高二数学教案第9讲：椭圆的性质

1、辅导教案学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目： 授课日期年月日 时 间A / B / C / D / E / F段主 题椭圆的性质教学内容1. 掌握椭圆的几何性质,并且应用相关性质解题；2. 了解椭圆的几何性质,并且应用相关性质解题。1. 问题：（1） 椭圆的中心是什么？椭圆的长轴短轴是什么？长半轴短半轴又是什么？（2）通过椭圆的图像，分析一下椭圆的对称性。（3）椭圆方程中x、y的取值范围是什么？通过学生的预习情况，让学生轮流回答并相互补充，最后教师给出下表的总结椭圆的图像与性质：图像yOx标准方程范围顶点，对称性关于、轴和原点对称焦点、，的意义2长轴长，短轴长，焦距，2. 点与椭圆的位置

2、关系：设点，椭圆方程为，则：（其中为椭圆焦点）.3. 直线与椭圆的位置关系.直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系，可以利用直线方程与椭圆方程联立，看联立后方程解的个数：（1），无解则相离；（2），一解则相切；（3），两解则相交。直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题，直线与椭圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦。利用直线与椭圆相交的弦长公式：.2和3知识点可以结合圆的知识类比讲解，但要学生注意直线与椭圆的位置关系只能有代数方法求解（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要

3、考虑两种位置解：（1）当为长轴端点时，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，椭圆的标准方程为：；试一试：已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴，椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等，则（ ）A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9解析 椭圆+=1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆+=1的短轴长为6，a2=25,b2=9.答案 D例2. 已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程分析：直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解因此，只须考虑方程

4、组消元后所得的一元二次方程的根的判别式已知弦长，由弦长公式就可求出解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，即 ，解得（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，由（1）得，根据弦长公式得 解得因此，所求直线的方程为试一试：已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长分析：此类题目是求弦长问题，这种题目方法很多，可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为，所以又因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得设，为方程两根，所以，从而例3. 已

5、知椭圆，为椭圆上任一点，,求的面积。答案：已知椭圆的定义，有，而在中，由余弦定理有 即 所以点评：解与PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决.试一试：已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）A. B.3 C. D. 解析：由余弦定理判断P0,m4）恒有交点，则实数m的取值范围是_答案：3. 已知椭圆，、是两焦点，若过的直线与椭圆交于、两点，若，则 ；答案：84. 已知ABC中，B（1,0）、C（1,0），且周长为6（1）求顶点A的轨迹方程；（

6、2）求ABC面积的最大值；（3）过点M（0,1）的直线l与椭圆交于P、Q两点，且，求直线l的方程。解析：（1）由题意可知，所以顶点A的轨迹为以、两点为焦点的椭圆，且，椭圆方程为（）（2），当最大时ABC的面积最大，最大为（3）设直线l的方程为，代入椭圆方程得利用弦长公式得，所以直线l的方程为或附加题：已知的顶点在椭圆上，在直线上，且（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程解：（）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由 得所以又因为边上的高等于原点到直线的距离所以，（）设所在直线的方程为，由得因为在椭圆上，所以设两点坐标分别为，则，所以又因为的长等于点到直线的距离，即所以所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为本节课主要知识：椭圆的几何性质，焦点三角形面积问题，简单直线与椭圆综合问题的解答方法1. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的短轴与长轴的比值是（ ）A. B. C. D.答案：C2. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，则椭圆的方程是 .答案： 或3. 若对一切实数，直线与椭圆始终