高二数学教案第4讲：直线中的对称问题

1、辅导教案学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目： 授课日期年月日 时 间A / B / C / D / E / F段主 题教学内容1. 掌握点到直线的距离公式；2. 理解并掌握如何根据对称的条件得到有用的信息（以提问的形式回顾）1点到直线距离公式：点到直线的距离为：证：如图，设直线的一个法向量，Q直线上任意一点，则。从而点P到直线的距离为：2.两条平行线间距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为又 即，d 3.两点与直线位置关系点和，直线，令，令，若，则点在直线同侧；若，则点在直线异侧。4. 对称问题对称问题一般可分解为：中

2、点问题、垂直问题、夹角问题练习：1. 求点关于点对称的点的坐标解：由题意知，B是线段AC的中点，设点C（x，y），由中点坐标公式有，解得，故C（4，6）点评：解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解.（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 求直线3xy4=0关于点P（2，1）对称的直线l的方程解：由直线 l与3xy4=0平行，故设直线l方程为3xyb=0. 由点 P到两直线距离相等，得 解得： b=10或b=4（舍）. 所求直线 l的方程3xy10=0.评述：求直线关于点的对称直线，可利用平行与点到两条平行线距离相等来做。试一试：求直线关于点对称的直线方程答案：2x+11y-3

3、8=0.例2. 已知点，求的面积。解一：设AB边上的高为h，则= ，AB边上的高h就是点C到AB的距离。AB边所在直线方程为即点C到的距离为hh=，因此，=解二：利用行列式评述：解法一：利用点到直线间距离公式求出高，再求三角形面积。 解法二：利用行列式代入点的坐标求面积。例3. 已知点P（2，1），求：（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程，若不存在，请说明理由.解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件，此时

4、l的斜率不存在，其方程为x=2.若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x2），即kxy2k1=0.由已知，得=2，解之得k=.此时l的方程为3x4y10=0.综上，可得直线l的方程为x=2或3x4y10=0.（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由lOP，得klkOP =1，所以kl =2，由直线方程的点斜式得y+1=2（x2），即2xy5=0，即直线2xy5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=.（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.评述：先根据平行将已知直线设出来，再利用两平行直线间距离公式求

5、解。例4. 求直线关于直线对称的直线的方程.【分析：由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答】解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l的方程为x-y+3=0.试一试：试求直线关于直线对称的直线的方程.【分析：两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.】解 由解得l1，l2的交点，设所求直线l的斜率为k，由到角公

6、式得，所以k=-7.由点斜式，得直线l的方程为7x+y+22=0.【点评：本题亦可以先求l1，l2的交点A，再在直线l1上取异于点A的任意点B，再求点B关于点A的对称点B，最后由A，B两点写出直线l的方程；或者在l2上任取不同于交点的一点，然后利用点到两直线距离相等求出相应系数】（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1. 点关于直线的对称点是( )A(6，8) B(8，6)C(6，8)D(6，8)答案：D2. 已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，1)的直线l与线段AB有公共点求直线l的斜率的取值范围解：设所求直线为，化成一般式因为与线段有公共点，所以评述：若直线与线段

7、有交点，可通过画图确定斜率范围，也可以利用两点与直线的位置关系去求解。（1. 可针对学生不同的水平，选题时难易程度上要有区分；2. 可根据实际情况，通过竞赛的互动方式进行，并给予学生相应的鼓励与表扬）3. 过直线和直线的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线和之间的线段长为，求该直线的方程. 解：由交点M（5，2） 设所求直线 l与l1、l2分别交于B、A两点， 由已知 |AB|=，又l1、l2间距离， 在 RtABC中，设l1到l的角为，则. 设直线 l的斜率为k，由夹角公式得 所求直线的方程为或.评述：根据平行线间距离及所夹线段长，求出所求直线与已知直线的夹角，利用夹角公式求出斜率，代入点的

8、坐标即可。附加题：一直线过点P（2，3），且和两平行直线3x4y80及3x4y70都相交，两交点间线段长3，求这直线方程分析 由两平行线的距离以及所求直线与两平行线交点间线段的长，结合平面几何知识，求出所求直线与已知直线夹角的正切，进一步求出所求直线的斜率 解 两平行线间的距离为3设直线交两平行线于A、B，直线与平行线的夹角为，则AB3sin 45，tan1，设所求直线的斜率为k，则tan|1，解得k或k7所求直线的方程为x7y190或7xy170点评 要注意平几知识、平几方法在解析几何中的应用本节课主要知识点：点到直线的距离公式，平行线间的距离公式，对称问题的转化。1. 已知点，则两点的对称轴所在的直线方程是（ ）A B C D答案：B