高考数学100个热点题型秒解技巧之利用公式速解空间几何体的外接球半径

1、化 难 为 易化 繁 为 简 2019 年 4 月版 秒秒解解高高考考数数学学 1 10 00 0 招招 选择、填空篇 例（例（20162016 山东理山东理 7 7）函数f(x) ( 3sinx cosx)( 3cosx sinx)的最小正周期是( ) 3 A. B. C. D.2 22 【秒解】【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知3sinx cosx以及3cosx sinx的周期 均为2,则f(x) ( 3sinx cosx)( 3cosx sinx)的周期为,选B. 四大特色助快速解题 100 个秒解技巧 80 个精妙二级结论 10 年高考真题为例 700 个例题深入剖析 1 目录

2、 CONTENTS 1、集合利用特值逆代法速解集合运算题2 2、集合利用对条件具体化巧解集合运算题 3、集合运用补集运算公式简化集合计算 4、简易逻辑利用韦恩图巧解集合与数量关系题 5、简易逻辑借助数轴法巧解充要条件问题 6、复数利用逆代法、特值法速解含参型复数题 7、复数利用公式速解有关复数的模的问题 8、复数利用结论快速判断复数的商为实数或虚数 9、复数利用公式快速解决一类复数问题 10、三视图柱体和锥体的三视图快速还原技巧 11、三视图利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图 12、不等式利用逆代法巧解求不等式解集问题 13、不等式利用特值法速解比较大小问题 14、不等式利用数轴标根法速解

3、高次不等式 15、不等式用代入法速解 f型不等式选择题 16、不等式利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式 17、不等式利用结论速解含双绝对值函数的最值问题 18、不等式利用“ 1 的代换”巧解不等式中的最值问题 19、不等式利用“对称思想”速解不等式最值问题 20、不等式利用柯西不等式速解最值问题 21、线性规划利用特殊法巧解线性规划问题 22、线性规划高考中常见的线性规划题型完整汇总 23、程序框图程序框图高效格式化解题模式 24、排列组合排列组合 21 种常见题型解题技巧汇总 25、排列组合利用公式法速解相间涂色问题 26、排列组合速解排列组合之最短路径技巧 27、二项式定理二项

4、式定理常见题型大汇总 28、二项式定理利用公式速解三项型二项式指定项问题 29、平面向量特殊化法速解平面向量问题 30、平面向量利用三个法则作图法速求平面向量问题 31、平面向量三点共线定理及其推论的妙用 32、平面向量平面向量等和线定理的妙用 33、平面向量向量中的“奔驰定理”的妙用 34、平面向量三角形四心的向量表示及妙用 35、平面向量利用极化恒等式速解向量内积范围问题 36、空间几何利用折叠角公式速求线线角 37、空间几何求体积的万能公式：拟柱体公式 38、空间几何空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用 39、空间几何利用空间余弦定理速求异面直线所成角 40、空间几何利用公

5、式速解空间几何体的外接球半径 41、函数用特值法速解分段函数求范围问题 42、函数数形结合法速解函数的零点与交点问题 2 43、函数数型结合法巧解带 f的函数型不等式 44、函数函数的周期性的重要结论的运用 45、函数利用特值法巧解函数图像与性质问题 46、函数通过解析式判断图像常用解题技巧 47、函数利用结论 速解“奇函数 C ”模型问题 48、函数利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题 49、函数巧用耐克函数求解函数与不等式问题 50、函数利用对数函数绝对值性质速解范围问题 51、函数巧用原型函数解决抽象函数问题 52、函数构造特殊函数巧解函数问题 53、导数特殊化与构造方法巧解导数

6、型抽象函数问题 54、导数极端估算法速解与导数有关选择题 55、导数用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题 56、导数隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用 57、三角函数利用口诀巧记诱导公式及其运用 58、三角函数利用结论速求三角函数周期问题 59、三角函数巧用特值法、估算法解三角函数图像问题 60、三角函数海伦公式及其推论在求面积中的妙用 61、三角函数借助直角三角形巧妙转换弦与切 62、三角函数特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用 63、三角函数齐次式中弦切互化技巧 64、三角函数利用射影定理秒解解三角形问题 65、三角函数三角形角平分线定理的妙用 66、三角函数三角形角平分线

7、长公式的妙用 67、三角函数三角形中线定理及其推论的妙用 68、三角函数利用测量法估算法速解三角形选择题 69、三角函数利用公式法速解三角函数平移问题 70、数列利用公式法速解等差数列an与Sn 71、数列利用列举法速解数列最值型压轴题 72、数列用特殊化法巧解单条件等差数列问题 73、数列等差数列性质及其推论的妙用 74、数列观察法速解一类数列求和选择题 75、数列巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式 76、数列代入法速解数列选项含 n 型选择题 77、数列一些数列选择填空题的解题技巧 78、统计与概率估算法速解几何概型选择题 79、直线与圆利用相交弦定理巧解有关圆的问题 80、直线与圆利用精

8、准作图估算法速解直线与圆选择题 81、直线与圆利用两圆方程作差的几何意义速解有问题 82、圆锥曲线利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题 83、圆锥曲线用点差法速解有关中点弦问题 84、圆锥曲线用垂径定理速解中点弦问题 85、圆锥曲线用中心弦公式定理速解中心弦问题 86、圆锥曲线焦点弦垂直平分线结论的妙用 87、圆锥曲线利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程 88、圆锥曲线用公式速解过定点弦中点轨迹问题 89、圆锥曲线巧用通径公式速解离心率等问题 90、圆锥曲线巧用三角形关系速求离心率 91、圆锥曲线构造相似三角形速解离心率 92、圆锥曲线用平面几何原理巧解圆锥曲线问题 93、圆锥曲线

9、利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题 94、圆锥曲线利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题 95、圆锥曲线椭圆焦点三角形面积公式的妙用 96、圆锥曲线双曲线焦点三角形面积公式的妙用 97、圆锥曲线离心率与焦点三角形底角公式的妙用 98、圆锥曲线用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围 99、圆锥曲线用特值法巧解圆锥曲线选填题 100、圆锥曲线用对称思想速解圆锥曲线问题 4 4 0 0 、空空间间几几何何利利用用公公式式速速解解空空间间几几何何体体的的外外接接球球半半径径 基础知识基础知识: :三角形、矩形的外接圆半径为r,则 r 正三角形 3 a (a是边长) 3 r 直角三角形 a2b2斜边 (a

10、和b是直角边) 22 a2b2对角线 (a和b是长和宽) 22 r 矩形 外接圆半径万能公式（正弦定理）2r 外接圆模型及方法外接圆模型及方法 abc sinAsinBsin C （1 1）汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） A A C C1 1 A A1 1 O O2 2 B B1 1 O O C C C C1 1 A A1 1 O O2 2 O O C C A A O O1 1B B A A B B C C1 1 B B1 1 A A1 1 B B1 1 O O2 2 O O C C O O1 1 O O1 1 B B 图图10-110-1 图

11、图10-210-2 图图10-310-3 【探究】【探究】如图 10-1,图 10-2,图 10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任 意三角形） 第一步：确定球心O的位置,O 1 是ABC的外心,则OO 1 平面ABC； 第二步：算出小圆O 1 的半径AO 1 r, OO 1 11 AA 1 h（AA 1 h也是圆柱的高）； 22 第三步：勾股定理：OA 2O 1 A2O 1O 2 3 hh R2( )2r2Rr2( )2 ,解出R 2 2 【结论】【结论】各顶点都在球面上,且有条棱垂直于底面,且垂点是顶点. h 秒杀公式秒杀公式 1 1：R( )2r2(h表

12、示垂直于底面的棱长,r表示底面外接圆半径) 2 h r BAC120 ,则此球的 例例 1 1 直三棱柱ABCA 1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若ABACAA 1 2, 表面积等于。 【秒解】【秒解】BC2 3,2r AD2AB6,则该球的体积 例例 2 2 点A,B,C ,D均在同一球面上,其中ABC是正三角形,AD面ABC ， 为 . 2 3h 22 4R( )r1 225,S20.hAA2,r2 1 2sin 120 D 6 Cr A 3 B 【秒解】【秒解】hAD6,r 33 a33, 33 4h R( )2r2932 3,VR332 3 23 例例 3 3 已知 EAB 所在的

13、平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EAEB3,AD2, AEB60,则多面体 EABCD 的外接球的表面积为 . 【秒解】【秒解】如图,可知AEB为正三角形, r h33 hAD2,R2( )2r24,外接球的表面积S 4 R216.a33,AD 面AEB ， 233 E 3 3 A2 D 3 (2)(2)墙角模型墙角模型（三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径） B C 【探究】【探究】长方体的外接球直径2Ra2b2c2, c4 2R b a 【结论】秒杀公式【结论】秒杀公式 2 2：如以下四种情形的几何体,均可看成对应长方体的一部分,找三条两两垂直的线段,直接 用公式(2R)2a

14、2b2c2,即2Ra2b2c2,求出R. A A b b a a B B P P B B a a P P P P c c c c A A b b C C A A a a B B C C b b 图图1 1 图图2 2 P P O O2 2 c c C C c c B B a a A A b b C C 图图3 3 图图4 4 例例 4 4 若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为 3,则其外接球的表面积是 . 【秒解】【秒解】4R 3339,S4 R9 . 例例 5 5 如果三棱锥的三个侧面两两垂直,面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是 . 22 ab12 【秒解】【秒解】三条侧棱两两

15、生直,设三条侧棱长分别为a,b,c（a, b,c R）,则 bc8 , abc24, ac6 a3,b4,c2,(2R)2a2b2c229,S4 R229 . 例例 6 6 已知某几何体的三视图如图所示,三视图是 腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则 该几何体外接球的体积为 . 2222 【秒解】【秒解】(2R)abc3,R 2 33 ,R, 42 443 33 VR3 , , 3382 5 （3 3）对棱相等模型（补形为长方体）对棱相等模型（补形为长方体） 【探究】【探究】三棱锥（即四面体）中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径（ABCD,ADBC, ACBD ） 第一步：画一长方

16、体,标出三组互为异面直线的对棱; 第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c, , ADBCx, ,ABCDy, ,ACBDz, ,列方程组, a2b2x2 222 x2y2z2 2222 ,bcy (2R)abc 2 c2a2z2 补充：V ABCD abc 11 abc4abc 63 222 x2y2z2 第三步：根据墙角模型,2Rabc, 2 x2y2z2 R,R 8 2 x2y2z2 ,求出R, 8 a2b2c2 【结论】秒杀公式【结论】秒杀公式 3 3：对棱相等的棱锥的外接球半径：R 8 例例 7 7 如图所示三棱锥A BCD ,其中AB CD5,ACBD6,ADBC7,则该三棱锥外

17、接球的表 面积为 . 【秒解】【秒解】由条件可知,属于对棱相等的棱锥外接球 222 abc55 问题,a 5, b 6, c 7,R, 84 2 外接球的表面积S4 R 2 55. 例例 8 8 正四面体的各条棱长都为 2,则该正面体 外接球的体积为 . 6 【秒解】【秒解】这是特殊情况,但也是对棱相等的模式, a2b2c23 ,外接球的表abc2,R 84 2 面积S4 R23. (4)(4)正棱锥模型正棱锥模型 【结论】【结论】 棱锥棱锥各个顶点在球面上,顶点到底面的距离为h,且顶点到底面的垂点为底面外接圆圆心,典型例子 为：正三棱锥,正四棱锥. h2r2 秒杀公式秒杀公式 4 4：R r 2h 例例 9 9 已知正四棱锥的顶点都在同一个球面上,且该棱锥的高为 4,底面边长为2 2,则球