3.4.3 函数的基本性质(含答案)

1、第三章 函数的基本性质 3.4.3 3.4.3 函数的基本性质函数的基本性质 【课堂例题】 例 1.定义在闭区间2,3上的函数y f (x)的图像如图所示，根据图像说出y f (x)的 单调区间以及在每一个单调区间上，y f (x)是单调增函数还是单调减函数. y 1 2O123 x 例 2.证明：(1)函数f (x) 1 在(,0)上是单调增函数； x (2)函数y x在0,)上是单调减函数. 例 3.判断函数f (x) ax2bxc,a 0在区间(, b 上的单调性并说明理由. 2a 第三章 函数的基本性质 3.4.3 3.4.3 函数的基本性质函数的基本性质 【知识再现】 一般地，设函数

2、f (x)的定义域为D，区间I， 如果对于区间内的，都有， 则称函数f (x)是区间I上的单调增函数(增函数)，该区间被称为函数的； 如果对于区间内的，都有， 则称函数f (x)是区间I上的单调减函数(减函数)， 该区间被称为函数的 . 【基础训练】 1.根据图像，说出y f (x),x,的单调区间，以及在每一个单调区间上，y f (x) 是单调增函数还是单调减函数. y x 0 2 2 . 2.求证：函数f (x) 1 在区间(0,)上是单调减函数. x 3.下列函数中，在区间1,)上为单调增函数的是() (A)y (x1) ;(B)y | x1|； (C)y 4.(1)函数f (x) x

3、x1的单调减区间是 ; (2)如果函数y x 2mx1在(,2上是单调减函数，那么实数m 的取值范围是 . 注：指出函数的单调区间时，一般要指出“长度”最长的那个单调区间；而判断某一个区间是否为单调区 间时，只要考虑单调性的定义即可. 2 2 2 1 2；(D)y (x1) . x1 第三章 函数的基本性质 5.求证：函数f (x) x3在区间(,)上是单调增函数. 6.求证：函数f (x) x 7.已知a 0，试讨论函数f (x) 【巩固提高】 8.函数f (x) x 在区间4,2上是否为单调函数， 请根据“单调函数的定义”说明理由. 2 1 在区间(,1)上是单调增函数. x a 在区间(

4、0,1)上的单调性并证明. 1 x2 第三章 函数的基本性质 9.求证：函数f (x) x 2 ,x 0在区间(0, 2上为单调减函数， x 在区间 2,)上为单调增函数. (选做)10.以下两题任选一题： (1)判断函数f (x) 2x 并证明你的判断结果. (2)试讨论函数f (x) x 12x在区间(0,)上的单调性. 【温故知新】 11.一次函数f (x) kxb,xR为R上的单调减函数且为奇函数的充要条件是： . 3 2 ，在区间(0,)上的单调性， x 第三章 函数的基本性质 【课堂例题答案】 例 1.y f (x)在区间2,1,1,2上是减函数；在区间1,1,2,3上是增函数.

5、例 2.(1)证：x 1 x 2 0, f (x 1) f (x2 ) 是(,0)上的单调增函数. 证毕 (2) 证：0 x 1 x 2 , f (x 1) f (x2 ) x 1 x 2 0，即f (x 1) f (x2 )，因此y f (x) x 1x2 x 2 x 1 0，即f (x 1) f (x2 )，因此y f (x)是 x 1 x 2 0,)上的单调减函数. 证毕 bb , f (x 1) f (x2 ) a(x 1 x 2 )(x 1 x 2 )，例 3.x 1 x 2 2aa b x 1 x 2 0,x 1 x 2 0，因此 a b 上的单调减函数；当a 0时，f (x 1)

6、 f (x2 )， 此时y f (x)是(, 2a b 上的单调增函数.当a 0时，f (x 1) f (x2 )， 此时y f (x)是(, 2a 【知识再现答案】 D；任意x 1,x2 ，且x 1 x 2 ，f (x 1) f (x2 )，单调增区间； 任意x 1,x2 ，且x 1 x 2 ，f (x 1) f (x2 )，单调减区间. 【习题答案】 1., ,为单调减区间； ,为单调增区间； 222 2 x 2 x 1 0.2.证： 0 x 1 x 2 , f (x 1) f (x2 ) x 1x2 3.B 4.(1) ,)；(2)m 2. 1 2 1 22x 2 ) x 2 0. 2

7、x x 26.证： x 1 x 2 1, f (x 1) f (x2 ) (x 1 x 2 )1 0. x 1x2 7.当a 0时，此时y f (x)是(0,1)上的单调增函数； 当a 0时，此时y f (x)是(0,1)上的单调减函数. 8.非单调函数，因为f (2) f (2). (x x 2) 0，单调减函数；9.对于任意0 x 1 x 2 2，f (x 1) f (x2 ) (x 1 x 2 )12 x 1x2 (x x 2) 0，单调增函数.对于任意2 x 1 x 2 ，f (x 1) f (x2 ) (x 1 x 2 )12 x 1x2 10.(1)在(0,1上为单调减函数；在1,)上为单调增函数，证明同第9 题，略. 5.证： x 1 x 2 , f (x 1)