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文档简介
1、专题研究中巧用向量法寻找空间角度图1众所周知,要解决立体几何问题,“平移是手段,垂直度是关键”。在矢量运算中,两个矢量的共线性很容易解决垂直度、两个矢量形成的角度和线段长度的问题。总的来说,掌握向量法解决立体几何问题的有力工具,不仅可以降低学习难度,还可以增强可操作性,为我们提供了一个新的学习视角,丰富了思维结构,消除了学习立体几何知识带来的恐惧,有利于牢固掌握几种知识。角度是一个几何量,本质上是对直线和平面之间位置关系的定量分析,其中变换的思想非常重要。所有三个空间角度都可以转换成平面角度进行计算,也可以进一步转换成矢量夹角进行求解。1.找出由两条非平面直线形成的角度:找出形成的角度(),然
2、后将其转换为由非平面直线形成的角度,应记为:其中它们是直线的方向向量。例1。(福建卷2020)如图所示,四面体ABCD,0和e是BD和BC的中点,找出不同平面直线AB和CD形成的角度;解决方法:以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标那么,部门非平面直线AB和CD形成的角度的大小是解说:以向量为工具,利用空间向量的坐标表示,计算空间向量的量积,直线在不同平面上形成的角度问题自然,求解灵活简单;另外,这个问题也可以通过传统的方法(翻译法)来解决。例2(广东卷2020)如图5所示,AF和DE分别为0和1的直径。AD垂直于两个圆所在的平面,AD=8,BC是直径0,AB=AC=6,OE/AD找出由直线B
3、D和EF形成的角度。解决方案:以0为原点,以BC、AF、OE的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),然后是0(0,0,0),A (0,0),B(,0,0),D (0,8),E (0,0,8)。所以,假设由非平面直线BD和EF形成的角度为,由直线BD和EF形成的角度为2.求直线与平面形成的角度:求和的法向量形成的角度,则直线与平面的角度为。使用这种方法的关键是找到平面的法向量。图2具体解法:假设它是斜线的方向矢量和平面的法向量,那么斜线与平面的夹角为特殊:最小角度定理:是斜面中斜线与直线通过斜面所形成的角度;是线条角度(斜线和投影);是投影与穿过斜脚的直线(平面内)之间的角度。例3(20
4、20年江苏卷)正三角形中的点,e,f和p分别是AB,AC和BC边上的点,满足AE 3360 EB=cf : fa=CP 3360 Pb=133602(如图1所示)。沿EF折叠AEF,使二面角A1-EF-B为直二面角,连接A1B和A1P(如图2所示);找出直线A1E和平面A1BP之间的角度。图1图2例4,如图所示,在四边形棱锥中,底面是直角梯形,底面分别是中点。找到与平面的角度。如图所示求解:为了建立坐标原点的空间直角坐标系,假设,然后因为,所以,因为,平面的互补角就是与平面的夹角,因为所以脸的角度是。例5。(湖北卷2020)如图所示,在边长为1的立方体中,它是边上的一个点。试着确定一条直线和一
5、个平面形成的角度的正切值是;求解并建立如图所示的空间直角坐标系,然后是A (1,0,0),B (1,1,0),P (0,1,m),C (0,1,0),D (0,0,0),B1 (1,1,1),D1 (1,1,1)因此也称为平面的法向量。让AP和平面之间的角度为,然后。根据问题的含义找到解决办法。因此,在那时,由直线AP和平面形成的角度的正切值是。图3 A解说:特别注意线和平面角度的范围。首先,找出平面之间的角度如果二面角为“钝角”,如图3A所示,其大小等于两个法向量夹角的余角,即(如2020年广东高考数学卷第18题(1)。如果二面角为“锐角”,如图3b所示,其大小等于两个法向量之间的角度,即(
6、例如2020年广东高考数学卷第18题(1)。图4方法二:确定二面角边上的两点,分别求出垂直于平面的矢量(如图4所示),然后二面角等于矢量的夹角,即如果它们是法向量,那么二面角的平面角内,内,二面角的平面角。无边二面角:方法1:从无到有(延伸,连接到找边)投影面积公式:(大问题通常不容易使用)例6:三棱锥的三条边相互垂直,三个侧面与底面形成的角度分别为,底面面积为,那么三棱锥的体积为_ _ _ _。(1)法向量法:如果它们是法向量,那么平面角就是二面角。ABCDEFOPH内,内,二面角的平面角。例7。(安徽卷2020)如图所示,P是边长为1的正六边形ABCDEF平面外的一点,P在平面ABC上的投
7、影是BF的中点0。找出面之间的二面角。解决方案:以o为坐标原点,建立空间直角坐标系,P (0,0,1),A (0,0),b(,0,0),D (0,2,0),假设平面PAB的法向量是,那么,得到;让平面PDB的法向量,然后,得到;二面角大小为例8。如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥s-ABCD中,ABC=90,SA ABCD,SA=AB=BC=1,计算四棱锥的体积;(2)求单反和单反形成的二面角的切线。解:()直角梯形ABCD的面积是m的底,四棱锥S-ABCD的体积是m的底.()延伸BA和CD相交于e点,连接se是二面角的边缘adBC,BC=2AD, EA=AB=SA, SESB,sa平面ABCD,得到SEB平面EBC,EB为交线,和BC EB, BC SEB,所以SB是CS在csse SEB上的投影,所以BSC是二面角的平面角。,BC=1,BCSB,解说:二面角的正切值可以通过建立一个空间直角坐标系来获得。学生应该自己尝试一下。也可以使用快速身份验证。例9:在直三角形中,d是BC的中点,f是上点。找出表面之间尖锐的二面角。提示:方法1:没有边变成边(延伸相交和连接)。在点E延伸交点并连接AE,然后AE是二面角的边缘。方法2:(不要直接使用)方法3:建立空间直角坐标系参考答案:DBACSFEDBACS例10,如图所示,在三角金字塔中,有试着使表面和表面相交并解释原因
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