41.复数模的几何意义及实系数一元二次方程及复数的开方运算 【教师版】(正式版)

1、高三第一轮复习复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算 复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数 的开方运算（教师版） （正式版） 【课前预习】 一、知识梳理 1.复数的模的几何意义： 复数z a bi(a,b R)的模| z |a2b2， 它的几何意义是点 Z(a,b)到原点O(0,0)的距离。 2.复数减法的模的几何意义：z 1 abi,z 2 cdi,a,b,c,d R， 在复平面上对应的向 22 量分别是OZ 1,OZ2 ，| z1 z2| (a c) (bd) | Z 2Z1 | Z 1Z2 |，所以复数z 1,z2 在 复平面上两点间的距离就是：| z 1 z

2、 2 | 点分别是Z1,Z2 (1)线段Z1Z 2 的垂直平分线方程：| z z1| z z2|； (2)以Z1为圆心，半径为r的圆方程：| z z1| r； (3)以Z 1 、Z 2 为焦点，长轴长为2a(a 0)的椭圆方程：| z z1| | z z2| 2a，其中 3.常见几何图形的复数表达式：复数z1、z2为定值，且z1 z2，z1,z2在复平面上所应的 0 | z 1 z 2 | 2a； (4)以Z1、Z 2 为焦点，实轴长为2a(a 0)的双曲线方程：| z z1| | z z2| 2a，其中 | z 1 z 2 | 2a。 4.一元二次方程ax bxc 0(a,b,cR,a 0)

3、 2 bb24ac (1) 0 方程有两个不相等的实数根x 1,2 ; 2a b (2) 0 方程有两个不相等的实数根x 1,2 ; 2a b4acb2 (3) 0 方程有两个共轭虚根x 1,2 i. 2a2a 注:实系数一元二次方程的根只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根; 解实系数一元二次方程,首先要判断的符号,以确定根是实数还是虚数， 选用不同的求根 公式. 5.实系数一元二次方程根与系数的关系: bx x 12 a 2 设方程ax bxc 0(a,b,cR,a 0)的两根为x 1,x2 C,则 () c x x 12 a 注:x 1,x2 R时()式成立,x 1,x2 为虚数时()式也

4、成立; bc 2 若x 1 为虚数,则x2 x 1 ,且x 1 x 2 2Re x 1 ;x 1x2 | x 1 | aa 6.复数的开方运算 (1)复数的平方根 如果复数abi和cdi(a,b,c,d R)满足:(abi) cdi,称abi是cdi的一个平 1 2 高三第一轮复习复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算 方根. (2)复数的立方根 3 若复数z 1,z2 满足:z 1 z 2 ,则称z 1 是z 2 的一个立方根.1 的立方根是1,2.其中 1 2 3 i，具有性质31,2,12 0. 2 二、基础练习 2 1.(1)已知| z |1，| z i|的最大值为

5、(2)已知复数z满足| z1|1,那么z的轨迹是 （用文字描 述） 以复数z 1所对点(1,0)为圆心，1 为半径的圆 2.(1)在复数集内,方程x 2x3 0的解集为_12i,12i_. (2)在复数集内分解因式:2x x3_2(x 2 2 123i123i )(x ) _. 44 2 (3)若实系数一元二次方程的根为x 1 1 3i,x 2 1 3i,则这个方程为( B ) A. x 2x2 0 B.x 2x4 0 C.x 2x2 0 D.x 2x4 0 3.(1)若3 2i是方程2x bxc 0(b,cR)的一个根,则c等于_26_. (2)方程2x28xt 1 0(tR)的一个虚根的模

6、为 5,则t=_9_. 4.512i的平方根为_(32i)_. 5.设是方程x x1 0的根,则1 42 223100 222 2 _ 1 2 3 i_. 2 6.(1)方程x 5x 6 0在复数集内的根的个数为( C ) A.2 B.3 C. 4 D.5 (2)“2 a 2”是“实系数一元二次方程x2 ax 1 0有虚根”的( A ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7.(1)若复数z满足| z3 3i|3，则| z |的最大值是_， 最小值是_ (2)若复数z满足| z i| z i| 2， 则| z i1|的最大值是_， 最小值是_ (3)

7、集合M z | z 1|1, zC,P z| z i| z i|, z C，则M P _ 解： (1)| z3 3i|3， 即| z( 3 3)|i 3表示以点A(3, 3)为圆心， 以 3为 半径的圆| z |表示圆上的点Z与原点O之间的距离，|OA| 2 3， 所以所求最大值是 3 3，最小值为3 (2)| z i| z i| 2表示线段BC,B(0,1),C(0,1),| z i1|表示线段BC上的点Z到 点D(1,1)的距离，则所求最大值为 5，最小值为 1 (3)集合M表示以点E(1,0)为圆心，以 1 为半径的圆，集合P表示实轴，实轴与圆交于 点(0，0)和(-2，0)，则M P

8、0,2 8.方程3x 6(m1)xm 1 0的两个根均为虚数,且两个根的模之和为 2,则实数m的 值为_ 2_. 【例题解析】 例 1. 在复数集中解关于x的方程： 22 (1)2x23x4 0;(2)x2mx4 0(m R) 分析 解实系数一元二次方程要首先计算判别式，以确定根的情况 2 高三第一轮复习复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算 解 (1) b 4ac 23 0，所以该方程有一对共轭虚根， 所以方程的根为：x 1 (2) m 16， 2 2 323323 i,x 2 i 4444 mm216 当 0时，即m 4或m 4时，x 1,2 ； 2 当 0时，即m 4，

9、若m 4,x 2；若m 4,x 2； m16m2 当 0时，即4 m 4时，x 1,2 i 22 2 例 2. 已知方程x px1 0（pR）的两根为x1，x2，若| x1 x2|1，求实数p的 值. p p24p p24 解： （1）当 p 4 0，即p 2或p 2时，x1,x2 22 22 则| x1 x2| p 4，由p 4 1 p 5 2 22p 4 p ip 4 p i 2 （2）当 p 4 0，即 2 p 2时，x1,x2 22 22 则| x1 x2| 4 p ，由 4 p1 p 3 综上p 5或3。 例 3.已知t R且关于x的方程x 2xt 0的两个根分别为,，求| 分析 在

10、求|的表达式时，方程的根,是实数还是虚数，在变形时方法完全不 同所以很有必要区分,是实根还是虚根，即对t分类讨论 解 44t, 2, t 当 0即t 1时， ,R，| | 2 2 (| |)222 2| (0 t 1), 2 () 22| 42t 2|t | 2 1t (t 0). 当 0即t 1时， , 为一对共轭虚根，,| |2，则|t,| 2 t 2 综上可知： |2 1t 2 t 例 4.已知关于x的方程x (12i)x(3m1)i 0有实根，求纯虚数m的值. 分析 关于虚系数一元二次方程求实根，我们所掌握的工具只有方程根的概念。即方程的根 满足该方程，所以可将实数根代入方程，用复数相

11、等来解题 解 设实数根为x0，又设m bi(b 0,bR)，代入原方程整理，得： 3 2 (0 t 1), (t 0), (t 1). 高三第一轮复习复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算 2(x 0 x 0 3b)(2x 0 1)i 0,x 0 ,bR，由复数相等的定义， 2 111x 0 x 0 3b 0, i。 得解方程组，得x0 ,b ，m 21212 2x0 1 0. iz 1 b,z 1 A,b R。 2 (1)若A B ，求实数b的取值范围； （b 2 2 2或b 2 2 2） (2)若A B B，求实数b的取值范围。 （b） 例 5.已知两个复数集合A z |

12、 z 2 | 2,B z | z 【巩固练习】 1.(1)k R,方程x2(k 3i)x4k 0一定有实数根的充要条件是( D ) A.|k | 4 B.k 22 5或k 22 5 C.k 3 2 D.k 4 (2)对关于x的方程x2 pxq 0,下列说法正确的是(C ) A.若方程有实根,则p24q为非负实数; B.若虚数z 0 为方程的一个根,则z0为方程的另一个根; C.若方程有两个实数根,则p,q都不是虚数; D.若p,q为虚数,则方程两根均为虚数; 2 2.若| z |1，则| z 2i|的取值范围是 3.方程(2i)x (5i)x(22i) 0的实数解为_2_. 4.(1)-8 的

13、平方根为，立方根为 . 5 1, 5 1 2 2i，2,13i,13i 2000 (2)已知,为1的两个虚立方根，则2000_-1_. 215 5.满足| | 2z z 1| | | z z i i | |的复数z z对应的点的轨迹方程是 (a)2(b )2 . 339 6.(1)解关于x的方程x2ax4 0(aR). 11 22 解：当a 4或a 4时x (aa 16)；当4 a 4时x (a 16a i) 22 (2)解关于复数z的方程:|z|z 解: 设z a bi i(a,bR), 则原方程化为a2b2abi i 2 4i i b 4, 则a216 a 2a216 2 a a 3, 符

14、合a 2,因此z 3 4i i. 7.已知关于x的实系数方程x2 kx k23k 0有一个模为 1 的虚根，求实数k的值. 10 . 12i i k 3 13 2 a ， i 8.已知关于x的实系数方程一元二次ax2bx c 0有两个虚根x 1, x2 ， 且1 ( 3 ) a ii c | x 1 x 2 |1，求实数b的值. 解：a 1,c 3,| x 1 x 2 | 12b21b 11. 9.设关于x的方程3x 6(m1)xm 1 0的两根的模的和为 2,求实数m的值. 22 4 高三第一轮复习复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算 解：当 0时，即m 3535 或m

15、时，方程有二实根， 22 m21 x 1x2 0，| x 1 | | x 2 | x 1 x 2 | 2； 3 即| 2(m 1)| 2 m 0或m 2（舍去） ； 3535 m 时，方程有两共轭虚根， 22 m21 2；| x 1 | | x 2 | 2| x 1 | 2 | x 1 |1，x 1x2 | x 1 | 1 m 2或m 2（舍去） 3 综上所述，m 0或2。 当 0时，即 10.设zC，a 0，解方程z z az i 0。 解：原方程变形为z 11 i，R， z az a 所以z为纯虚数，且z的虚部为负数，故直接用z表示，两边去模，得： 1a a2 4 2 ，即z a z 1 0，解得z （负值舍） z z a2 a a24 z i. 2 【提高练习】 2 11.已知复数| z |1，则复数z z 1模的最大值与最小值分别是 3，0。 12.有关于x的一元二次