专题研究 巧用向量法求空间角 新课标 人教版（通用）

1、专题研究中巧用向量法寻找空间角度图1众所周知，要解决立体几何问题，“平移是手段，垂直度是关键”。在矢量运算中，两个矢量的共线性很容易解决垂直度、两个矢量形成的角度和线段长度的问题。总的来说，掌握向量法解决立体几何问题的有力工具，不仅可以降低学习难度，还可以增强可操作性，为我们提供了一个新的学习视角，丰富了思维结构，消除了学习立体几何知识带来的恐惧，有利于牢固掌握几种知识。角度是一个几何量，本质上是对直线和平面之间位置关系的定量分析，其中变换的思想非常重要。所有三个空间角度都可以转换成平面角度进行计算，也可以进一步转换成矢量夹角进行求解。1.找出由两条非平面直线形成的角度：找出形成的角度()，然

2、后将其转换为由非平面直线形成的角度，应记为：其中它们是直线的方向向量。例1。(福建卷2020)如图所示，四面体ABCD，0和e是BD和BC的中点，找出不同平面直线AB和CD形成的角度；解决方法：以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标那么，部门非平面直线AB和CD形成的角度的大小是解说：以向量为工具，利用空间向量的坐标表示，计算空间向量的量积，直线在不同平面上形成的角度问题自然，求解灵活简单；另外，这个问题也可以通过传统的方法(翻译法)来解决。例2(广东卷2020)如图5所示，AF和DE分别为0和1的直径。AD垂直于两个圆所在的平面，AD=8，BC是直径0，AB=AC=6，OE/AD找出由直线B

3、D和EF形成的角度。解决方案：以0为原点，以BC、AF、OE的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，然后是0(0，0，0)，A (0，0)，B(，0，0)，D (0，8)，E (0，0，8)。所以，假设由非平面直线BD和EF形成的角度为，由直线BD和EF形成的角度为2.求直线与平面形成的角度：求和的法向量形成的角度，则直线与平面的角度为。使用这种方法的关键是找到平面的法向量。图2具体解法：假设它是斜线的方向矢量和平面的法向量，那么斜线与平面的夹角为特殊：最小角度定理：是斜面中斜线与直线通过斜面所形成的角度；是线条角度(斜线和投影)；是投影与穿过斜脚的直线(平面内)之间的角度。例3(20

4、20年江苏卷)正三角形中的点，e，f和p分别是AB，AC和BC边上的点，满足AE 3360 EB=cf : fa=CP 3360 Pb=133602(如图1所示)。沿EF折叠AEF，使二面角A1-EF-B为直二面角，连接A1B和A1P(如图2所示)；找出直线A1E和平面A1BP之间的角度。图1图2例4，如图所示，在四边形棱锥中，底面是直角梯形，底面分别是中点。找到与平面的角度。如图所示求解：为了建立坐标原点的空间直角坐标系，假设，然后因为，所以，因为，平面的互补角就是与平面的夹角，因为所以脸的角度是。例5。(湖北卷2020)如图所示，在边长为1的立方体中，它是边上的一个点。试着确定一条直线和一

5、个平面形成的角度的正切值是；求解并建立如图所示的空间直角坐标系，然后是A (1，0，0)，B (1，1，0)，P (0，1，m)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，B1 (1，1，1)，D1 (1，1，1)因此也称为平面的法向量。让AP和平面之间的角度为，然后。根据问题的含义找到解决办法。因此，在那时，由直线AP和平面形成的角度的正切值是。图3 A解说：特别注意线和平面角度的范围。首先，找出平面之间的角度如果二面角为“钝角”，如图3A所示，其大小等于两个法向量夹角的余角，即(如2020年广东高考数学卷第18题(1)。如果二面角为“锐角”，如图3b所示，其大小等于两个法向量之间的角度，即(

6、例如2020年广东高考数学卷第18题(1)。图4方法二：确定二面角边上的两点，分别求出垂直于平面的矢量(如图4所示)，然后二面角等于矢量的夹角，即如果它们是法向量，那么二面角的平面角内，内，二面角的平面角。无边二面角：方法1:从无到有(延伸，连接到找边)投影面积公式：(大问题通常不容易使用)例6:三棱锥的三条边相互垂直，三个侧面与底面形成的角度分别为，底面面积为，那么三棱锥的体积为_ _ _ _。(1)法向量法：如果它们是法向量，那么平面角就是二面角。ABCDEFOPH内，内，二面角的平面角。例7。(安徽卷2020)如图所示，P是边长为1的正六边形ABCDEF平面外的一点，P在平面ABC上的投

7、影是BF的中点0。找出面之间的二面角。解决方案：以o为坐标原点，建立空间直角坐标系，P (0，0，1)，A (0，0)，b(，0，0)，D (0，2，0)，假设平面PAB的法向量是，那么，得到；让平面PDB的法向量，然后，得到；二面角大小为例8。如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥s-ABCD中，ABC=90，SA ABCD，SA=AB=BC=1，计算四棱锥的体积；(2)求单反和单反形成的二面角的切线。解：()直角梯形ABCD的面积是m的底，四棱锥S-ABCD的体积是m的底.()延伸BA和CD相交于e点，连接se是二面角的边缘adBC，BC=2AD， EA=AB=SA， SESB，sa平面ABCD，得到SEB平面EBC，EB为交线，和BC EB， BC SEB，所以SB是CS在csse SEB上的投影，所以BSC是二面角的平面角。，BC=1，BCSB，解说：二面角的正切值可以通过建立一个空间直角坐标系来获得。学生应该自己尝试一下。也可以使用快速身份验证。例9:在直三角形中，d是BC的中点，f是上点。找出表面之间尖锐的二面角。提示：方法1:没有边变成边(延伸相交和连接)。在点E延伸交点并连接AE，然后AE是二面角的边缘。方法2:(不要直接使用)方法3:建立空间直角坐标系参考答案：DBACSFEDBACS例10，如图所示，在三角金字塔中，有试着使表面和表面相交并解释原因