安徽省寿县安丰高级中学2020届高考数学一轮复习 第三章 基本不等式及应用导学案 新人教版必修5（通用）

1、基本不等式及应用典例精析题型一利用基本不等式比较 大小【例1】(1)设x，yR，且xy(xy)1，则()A.xy2(21) B.xy2(21)C.xy2(21)2 D.xy(21)2(2)已知a，bR，则ab，ab2，a2b22，2abab的大小顺序是.【解析】(1)选A.由已知得xy1(xy)，又 xy(xy2)2，所以(xy2)21(xy).解得xy2(21)或xy2(12).因为xy0，所以xy2(21).(2)由ab2ab有ab2ab，即ab2abab，所以ab2abab.又ab2a22abb242(a2b2)4，所以a2b22ab2，所以a2b22ab2ab2abab.【点拨】本题(

2、2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.【变式训练1】设abc，不等式1ab1bcac恒成立，则的取值范围是.【解析】(，4).因为abc，所以ab0，bc0，ac0.而(ac)(1ab1bc)(ab)(bc)(1ab1bc)4，所以4.题型二利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x54，则函数y4x214x5的最大值为；(2)已知二次函数f(x)ax2bxc的导数f(x)，f(0)0，对任意实数x，有f(x)0，则f(1)f(0)的最小值为()A.3 B.52 C.2 D.32【解析】(1)因为x54，所以54x0.所以y4x214x5(54x154x)3231.当且仅当54x

3、154x，即x1时，等号成立.所以x1时，ymax1.(2)选C.因为f(x)0，所以 所以cb24a.又f(x)2axb， 所以f(0)b0，f(1)f(0)abcb1acb14a2b24ab124a2b24ab2，当且仅当cb24a且4a2b2时等号成立.【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求(ab)2cd的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的 性质得abxy，cdxy，所以(ab)2cd(xy)2xy2xyyx，当yx0时，(ab)2cd4

4、；当yx 0时，(ab)2cd0，故(ab)2cd的取值范围是(，04，).题型三应用基本不等式解实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；(2)若提供面粉的公 司规 定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6

5、2619x(x1).设平均每天所支付的总费用为y1，则y11x9x(x1)90061 800900x9x10 8092 10 80910 989，当且仅当9x900x ，即x10时，取等号.即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所 支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x35)天购买一次面 粉，平均每天支付的总费用为y2，则y21x9x(x1)90061 8000.9900x9x9 729(x35).因为y29900x2，当x35时，y20.所 以y2900x9x9 729在35，)上是增函数.所以x35时，y2取最小值70

6、 4887.由70 488710 989知，该厂可以利用此优惠条件.【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得 到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不 能成立时，常利用函数的单调性来处理.【变式训练3】已知a0，b0，且2ab1，求S2ab4a2b2的最大值.【解析】因为a0，b0,2ab1，所以4a2b2(2ab)24ab14ab，且12ab22ab，即ab24，ab 18.所以S2ab4a2b22ab(14ab)2ab4ab1212，当且仅当a14，b12时，等号成立.总结提高1.基本不等式的几种常见变形公式：a b (ab2)2a2b22(a，bR)；2abababab2a2b22(a 0，b0).注意