高考数学(文科)压轴大题突破练(函数与导数【1】)(含答案)

1、压轴大题突破练压轴大题突破练函数与导数函数与导数( (一一) ) 1已知 f(x)x3ax2a2x2. (1)若 a1，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若 a0，求函数 f(x)的单调区间； (3)若不等式 2xln xf(x)a21 恒成立，求实数 a 的取值范围 解(1)a1，f(x)x3x2x2， f(x)3x22x1，kf(1)4，又 f(1)3， 切点坐标为(1,3)， 所求切线方程为 y34(x1)，即 4xy10. (2)f(x)3x22axa2(xa)(3xa)， 由 f(x)0 得 xa 或 xa 3. 当 a0 时，由 f(x)0，得ax0，得 x

2、a 3， 此时 f(x)的单调递减区间为(a，a a 3)，单调递增区间为(，a)和(3，) 当 a0 时，由 f(x)0，得a 30 时，f(x)的单调递减区间为(a，a 3)， 单调递增区间为(，a)和(a 3，) 当 a0 时，f(x)的单调递减区间为(a 3，a)， 单调递增区间为(，a 3)和(a，) (3)依题意x(0，)，不等式2xln xf(x)a21恒成立，等价于2xln x3x22ax1在(0， )上恒成立， 31 可得 aln x x在(0，)上恒成立， 22x 3x1131 设 h(x)ln x，则 h(x) 2 22xx22x x13x1 . 2x2 1 令 h(x)

3、0，得 x1，x (舍)， 3 当 01 时，h(x)0， 因此 h(x)在0,1上是增函数， 故 h(x)h(0)0，所以 f(x)1x，x0,1 要证 x0,1时，(1x)e2x 只需证明 exx1. ， 1x 1 记 K(x)exx1，则 K(x)ex1， 当 x(0,1)时，K(x)0， 因此 K(x)在0,1上是增函数， 故 K(x)K(0)0. 1 所以 f(x)，x0,1 1x 1 综上，1xf(x)，x0,1 1x (2)解f(x)g(x)(1x)e2x x3x3 (ax 12xcos x)1xax1 2xcos x 22 x2 x(a1 2cos x)(由(1)知) 2 x2

4、 故 G(x) 2cos x，则 G(x)x2sin x. 2 记 H(x)x2sin x，则 H(x)12cos x， 当 x(0,1)时，H(x)0， 所以存在 x0(0,1)，使得 I(x0)0， 此时 f(x0)0.设两曲线 y 2 f(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同 (1)用 a 表示 b，并求 b 的最大值； (2)求证：f(x)g(x) 3a2 (1)解f(x)x2a，g(x)， x 由题意知 f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)， 即 3a x 2a. x 2 0 0 1 2 x02ax03a2ln x0b， 2 3a2 由 x02a，得 x0a 或 x0

5、3a(舍去) x0 15 即有 b a22a23a2ln a a23a2ln a. 22 5 令 h(t) t23t2ln t(t0)， 2 则 h(t)2t(13ln t) 于是当 t(13ln t)0，即 00) xx 故 F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，)上为增函数 于是 F(x)在(0，)上的最小值是 F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0. 故当 x0 时，有 f(x)g(x)0， 即当 x0 时，f(x)g(x) a1 4已知 f(x)x23x1，g(x)x. x1 (1)a2 时，求 yf(x)和 yg(x)的公共点个数； (2)a 为何值时，yf(x)和 yg(x)的

6、公共点个数恰为两个 2 1 3 2 1 3 1 3 1 3 1 3 yfx， 1 解(1)由得 x23x1x， x1ygx， 整理得 x3x2x20(x1) 令 yx3x2x2， 求导得 y3x22x1， 1 令 y0，得 x11，x2 ， 3 1 故得极值点分别在1 和 处取得，且极大值、极小值都是负值 3 故公共点只有一个 a1yfx， 2 (2)由得 x 3x1x， x1ygx， 整理得 ax3x2x(x1)， 令 h(x)x3x2x， ya， 联立 32yhxx x xx1， 1 对 h(x)求导可以得到极值点分别在1 和 处，画出草图，如图， 3 15 h(1)1，h( )， 327

7、 当 ah(1)1 时，ya 与 yh(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在 yh(x)曲线上)， 5 故 a时恰有两个公共点 27 中档大题规范练中档大题规范练数列数列 1已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和 Sn，且满足：a2a464，a1a518. (1)若 1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i 的值 n (2)设 bn，是否存在一个最小的常数m 使得 b1b2bn0，所以 a2a4，所以 a25，a413. a1d5， 所以 a13d13， 所以 a11，d4.所以 an4n3. 由 1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项， 所以 a1a21a

8、2 i ， 即 181(4i3)2，解得 i3. nn1 (2)由(1)知，Snn142n2n， 2 1111 所以 bn ()， 2n12n1 2 2n12n1 所以 b1b2bn 111111n (1 )， 2335 2n12n12n1 n111 因为 ， 2n1 2 22n1 2 1 所以存在 m 使 b1b2bnm 对于任意的正整数 n 均成立 2 2设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a10,2ana1S1Sn，nN *. (1)求 a1，a2，并求数列an的通项公式； (2)求数列nan的前 n 项和 2 解(1)令 n1，得 2a1a1a2 1，即 a1a1. 因为 a10，

9、所以 a11. 令 n2，得 2a21S21a2，解得 a22. 当 n2 时，由 2an1Sn,2an11Sn1， 两式相减得 2an2an1an，即 an2an1. 于是数列an是首项为 1，公比为 2 的等比数列 因此，an2n1. 所以数列an的通项公式为 an2n1. (2)由(1)知，nann2n1. 记数列n2n1的前 n 项和为 Bn，于是 Bn122322n2n1. 2Bn12222323n2n. ，得 Bn12222n1n2n2n1n2n. 从而 Bn1(n1)2n. 即数列nan的前 n 项和为 1(n1)2n. 3设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n 11，

10、nN *，且a 11，设数列bn满足 bnan2n. (1)求证数列bn为等比数列，并求出数列an的通项公式； 6n3 (2)若数列 cn，Tn是数列cn的前 n 项和，证明：Tn3. bn n1 2Snan121， (1)解当 n2 时，由 n2S n1an2 1 2anan1an2n an13an2n， 从而 bn1an12n13(an2n)3bn， 故bn是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， bnan2n33n13n， an3n2n(n2)， 因为 a11 也满足，于是 an3n2n. 6n32n1 (2)证明cn n1 ， bn 3 2n32n1 135 则 Tn 012 n2 n

11、1 ， 333 33 2n32n1 1135 T n1 n ， 3 n3132333 3 2n1 21222 ，得 Tn 012 n1 n 33333 3 1 1 n1 32n1 2 1 n 313 13 2n1 2 n1 n 3 3 1 2n1 2， 3n n1 故 Tn3 n1 3. 3 1 2 4已知单调递增数列an的前 n 项和为 Sn，满足 Sn (ann) 2 (1)求数列an的通项公式； 1 a2 1，n为奇数， (2)设 cn n1求数列cn的前 n 项和 Tn. 32an 11，n为偶数， 1 解(1)n1 时，a1 (a21)，得 a11， 2 1 1 2 由 Sn (an

12、n)， 2 1 则当 n2 时，Sn1 (a2n1)， 2 n1 1 2 得 anSnSn1 (a2 nan11)，2 2 化简得(an1)2an10， anan11 或 anan11(n2)， 又an是单调递增数列，故anan11， 所以an是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故 ann. a1，n为奇数， (2)c 32a 1，n为偶数， n 2 n1 n1 1 当 n 为偶数时， Tn(c1c3cn1)(c2c4cn) ( 11n 13n1 )3(2 2 2) 222 2 2 14 1n 1 1 n 214 2n111 32 1335 n1n114 1111111nn ( )2(4 1

13、) 2133522 n1n1 2n1 n22n4 . 2n1 当 n 为奇数时， Tn(c1c3cn)(c2c4cn1) n1 11 13n2 3(2 2 2) 222 2 2 14 1n1 1 1 n1n1 1111111 ( )2(41) 21335n n2 22 2 n 2n9 2n. 2n2 所以 T 2 n 2 n 2n9 n 2 n为奇数， 2n2 n1n 2n4n为偶数. 2n1 2 2x31 5已知函数 f(x)，数列an满足 a11，an1f()，nN N*. 3xan (1)求数列an的通项公式； m2 0141 (2)令 bn(n2)，b13，Snb1b2bn，若 Sn对一切 nN N*恒成立，求 2an 1an 最小正整数 m. 2 3 23an 1an2 解(1)an1f()an ， an333 an 2 an是以 1 为首项， 为公差的等差数列 3 221 an1(n1) n . 333 (2)当 n2 时，bna n1an2