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文档简介
1、中学生标准学术能力诊断性测试2020年2月测试数学理科试卷本试卷共150分,考试时间120分钟。一、选择题:本题共.12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.、1.已知集合A=,B=,则集合的元素个数为 A. 6B.7C.8D.92.设随机变量服从正态分布,若,则函数有极值点的概率是A. 0.2 B.0.7C.0.3 D.0.83.下列命题中:(1)“”是“”的充分不必要条件(2)命题“若a, b都是奇数,则a + b是偶数”的逆否命题是“若a+ b不是偶数,则a,b都不是奇数”(3)命题“,都有”的否定是“,使得”(4)已知p,q为简单命题,若是假命
2、题,则是真命题。正确命题的个数为A.1个 B.2个C.3个D.4个4.设an是公差为2的等差数列,bn=a2n ,若bn为等比数列,其前n顼和为Sn,则Sn为A. B. C. D. 5.若函数,(e为自然数的底数),对任意实数,恒成立,则实数a的取值范围是A.(-,1 B.(1.+) C.(e,-) D.1.+)6. 设, 则等于A.-240 B.-120C.240D.1207. 个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),(,1,0),绘制该四面体三视图时,按照如下图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为8.如图所示,程序框图的算法思路源于数学
3、名著几何原本中的“辗转相除法”,执行该程序框图(图中 “表示所除以的余数),若输入的,分别为2020,612,则输出的=A. 0 B.72C. 36 D. 1809.函数的图像大致是10.已知抛物线C:,过焦点F且斜率为的直线与C相交于P,Q两点,且P,Q两点在准线上的投影分别为M,N两点,则SMFN=A. B. C. D. 11.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直,记数列的前n项和为,则的值为12,已知函数有三个不同的零点,(其中),则的值为A. 1B.a-1C.-1 D. 1-a 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13. O为ABC内一点,且,ABC和OBC的面积分别是=
4、。14.设实数满足,则的取值范围是 。15.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若 双曲线的一条渐近线的倾斜角为,AOB的面积为,则P= 。16.如图,三棱锥P-ABC是边长为3的等边三角形,D是线段AB 中点,DEPB=E,且DE丄AB,若EDC=,PA=,PB=,则三棱锥P一 ABC的外接球的半径为 .三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考題,考生根据要求作答。()必考题:共60分。17.(12分)在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,己知c = 2.b
5、 = 1,且.(1)求角A的大小和BC边的长;(2)若点P在ABC内运动(包括边界),且点P到三边的距离之和为d, 设点P到BC的距离分别为x,y,试用x,y表示d,并求d的最大值和最小值。18.( 12分)如图,四棱锥P - ABCD中,底面ABCD中,BCAD,CD丄AD,P在底面的射影0在AD上,PA = PD,O,E 分别为AD,PC的中点,且P0=AD = 2BC = 2CD.(1)求证:ABDE;;(2) 求二面角A-PE-O的余弦值。19. (12分)今年某台风在沿海登陆,适逢暑假,小张调査了当地某小区100户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成(0,2000,(2000
6、,4000,(4000,6000,(6000,8000,(8000,10000五组,并作出如下频率分布直方图(图1):(1)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小张调查的100户居民捐款情况如表格,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?(1)将上述调查所得到的频率视为概率*现在从该地区大量受灾居民中,釆用随机抽样方法每次抽取1户居民,抽取3次,记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为。若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,期望E()和方差D().20. (12分)已知椭圆M:,右焦点为F,与直线相交于P、Q两点,若椭圆从经过点(0,)且PF丄QF.(1)求椭圆M的方程;(2) 0为坐标原点,A、B、C是椭圆M上不同的三点,并且O为ABC的重心,试求ABC的面积。21. (12分)已知函数.(1)若a=1,求的单调区间;(2)若恒成立,且,求证:.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分) 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系。半圆C (圆心为点C)的参数方程为为参数,.(l)求半圆C的极坐标方程; (2)若一直线与量坐标轴的交点分别为A,B,其
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