高考数学100个热点题型秒解技巧之利用极化恒等式速解向量内积范围问题

1、化 难 为 易化 繁 为 简 2019 年 4 月版 秒秒解解高高考考数数学学 1 10 00 0 招招 选择、填空篇 例（例（20162016 山东理山东理 7 7）函数f (x) ( 3sinxcosx)( 3cosxsinx)的最小正周期是( ) 3 A. B. C. D.2 22 【秒解】【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知3sinxcosx以及3cosxsinx的周期 均为2,则f (x) ( 3sinxcosx)( 3cosxsinx)的周期为,选B. 四大特色助快速解题 100 个秒解技巧 80 个精妙二级结论 10 年高考真题为例 700 个例题深入剖析 1 目录 CON

2、TENTS 1、集合 利用特值逆代法速解集合运算题2 2、集合 利用对条件具体化巧解集合运算题 3、集合 运用补集运算公式简化集合计算 4、简易逻辑 利用韦恩图巧解集合与数量关系题 5、简易逻辑 借助数轴法巧解充要条件问题 6、复数 利用逆代法、特值法速解含参型复数题 7、复数 利用公式速解有关复数的模的问题 8、复数 利用结论快速判断复数的商为实数或虚数 9、复数 利用公式快速解决一类复数问题 10、三视图 柱体和锥体的三视图快速还原技巧 11、三视图 利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图 12、不等式 利用逆代法巧解求不等式解集问题 13、不等式 利用特值法速解比较大小问题 14、不等式

3、 利用数轴标根法速解高次不等式 15、不等式 用代入法速解 f 型不等式选择题 16、不等式 利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式 17、不等式 利用结论速解含双绝对值函数的最值问题 18、不等式 利用“1 的代换”巧解不等式中的最值问题 19、不等式 利用“对称思想”速解不等式最值问题 20、不等式 利用柯西不等式速解最值问题 21、线性规划 利用特殊法巧解线性规划问题 22、线性规划 高考中常见的线性规划题型完整汇总 23、程序框图 程序框图高效格式化解题模式 24、排列组合 排列组合 21 种常见题型解题技巧汇总 25、排列组合 利用公式法速解相间涂色问题 26、排列组合 速解

4、排列组合之最短路径技巧 27、二项式定理 二项式定理常见题型大汇总 28、二项式定理 利用公式速解三项型二项式指定项问题 29、平面向量 特殊化法速解平面向量问题 30、平面向量 利用三个法则作图法速求平面向量问题 31、平面向量 三点共线定理及其推论的妙用 32、平面向量 平面向量等和线定理的妙用 33、平面向量 向量中的“奔驰定理”的妙用 34、平面向量 三角形四心的向量表示及妙用 35、平面向量 利用极化恒等式速解向量内积范围问题 36、空间几何 利用折叠角公式速求线线角 37、空间几何 求体积的万能公式：拟柱体公式 38、空间几何 空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用 3

5、9、空间几何 利用空间余弦定理速求异面直线所成角 40、空间几何 利用公式速解空间几何体的外接球半径 41、函数 用特值法速解分段函数求范围问题 42、函数 数形结合法速解函数的零点与交点问题 2 43、函数 数型结合法巧解带 f 的函数型不等式 44、函数 函数的周期性的重要结论的运用 45、函数 利用特值法巧解函数图像与性质问题 46、函数 通过解析式判断图像常用解题技巧 47、函数 利用结论 速解“奇函数C”模型问题 48、函数 利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题 49、函数 巧用耐克函数求解函数与不等式问题 50、函数 利用对数函数绝对值性质速解范围问题 51、函数 巧用原型

6、函数解决抽象函数问题 52、函数 构造特殊函数巧解函数问题 53、导数 特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题 54、导数 极端估算法速解与导数有关选择题 55、导数 用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题 56、导数 隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用 57、三角函数 利用口诀巧记诱导公式及其运用 58、三角函数 利用结论速求三角函数周期问题 59、三角函数 巧用特值法、估算法解三角函数图像问题 60、三角函数 海伦公式及其推论在求面积中的妙用 61、三角函数 借助直角三角形巧妙转换弦与切 62、三角函数 特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用 63、三角函数 齐次式中弦切互化技

7、巧 64、三角函数 利用射影定理秒解解三角形问题 65、三角函数 三角形角平分线定理的妙用 66、三角函数 三角形角平分线长公式的妙用 67、三角函数 三角形中线定理及其推论的妙用 68、三角函数 利用测量法估算法速解三角形选择题 69、三角函数 利用公式法速解三角函数平移问题 70、数列 利用公式法速解等差数列an与Sn 71、数列 利用列举法速解数列最值型压轴题 72、数列 用特殊化法巧解单条件等差数列问题 73、数列 等差数列性质及其推论的妙用 74、数列 观察法速解一类数列求和选择题 75、数列 巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式 76、数列 代入法速解数列选项含 n 型选择题 77、

8、数列 一些数列选择填空题的解题技巧 78、统计与概率 估算法速解几何概型选择题 79、直线与圆 利用相交弦定理巧解有关圆的问题 80、直线与圆 利用精准作图估算法速解直线与圆选择题 81、直线与圆 利用两圆方程作差的几何意义速解有问题 82、圆锥曲线 利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题 83、圆锥曲线 用点差法速解有关中点弦问题 84、圆锥曲线 用垂径定理速解中点弦问题 85、圆锥曲线 用中心弦公式定理速解中心弦问题 86、圆锥曲线 焦点弦垂直平分线结论的妙用 87、圆锥曲线 利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程 88、圆锥曲线 用公式速解过定点弦中点轨迹问题 89、圆锥曲线 巧

9、用通径公式速解离心率等问题 90、圆锥曲线 巧用三角形关系速求离心率 91、圆锥曲线 构造相似三角形速解离心率 92、圆锥曲线 用平面几何原理巧解圆锥曲线问题 93、圆锥曲线 利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题 94、圆锥曲线 利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题 95、圆锥曲线 椭圆焦点三角形面积公式的妙用 96、圆锥曲线 双曲线焦点三角形面积公式的妙用 97、圆锥曲线 离心率与焦点三角形底角公式的妙用 98、圆锥曲线 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围 99、圆锥曲线 用特值法巧解圆锥曲线选填题 100、圆锥曲线 用对称思想速解圆锥曲线问题 3 35 5、平平面面向向量量 利利用用极极

10、化化恒恒等等式式速速解解向向量量内内积积范范围围问问题题 引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。 你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和 等于两条邻边平方和的两倍. 证明：不妨设AB a,ADb, 则AC a b， DB a b， AC AC a b a 2ab b（1） 2 2 2 22 DB DB a b a2ab b（2） 2222 （1）（2）两式相加得：AC DB 2a b 2AB AD 22 2 2 2 22 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考思考 1 1：如果将上面（：如果将上面（1 1）（）（2 2）两式相减）两式相减, ,能得到什

11、么结论呢？能得到什么结论呢？ 22 1 a b a b ab 4 极化恒等式极化恒等式 对于上述恒等式,用向量运算显然容易证明.那么基于上面的引例,你觉得极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：几何意义： (1)(1)平行四边形模式平行四边形模式: :向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角 线”平方差的 1 . 4 ab 1 22 AC DB 4 3 （2 2）三角形模式）三角形模式: :在图中的三角形ABD中（M为BD的中点）,因为AC 2AM,所以 ab AM A 2 1 2 DB 4 B a b M D 例例 1(20121(2012 年浙江文年浙江文

12、 15)15)在ABC中,M是BC的中点,AM 3,BC 10,则AB AC . 【秒解】【秒解】因为M是 2 A B MBC的中点,由极化恒等式得： C AB AC AM 11 2 BC =9 100= 16 44 在运用极化恒等式的三角形模式时,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再出极化恒等式. 例例 2(20122(2012 北京文北京文 1313 改改) )已知正方形ABCD的边长为 1,点E是AB边上的动点,则DEDA的值为 . 【秒解】【秒解】如图,取AE中点F,设AE x,则AF 1x1 DEDA | DF |2| AE |212( )2x21 424 x ,由极化恒等式

13、得： 2 A1 x 2 x 2 D F E 例例 3 3 已知正三角形ABC内接于半径为 2 的圆O,点P是圆O上的一个动点,则PAPB的取值范围是 . C P O AB D 【秒解】【秒解】取AB的中点D,连结CD,因为三角形ABC为正三角形,所以O为三角形ABC的重心,O在CD上, 且OC2OD2,所以CD 3,AB 2 3 （也可用正弦定理求AB）又由极化恒等式得： B C PAPB PD 2 1 22 AB PD 3,因P在圆O上,所以当P在点C处时,| PD |max 3,当P在CO的延长线与 4 圆O的交点处时,| PD |min1,所以PAPB2,6 涉及数量积的范围或最值时,可

14、以利用极化恒等式将多变量转变为单变量 ,再用数形结合等方法求出单变 4 量的范围、最值即可. 例例 4 4 已和AB为圆x y 1的一条直径,点 P 为直线xy20上任一点,则PAPB的最小值为( ) A.1 B.2 C.2 D.2 2 y P 22 2 B Ox A 1 22 【秒解】【秒解】由极化恒等式得：PAPB | PO| | AB| 4 |2| 1 2 d 2, | PO | 而| AB| 2 | AB| 1,又 的最小值为点O到直线x y2 0的距离 221 (1) 4 1 (PAPB) min | PO|2min| AB|2 ( 2)211,选 A. 4 例例 5 5 在锐角AB

15、C中,已知B 3 ,ABAC 2,则AB AC的取值范围是 【秒解】【秒解】ABAC 2BC2,如图,作出两个临界的直角三角形,B B A 3 ,BC2,且D为BC的中点, A 3 60 0 1 B 600 1 D 1 2 C 1D1 C 则图 1 中| AD | 13,AB AC= ;11 22| AD| | BC | 134 12 44 2 图 2 中| AD | 1,AB AC 11 | AD|2| BC |214 0 44 则易知AB AC的取值范围是(0,12). x2y2 例例 6 6 （20102010 福建文福建文 1111）若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点,点 P 为椭

16、圆上点的 43 任意一点,则OPFP的最大值为（） A.2 B.3 C.6 D.8 【秒解】【秒解】如图设椭圆的右顶点为C,FO中点为B, 易知| FO|1,| BC |1 15 , 22 5 1 OPFP POPF | PB|2| FO|2, 4 1 (OPFP) max (POPF) max | PB|2 max | FO|2, 4 151 | BC |2| FO|2 ( )212 6 424 FBO P C 练练 1 1（20132013 浙江理浙江理 7 7）在ABC中,P 0是边 AB上一定点,满足P 0B 有PBPC P 0BPC0 .则( ) A.ABC 90 B.BAC 90

17、C.AB AC D.AC BC 【答案】【答案】D 1 AB,且对于边AB上任一点P,恒 4 练练 2 2（20082008 浙江理浙江理 9 9）已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(ac)(bc) 0, 则c的最大值是（） A.1 B.2C.C.2 D. 【答案】【答案】C 2 2 练练 3 3 在ABC中,BAC 60若 M 是 AB 中点,AB2,BC 2 3,D在线段AC上运动, DBDM 的最小值为 . 【答案】【答案】 练练 4 4 已知AB是圆O的直径,AB长为 2,C是圆O上异于A,B的一点,P是圆O所在平面上任意一点,则 23 16 PA PBPC的最小值为（ ） 6 A. 111 B. C. D.1 342 【答案】【答案】C 练练 5 5 在ABC中,AB3,AC4,BAC 60 ,若P是ABC所在平面内一点,且AP2,则PBPC的最大值为 . 【答案】【答案】10 2 37 x2 练练 6 6 若点O和点F(2,0)分别是双曲线 2 y21(a 0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上任意一点则 a OPFP的取值范围是 . 【答案】【答案】3 2 3,) 练练 7 7 在RtABC,AC BC 2,已知点P是ABC内一点,则PC(P