A.锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不存在 答案： B 解析：2 若a2+b2-2c2=0，则直线ax+by+c=0被x2+y2=1所截得的弦长为 ( ) A B1 C D 答案： D 解析：设圆心到直线的距离为d，弦长为l，则d2= ，l=23 如图，已知点F(0，1)，直线L：y=-2，及圆C：x2+(y-3)2=1(1)

9、若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程； 答案：解x2=4y x1x2=-4 P(2，1)Smin=(2)过点F的直线g交轨迹E于C(x1，y1)、H(x2，y2)两点，求证:xlx2为定值；(3)过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值 答案：设D的坐标为(0，a)，圆D的半径为r，则(r+2)2=16+a2. 设PA、PB的斜率为k1、k2，又A、B的坐标分别为(0，a-r)、(0，a+r)则 k1=,tanAPB= 由解出a2代人，得tanAPB=而8r-6为单调增函数，r2，+tanAPB()APB

10、的最大值为arttan .(3)在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，AQB是定值?如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由答案：假设存在Q点，设Q(b，0)，QA、QB的斜率分别为 k1、k2，则中 k1 tanAQB=将a2=(r+2)2-16代人上式，得 tanAQB=欲使AQB大小与r无关，则应有b2=12，即b=2，此时tanAQB=，AQB=60,存在Q点，当圆D变动时，AQB为定值60，这Q点坐标为(2，0)【知识导学】难点1 直线的方程 1求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线乙的方程2设正方形ABCD(A、B、C、D顺时针排列)的

11、外接圆方程为x2+y2-6x+a=0(a9)，C、D点所在直线l的斜率为(1)求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率； (2)如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程； (3)如果ABCD的外接圆半径为2 ，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程 【解析】 (1)利用斜率公式求倾斜角(2)(3)运用轨迹法 【答案】 (1)由(x-3)2+y2=9-a(a9)可知圆心 M的坐标为(3，0)，依题意：ABM=BAM=，kAB= MA、MB的斜率A满足：=1，解得：kAC=-,k

12、AB=2.(2)设MB、MA的倾斜角分别为l、2，则tan1=2， tan2=-，可以推出：cos1= ，设抛物线方程为了y2=a(x-m)(*)将A(-1，2)、B (5，4)的坐标代入(*)，得解得：a=2，m=-3， 抛物线的方程为y2=2(x+3) A(-1，2)，点关于M(3，0)的观点为C(7，-2)， 故直线l的方程为y-(-2)=(x-7)，即x-3y- 13=0 难点2两直线的位置关系 1若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2，3)，B(3，2)，求实数m的取值范围【解析】 运用数形结合的思想来解，直线mx+y+ 2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0，

13、90)或 (90，180)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在ACB内部变化时，众应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，求出m的范围 (1)当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式； (2)根据A的取值范围，确定y=f(x)的定义域 【解析】 (1)设点的坐标而不求，直接转化 (2)垂足N必须在射线OB上，所以必须满足条件：y0，b0)则|OM|=a，|ON|=b 由动点P在AOx的内部，得0ykx S四边形ONPM=SONP+SOPM=(|0M|PM|+ |ON|PN|) =a(kx-y)+b(kx+y)= k(a

14、+b)x- (a-b)y=k k(a+b)x-(a-b)y=2k 又由kPM=-，kPN=，但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：yx，将它代入函数解析式，得1)，或xA(0； 当0k1时，定义域为x|x1时，定义域为x|x0，即t0，而且直线l往右平移时，t随之增大当直线l平移至ll的位置时，直线经过可行域上的点 B，此时所对应的t最大；当l在l0的左上方时，直线l上的点(x，y)满足2x-y0，即t0，而且直线l往左平移时，t随之减小当直线l平移至l2的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小由 解得点B的坐标为(5，3)；由解得点C

15、的坐标为(1，)所以，z最大值=25-3=7；z最小值=22已知三种食物P、Q、R的维生素含量与成本如下表所示食物P食物Q食物R维生素A（单位/kg）400600400维生素B（单位/kg）800200400成本（元/kg）654现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物 R混合，制成100kg的混合物如果这100kg的混合物中至少含维生素A44000单位与维生素B48000单位，那么 x、y、z为何值时，混合物的成本最小?【解析】 由x+y+z=100，得z=100-x-y，所以上述问题可以看作只含x、y两个变量设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y

16、+400于是问题就归结为求在已知条件下的线性规划问题【答案】 已知条件可归结为下列不等式组：在平面直角坐标系中，画出不等式组所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100，y=20，2x-y=40围成的一个三角形区域EFG(包括边界)，即可行域，如图所示的阴影部分设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4(100- x-y)=2x+y+400作直线l0：2x+y=0，把直线l0向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点E，且与原点的距离最小，此时2x+y的值最小，从而A的值最小 由得 即点E的坐标是(30，20) 所以，k最小值=230+20+400=480(元)，此时z= 100-30

17、-20=50答：取x=30，y=20，z=50时，混合物的成本最小，最小值是480元难点4直线与圆 (3)由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q 2已知M:x2+(y-2)2=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切OM于A、B两点，(1)如果|AB|=，求直线MQ的方程；(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程【解析】 (1)由射影定理知：|MB|2=|MP| |MQ|，得|MQ|=3，在RtMOQ，求出OQ再求直线MQ的方程；利用点M、P、Q在一直线上，斜率相等求动弦AB的中点P的轨迹方程【答案】 (1)由|AB|=，可得|MP|=,由射影定理，

18、得|MB|2=|MP|MQ|，得，|MQ|=3，在RtAMOQ中， |OQ|= 故a=或a=-所以直线MQ方程是 2x+y-2=0或2x-y+2=0；(2)连接MB、MQ，设P(x，y)、p(a，0)，由点M、P、Q在一直线上，得 ,(*)由射影定理得 |MB|2=|MP|MQ|，即 ,(答案：)把(*)及(答案：)消去a，并注意到y0，|AM1|BM1|100又当直线倾斜角等于 时，A(4，y1)、B(4，y2)，|AM1|= |BM1|=e(4+1)=10，|AM1|BM1|=100故 |AM1|BM1|100【典型习题导炼】1 方程 (R且1)表示的曲线是 ( ) A以点M1(x1，y1

19、)、M2(x2，y2)为端点的线段 B过点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)的直线 C过点Ml(x1，y1)、M2(x2，y2)两点的直线，去掉点M1的部分 D过点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)两点的直线去掉M2的部分 答案： D2 直线l经过A(2，1)、B(1，m2)(mR)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 ( ) A0， B0，(，) C0， D0， 答案： B3 曲线y=1+，x-2,2与直线y=k(x-2)+4有两个交点时，实数k的取值范围是 ( ) 答案： D4 若x、y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值是 ( ) 答案： C5 使可行域为的目标函数

20、z=ax+by(ab0)，在x=2，y=2取得最大值的充要条件是 ( )A |a|b B |a|b| C. |a|b D |a|b| 答案： A 解析：画出可行区域，直线l：ax+by=0的斜率为-，要使目标函数z=ax+by在x=2，y=2时，取得最大值，必须且只需|-|1，且直线l向上平移时，纵截距变大，所以必须且只需|-|1且 b0 6 已知向量a=(2cos，2sina)，b=(3cos，3sin)，a与b的夹角为60，则直线xcos-ysin+=0与圆(x-cos)2+(y+sin)2=的位置关系是 ( )A.相切 B相交C相离 D随,的值而定 答案： C 解析：略7 当x，y满足约

21、束条件 (k为常数)时，能使z=x+3y的最大值为12的k的值为 ( )A-9 B9C-12 D12 答案： A 解析：画出线性约束条件所表示的平面区域，由图可知，目标函数y=-的图像过直线y=x与2x+y+k=0的交点时，z最大，解得交点为(-，-)，得z=12，所以选A.说明：811解析：略8 已知点M(-3，0)、N(3，0)、O(1，0)，C与直线MN切于点B，过M、N与C相切的两直线相交于点P， 则P点的轨迹方程为 ( )Ax2-=1Bx2-=1(x1)Cx2+=1Dx2+=1 答案： B9 有下列4个命题：两直线垂直的充要条件是k1k2=-1；点M(x0，y0)在直线Ax+By+C

22、=0外时，过点M(x0，y0)与直线Ax+By+C=0(AB0)平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0；直线l1:y=2x-1到l2：y=x+5的角是；两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离是d=其中正确的命题有 ( ) A BC D以上答案均对 答案： C的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求边BC所在直线的方程 答案：解：设B(a，b)，B在直线BT上，a-4b+10=0 又AB中点 M()在直线CM上，点M的坐标满足方程6x+10y-59=0 6+10-59=0 解、组成的方程组可得a=10，b=5 B(10，5)， 又由角平分线的定义可知，直线BC到BT的角等于直线BT到直线BA的角，又kAB=，kBT= kBC=-BC所在直线的方程为y-5=-(x-10)即2x+9y-65=014 某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间