高二数学教案：第7讲 双曲线（一）

1、辅导教案学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目： 授课日期年月日 时 间A / B / C / D / E / F段主 题双曲线（一）教学内容1. 理解双曲线的定义；2. 掌握双曲线的标准方程和几何性质；（以提问的形式回顾）1. 双曲线的定义：平面上到两定点的、的距离之差的绝对值等于常数（）的点的轨迹，叫做双曲线。定点、是焦点，是双曲线的焦距。（当时，若，则动点的轨迹是两条射线；若，则轨迹不存在。当时，动点的轨迹是一条直线）2. 双曲线的图像与性质：图像xyO标准方程范围或顶点 对称性关于、轴和原点对称焦点、，的意义2实轴长，虚轴长，焦距，渐近线（由得出）3. 特殊双曲线（一）等轴双曲线定义

2、：若即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线。方程：或。等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价；（3）等轴双曲线方程可以设为：，当时焦点在轴，当时焦点在轴上。（二）共轭双曲线定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。方程：（1）的共轭双曲线为；的共轭双曲线为；（2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或；性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）过点，且焦点在坐标轴上；（2），经过点（5，2），焦点在轴上；（

3、3）与双曲线有相同焦点，且经过点。解：（1）设双曲线方程为 、两点在双曲线上，解得所求双曲线方程为说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的（2）焦点在轴上，设所求双曲线方程为：（其中）双曲线经过点（5，2），或（舍去）所求双曲线方程是说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉（3）设所求双曲线方程为：双曲线过点，或（舍）所求双曲线方程为说明：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面试一试：1. 若双曲线:的焦距为,点在的渐近线上,则的方程

4、为 . 答案：2. 若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是 .答案：例2. 已知双曲线，为双曲线上任一点，,求的面积。【答案】：已知双曲线的定义，有，而在中，由余弦定理有 即 所以试一试：双曲线的两焦点为是此双曲线上的一点，且满足，求的面积。【解析】由题可以得出点P在椭圆上，设，由焦点三角形的面积公式可知对于椭圆，对于双曲线，则必有，所以的面积等于。例3. 设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知化简得L的方程为（2）过M、F的直线l方程为，将其代

5、入L的方程得：解得：，故交点为因为在线段MF外，在线段MF内，所以，所以最大值是2.试一试：在双曲线上求一点，使它到直线的距离最短，并求此最短距离【答案】：过双曲线上一点的切线方程为设所求点为，则过该点的双曲线的切线应平行于直线。由，得代入双曲线方程，解之得关于原点对称的两点与，由于不关于原点对称，因而仅有适合题意。.例4. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（1）求双曲线中的值；（2）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程解：（1）设，由勾股定理可得：，得：，由倍角公式，解得,则（2）过直线方程为,与双曲线方程

6、联立，将，代入，化简有，将数值代入，有,解得，故所求的双曲线方程为。（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1. 若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值为_8_2、若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 。 3. 若双曲线和双曲线的焦点相同，且给出下列四个结论：； ；双曲线与双曲线一定没有公共点； ；其中所有正确的结论序号是（ ） 【答案】：B4. 已知双曲线方程为， 是两个焦点，是双曲线上一点，求焦点坐标及两渐近线夹角；若，求的大小；若，求的面积；【答案】：（1），（2），（3）给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线

7、段的中点P的轨迹方程解析：设，代入方程得， 两式相减得。 又设中点P（x,y），将，代入，当时得。又， 代入得。当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是。 本节课主要知识点：双曲线的标准方程，双曲线的几何性质及应用【巩固练习】1. 设双曲线的渐近线方程为，则正数的值为_2_2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 。3. 为双曲线上一点，分别是左、右焦点，若，则的面积是（ ）； ； 12； 24 【答案】4. 已知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹【分析】：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件【答案】：以底边BC 为轴，底边BC的中点为原点建立坐标系，这时，由得,即 所以，点A的轨迹是以为焦点，2=6的双曲线的左支 其方程为：【预习思考】1. 直线与双曲线的位置关系有哪些？如果直线与双曲线只有一个公共点，能否说明D=0？2. 练