平面解析几何初步

1、第二章 平面解析几何初步第1课时 直线的斜率一、知识梳理1、直线向上的方向与轴正方向所形成的角就是直线的倾斜角，通常规定直线和轴平行时的倾斜角为0，所以倾斜角的范围：。2、若直线的倾斜角为，当存在时，叫做该直线的斜率：当，；当时，；当时，不存在；当时，。3、要证A、B、C三点共线，只要证明或AB、BC的斜率都不存在；反之，只要，则A、B、C三点共线。二、学习探究在平面直角坐标系中，确定一条直线需要哪些条件？分析：（1）两点确定一条直线的位置； （2）一点与直线的倾斜角确定直线位置。三、典型例题例1：已知，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？解析：直线AB的斜率

2、直线BC的斜率 直线CA的斜率由知AB的倾斜角为锐角，同理，CA的倾斜角为锐角； 由，知BC的倾斜角为钝角。归纳与总结：1） 2）时，；时，；时，。变式训练：已知点，在坐标轴上有一点，使直线AB的斜率等于2，求B点的坐标。解：因为点B在轴上，设 ，解得，所以。例2：m为何值时，经过两点，的直线的倾斜角为120？解：因为经过C、D的直线的斜率。又直线CD的倾斜角为120，解得。变式训练：m为何值时，经过两点，的直线的斜率为？解：经过A、B的直线的斜率，解得，归纳与总结：1）当时， 2）当时，不存在，例3：若三点，在同一直线上，求a的值。解：因为A、B、C三点在同一直线上，所以AB的斜率与AC的斜

3、率相等即，解得变式训练：若三点，共线，求的值。解：因为A、B、C三点共线，所以，即，即 化简得，两边除以，得。归纳总结：要证A、B、C三点共线，只要证或AB、AC斜率不存在，反之只要证，则A、B、C共线。四、分层练习基础练习1、过点和的直线斜率为（B） A、2B、2C、D、2、与y轴平行的一条直线，其倾斜角（C） A、等于0B、等45C、等于90D、不存在3、对于下列命题若是直线l的倾斜角，则；若是直线l的斜率，则；任一条直线都有倾斜角，得不一定有斜率；任一条直线都有倾斜率，得不一定有斜角。 其中正确命题的个数是（C） A、1B、2C、3D、44、直线l过点，且不过第四象限，那么l的斜率的取值

4、范围是（A） A、B、C、D、5、过点，的直线斜率为1，则的值为 1 。6、已知，过点M、N的直线的倾斜角为锐角，则m的取值范围。7、已知直线l过，且与，为端点的线段相交，则直线l的取值范围：。8、已知实数x，y满足，当时，求的最大值和最小值。解：由已知得且所以 当时，取得最大值2；当时，取得最小值。拓展与延伸9、将直线l沿x轴正方向平均数移2个单位长度，再沿y轴负方向平衡移3个单位长度，又回到原来的位置，求直线l的斜率。解：设直线l上任意一点，直线l沿x轴正方向平移2个单位长度后，则P平移到，再将直线l沿y轴负方向平移3个单位长度后，则平移到？因为P与都在直线l上。 ，的斜率10、若一条光线

5、从点射到x轴，被x轴反射，反射光线经过点，求入射光线的倾斜角的正切值和反射光线的倾斜角的正切值。解：设点关于x轴的对称点为，则，由光线知识知就是入射光线所在直线。 入射光线的倾斜角的正切值 设入射光线的倾斜角 则，故 反射光线的倾斜角的正切值为。五、易错分析（1）因为任何直线都有倾斜角，由斜率易认为任何直线都有斜率。（2）当斜率时，容易把看成。（3）容易错误地认为任何直线都有两点斜率公式，不注意其中。第2课时 直线方程的点斜式一、知识梳理1、直线方程点斜式：若直线l过点，且斜率为K，则直线方程为。2、直线方程斜截式：若已知直线的斜率为K，则在y轴上的截距为b，则直线方程为。二、学习探究若直线l

6、经过点，斜率为2，点P在直线上运动，那么点P的坐标满足什么条件？ 分析：由知，即 的坐标满足。三、典型例题例1：写出下列直线方程（1）经过点，斜率为1；（2）斜率为2，在y轴上截距为2。解：（1）由直线点斜式方程知： 即直线方程为。 （2）由直线斜截式方程知： 即直线方程为。归纳与总结：求直线方程，首先应分析已知什么条件，然后确定直线方程形式，再求出方程。例2：已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程。解：设l在两坐标轴上的截距都为t若,则直线过l的斜率l的方程为若，则可设直线l的方程为 由l过知，所以直线l的方程为，即综上所述，直线l的方程为或。归纳与总结：当直线在坐标轴上的

7、截距相等时，往往使用直线方程截距式，但要注意不忘记过原点的情形，即在两坐标轴上的截距都为零。变式训练： 过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有（C）A、1条B、2条C、3条D、4条例3：求过点且和两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线方程。解：设所求直线l的方程为 令得，所以直线l交y轴 令得，所以直线l交x轴于 的面积解方程得或。 所求直线l的方程为：或 即或归纳与总结： 当已知直线过一个已知点时，往往采用点斜式，但考虑要斜率不存在的情形。变式训练：直线l过点，与x轴、y轴的正方向分别交于A、B两点，当的面积最小时，求直线l的方程。解：设直线l的方程为因为l与两坐标轴正向都相交，所以

8、令得，所以令得，所以当且仅当即时，此时，l的方程为，即。四、分层练习基础练习1、方程表示（C）。A、通过点的一切直线B、通过点的一切直线C、通过点且不垂直于x轴的一切直线D、通过点且不含x轴的一切直线2、已知直线l过点，且斜率为，则下列哪一点不在直线l上（B）。A、B、C、D、3、在同一直角坐标系中，表示直线与的图象正确的是（C）。xDyOCyxByxyOxOOA解：在中表示斜率，直线向右倾斜，倾斜角 直线向左倾斜，倾斜角在中，a表示在y轴上的截距，此时表示直线和y轴交点在原点上方；表示直线和 y轴交点在原点下方。据此逐一排除，A、B、D错误，故选C。4、方程表示直线恒过（A）。A、 B、 C

9、、或 D、A、B、C都不对5、若。那么直线必过点 (6,8) 。6、过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有 3 条。7、直线上一点，P的横坐标是3，把直线l绕点P按塑时针方向旋转90后得所到的直线的方程是。解：因为，所以，点P的坐标为；又因为l的倾斜角为45，将其按逆时针方向旋转90后得直线l的倾斜角为135，所以直线l的方程为，即。8、已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程。解：设所求直线l的方程为，因为，所以直线方程 令得，l与y轴交于点 令得，l与y轴交于点 由，解之得 所求的直线方程为或。延伸拓广9、求经过点，在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且的直

10、线方程。解：若，则，即所求直线过原点，可设方程为，因该直线过点，即所求直线方程为若，设该直线过点该直线的斜率为，又直线过点直线方程即10、直线l过点，与x轴、y轴的正方向分别交于A、B：（1）当最小时，求直线l的方程。（2）当最小时，求直线l的方程。解：（1）设直线l的方程为 令得， 令得， 当且仅当，即时，最小为 此时l的方程，即（2） 当且仅当，即时，最小为4 此时l的方程为即。五、易错分析（1）利用点斜式或斜截式方程解题时，容易忘记直线斜率不存在的情形，也就是说，不是任何直线都有点斜式方程。（2）若直线在两坐标轴上截距相等，容易忘记直线过原点这一特殊情形。（3）直线方程斜截式是点斜式的特

11、殊情形，不论哪种直线方程都要化成一般式。第3课时 直线方程两点式一、双基梳理1、直线方程两点式：若直线l经过两点（1）若，则直线方程；（2）若，则直线方程；（3）若，则直线方程。2、直线方程截距式：若直线l在x轴、y轴上的截轴分别为a、b，且，则直线方程为。二、学习探究已知点关于的对称点为B，点A关于直线的对称点为C，如何求点B、C的坐标？分析：设，则点B的坐标为设，则解得点C的坐标。三、典型例题例1：写出下列直线方程：（1）经过点和；（2）在x轴、y轴上的截距分别为1、2。解：（1）由两点式知即直线方程为（2）由截距式知， 即直线方程为归纳总结：1）直线方程两点式： 2）直线方程截距式：例2

12、：已知直线l过点，且在两坐标轴上截距相等，求l的方程。解：设l在两坐标轴上的截距都为t（1）若，则直线l过由两点式，即l的方程为。（2）若，由截距式知直线方程为 把点坐标代入得，得 即直线l的方程为，即 综上所述，直线l的方程为或。变式训练：若直线l过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则这样的直线l共有（C）A、1条B、2条C、3条D、4条分析：直线l过原点有1条；不过原点有两条，其中经过第一象限有一条，经过第二象限有一条，共三条。归纳与总结：直线在两坐标轴上的截距相等或截距的绝对值相等，注意要分两条情形：其一是直线过原点，在两坐标轴上截距都为0；其二是直线不过的原点，在两坐标轴上截距都不

13、为0，然后采用截距式求直线方程。例3：若一条光线从点射到x轴，被x轴反射，反射光线经过点，求反射光线与入射光线的方程。解：点关于x轴的对称点，过的直线为反射光线 由两点式知反射光线方程为 ，即 又B关于x轴的对称点，过的直线为反射光线 入射光线的方程为，即入射光线的方程为变式训练：一条光线从发出，经x轴反射，通过点，求入射光线和反射光线所在的直线方程。解：点关于x轴的对称点的坐标为入射光线过点和入射光线方程为即入射光线的方程为同样，点关于x轴的对称点的坐标，反射光线过点和B。反射光线方程为即为归纳与总结：1）点关于直线的对称点， 则2）求入射光线或反射光线方程，常先求出光源点或光照射点关于镜面

14、直线的对称点，再利用两点式求出直线方程。四、分层练习基础训练1、过两点和的直线在x轴上的截距是（A） A、B、C、D、22、若过，的直线与过A及的直线共同一条直线，则m的值为（C） A、2B、C、D、23、直线l在x轴、y轴上的截距之比是2:3，且过点，则直线l的方程为（B） A、B、C、D、4、已知，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，则直线的斜率为（D） A、B、3C、D、5、已知直线l过，则该直线的两点式方程是_；该直线的截距式方程是_。 答案：；6、一束光线从点射到点后，被x轴反射，则反射光线所在直线方程为_。答案：。7、与两坐标围成的三角形周长为9，且斜率为的直线方程为。8、求直

15、线关于点对称的直线方程。解：在直线任取一点 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，过的直线为l关于点对称的直线由两点式知所求直线方程为：，即。拓广延伸：9、为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形草坪，另外的内部有一文物保护区不能占用，经测量，。CD（1）求直线EF的方程；F（2）应如何设计才能使草坪的占地面积最大？BEA解：（1）如图，建立坐标系,在线段EF上任取一点Q，分别向BC、CD作垂线QR、QP，由题意，直线PFDCEF的方程为，即。QR（2）设，则长方形的面积EAB，化简，得当时，S最大，其最大值为6017m2。故，当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且

16、此顶点距离BC95m时，草坪的占地面积最大。10、已知O为原点，射线OA的倾斜角为45，射线OB的倾斜有为150，过作直线AB分别与OA、OB交于A、B。（1）当AB的中点为P点时，求直线AB的方程；（2）当AB的中点在直线上时，求直线AB的方程。解：（1）据题意，； 设，由中点公式，则代入得。由AB的两点式方程知即所求。（2）设，则线段AB的中点M的坐标为 由于M在直线上，故因为，所以联系解得由AB过点与得直线AB的两点式方程为，即为所求。五、易错分析（1）不是任何直线都有两点式直线方程，只有当且时，直线才可以写成，否则应写成：。（2）当直线在两坐标上的截距相等时，容易忘记直线过原点，截距为

17、0的情形。第4课时 直线方程的一般式一、知识梳理1、直线方程的一般式为（A、B不同时为零），若直线方程可化为，则直线的斜率存在且为；若B=0，则直线方程可化为，表示垂直于x轴的直线，斜率不存在。2、解题时如没有特殊说明，应把最后结果化为一般式，其中A、B为整数，且。二、学习探究直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式一般都是几元几次方程？二元一次方程可化为直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程吗？解：由直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式知它们都是二元一次方程；而二元一次方程的一般形式为，当时，可化为为直线方程的斜截式方程；当时，方程表示横坐标恒为且和y轴平行的直线，所以总是某条直

18、线的方程。（A、B不同时为0）叫做直线方程的一般式。三、典型例题例1：求直线的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并作图。y解：将直线l的方程写成斜截3式得21直线l的斜率xO1 2 3 4 5在方程中，令得，令得l在x轴、y轴上的截距分别为5和3，过两点作直线l的图象如右图。归纳与总结：任何一种形式的直线方程都可以化为一般式。由直线方程一般式可求直线斜率、截距。例2：已知直线l的方程。（1）l在y轴上的截距为1，求m的值；（2）证明：无论m为何值，直线恒过定点。解：（1）令得 解之得或 或 （2）证明：直线l的方程可化为 令 得 无论m为何值，点的坐标点满足l的方程 无论m为何值，直线恒过点。变

19、式训练：已知直线（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围。解（1）证明：因为直线l的方程可化为 由点斜式知直线恒过点，且斜率为a 又点在第一象限不论a为何值，直线l总经过第一象限。（2）若直线不经过第二象限，则直线必位于OA与AB之间，这时直线l的倾斜角不小于OA的倾斜角且不超过90。 l的斜率 故a的取值范围。归纳与总结：若要证明一条直线过定点，往往要分离参数，把直线方程化成含参部分与不含参部分之和为零的形式，即（为参数或参数式），则直线必过与的交点。例3：已知在一条河流的同侧有两个村庄A、B，村庄A、B到河岸l的垂直距离，C、D为垂足，

20、现要在河岸边建一个灌溉站E，使得E到A、B两村庄的线路总长最小，问E选在什么位置？y解：如图，以l为x轴，CD中点为原点建立坐标系，B则，关于l的对称点A(3,3)过与B的直线方程为xlCDPEO即，令得点E应选在距C距离处，即与l的交点处理由如下：若E选取其它位置如P处取E为与l交点，E到A、B的线路总长最小。变式训练：已知点，在直线和y轴上各找一点P和Q，使的周长最小。y解：由点及直线l，可求得点M关于MM2l的对称点为，同样容易求得M关于y轴Ql的对称点M1P据及两点可得到直线的方程为xO，即在方程中令得，解方程组 得交点故点，为所求。归纳与总结：在解几何中有时需要恰当地运用平面几何的知

21、识帮助求解，如像例3一样，借助对称性，把折线长转化为线段长，对于求折线长最小值很有帮助。四、分层练习基础练习1、直线方程化成截距式是（D） A、B、 C、D、2、设点在直线上，则这条直线的方程还可写成（D） A、B、C、D、3、设直线的倾斜角，且，则满足（D） A、B、 C、D、4、若表示的直线经过第一、二、三象限，则（A） A、B、C、D、5、不论a为何值，直线恒过定点P，P的坐标为 (1,0) 。6、若，则直线必不过第 二 象限。8、关于x的方程有两个不同的实数解，求实数a的取值范围。y=x+1y=a|x|xy解：设作图如右，若方程有两个不同的实数解，则与有两个不同交占，则的斜率O拓广延伸

22、：9、直线与射线有交点，求实数k的取值范围。解：如图，因为射线SA的斜率，又直线可化为所以它过定点，斜纺为，Axy又为射线端点，S结合图象知，要有知点心，则且1OQ(1,0)或即实数k的取值范围10、对直线l上任意一点，点都在直线l上，求直线l的方程。解：设l的方程为因为点在l上，所以由消去y，并整理，得因为对任意实数x都成立所以 即不全为0，可解得 或l的方程为或即l的方程或五、易错分析1、解题时容易忘记把最后结果化为一般式；2、容易忘记一般式中A、B不同时为零的条件。解几初步综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，有且只有一个正确答案，请将答案序

23、号填入题后的括号中）1、方程表示的直线恒过（A） A、B、 C、或D、A、B、C都不对2、和直线关于y轴对称的直线方程是（B） A、B、C、D、3、方程表示的图形是（C） A、两条相关而不垂直的直线B、一个点 C、两条相互垂直的直线D、两条平行直线4、若直线与平行但不重合，则a的值为（B） A、1或2B、1 C、2D、5、经过直线与的交点，且与垂直的直线方程是（C） A、B、 C、2D、6、圆关于原点对称的圆的方程为（A） A、B、C、D、7、设是圆上的动点，若不等式恒成立，则c的取值范围为（B） A、B、C、D、8、若直线与单位圆相交，则点在（B） A、单位圆上 B、单位圆外C、单位圆内 D

24、、以上皆有可能9、能够使得圆上恰有两个点到直线的距离等于1的c的一个值可能为（C） A、2 B、C、3 D、10、若直线过圆的圆心，则的最小值为（C） A、8 B、12C、16 D、20二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）11、在空间坐标系中，已知，则线段的中点坐标是_,两点距离等于_.,12、三条直线相交于一点，则a=13、已知空间三点的坐标分别为，若A、B、C共线，则p= 3 ，q= 2 。14、直线l截圆所得弦AB的中点是，则直线l的方程为，|AB|=。三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）15、（本小题满分12分）求经过点，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且a=3b的直线方程。解：若，则所求直线过原点，可设方程为，因该直线过点， 所以，故， 所以所求直线方程为。 若，设该直线方程为， 即，又该直线过， 则，解得， 所以所求的直线方程