2020高考数学热点集锦 组合体问题（通用）

1、组合体问题【两年真题重温】【2020新课标全国理，15】已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，则棱锥的体积为 【答案】【答案】 【答案】B【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力.根据题意条件可知三棱柱是棱长都为的正三棱柱，则其外接球的半径为，球的表面积为，应选B.【2020新课标全国文，7】设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2【答案】B【解析】本题考查长方体的外接球问题.【命题意图猜想】【最新考纲解读】(1)认识柱、锥、台、

2、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构(2)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆)【回归课本整合】（4）侧面积直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积底面周长侧棱长.全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积侧面积2底面积.4.棱柱、棱锥与球的体积6圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以矩形的一边、直角三角形一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台CBADSOE7.简单几何体与球的综合问题解得：.与正四面体各棱都相切的球的半

3、径为相对棱的一半：.2.正方体与球（1）正方体的内切球： 截面图为正方形EFGH的内切圆，如图所示.设正方体的棱长为，则.A11FEGHOJCC1ABDD1B1（2）与正方体各棱相切的球： 截面图为正方形EFGH的外接圆.则.BCC1A1AD1EE1DDOB1（3）正方体的外接球：截面图正方形ACA1C1的外接圆.则.CBASO(2)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.(L为长方体的体对角线长).5. 各面均为直角三角形三棱锥与球如右图，SA面ABC,ABBC,则可推出SBBC,即此三棱锥的四个面全是直角三角形.取SC的中点

4、为O,由直角三角形的性质可得：OA=OS=0B=OC,所以O点为三棱锥的外接球的球心.【方法技巧提炼】如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径是正三棱锥的高，即是边中点，在上，的边长为，.可以得到由等体积法，得：，cos2+cos2+cos2=2.（3）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；CADVB正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形

5、；若正棱锥的侧面与底面所成的角为，则.（4）正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.PABCEDF设正四面体的棱长为，则高为，斜高为，对棱间的距离为，体积为.侧棱与底面所成的角为，侧面和底面所成的角为；正四面体与其截面:如图所示点E为PA的中点，连接EB和EC.点F为BC中点，连接EF.则截面EBCPA, EBC面PAB, EBC面PAC. EF为相对棱的公垂线，其长度为相对棱的距离；正四面体可补形为正方体，如图所示，四面体B-ACD即为正四面体.各个棱为正方体的面对角线.正方体的棱长是正四面体棱长的.利用这个补形为解题带来很大的方便.【考场经验分享】和空间想象能力，尤其是与球相关

6、的内切与外接问题，具有一定的规律和常用的结论，故总结常用的类型，形成解题的套路和模式.【新题预测演练】1.唐山市2020学年度高三年级第一学期期末考试一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 （ ）ABCD【答案】 B 【解析】根据三视图还原几何体为一个三棱锥，其中面，ABCDEOE为AC的中点，则有设其外接球的球心为O,则它落在高线DE上，则有解得，故球的半径为故答案为B.2.【唐山市2020学年度高三年级第一次模拟考试】3.【2020年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥

7、的外接球的表面积为 .【答案】5【2020年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】AADABANAMAOACA6.【北京市朝阳区2020学年度高三年级第一学期期末统一考试】已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥若为边的中点，分别为线段，上的动点（不包括端点），且.设，则三棱锥的体积的函数图象大致是（ ） A BC D【答案】B【解析】由平面平面，为边的中点可知平面,易知故三棱锥的高为的面积为8.【河北省石家庄市2020届高三上学期教学质量检测(一)】已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的外接球的半径为 A3 B6 C36 D9【答案】A【解析】以为棱构造长方体，则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则9.【河南省南阳市2020届高中三年级期终质量评估】A. B. C. D. 所以VSABCVSABDVCABDSABDSC.由于在直角三角形SAC中ASC30，SC4，所以AC2，SA2，由于AD.同理在直角三角形BSC中也有BD.又AB，所以ABD为正三角形，所以