数列知识点总结

1、数列知识点总结一、基本概念1、数列：按照一定顺序排列着的一列数数列的项、数列的项数表示数列的第n 项与序号n 之间的关系的公式 通项公式：不是所有的数列都有通项公式符号控制器：如（-1）n n +1、（-1）递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式有穷数列：项数有限的数列无穷数列：项数无限的数列递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列 数列分类递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列常数列：各项相等的数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列b5E2RGbCAP二、等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常

2、数，这个常数称为等差数列的公差a n -a n -1=d , n 2且n Z ，或a n +1-a n =d , n 1且n Zp1EanqFDPwa n =a 1+(n -1)d =a m +(n -m )d =kn +b a -a 1a n -a m 1、若等差数列a n 的首项是a 1，公差是d ，则有d =n =n -1n -m a n -a 1n =+1d 等差中项：三个数a ，G ，b 组成的等差数列，则称G 为a 与b 的等差中项2G=a +b2n =p +q 2a n =a p +a q 若a 是等差数列，则n性质： m +n =p +q a m +a n =a p +a q构

3、成公差公差kd 的等差数列若a n 是等差数列，则a m 、a m +k 、a m +2k 、a m +3k 、DXDiTa9E3d若a 、b 是等差数列, 则a +、a n +b n 是等差数列n n n RTCrpUDGiT2、等差数列的前n 项和的公式： S n =等差数列的前n 项和的性质：n (a 1+a n )n (n -1)=na 1+d =pn 2+qn 22S 偶-S 奇=nd*若项数为2n n N，则S =n a +a ，()a n ()S 奇2n n n +1=S 偶a n +1（1） 5PCzVD7HxAS 奇-S 偶=a n 若项数为2n -1(n N*)，则S =2

4、n -1a ，S =na S =n -1a ，()()n 2n -1n n 偶n S 奇奇jLBHrnAILg=S 偶n -1S m ，S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列（2） Sn是等差数列n若等差数列a n , b n 的前n 项和为S n , T n , 则a n S 2n -1=b n T 2n -1（3）等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）a k 0a 10若，则S n 有最大值，当n=k时取到的最大值k 满足d 0a 0k +1a k 0a 10a 0k +1三、等比数列：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为

5、等比数列的公比1、通项公式及其性质a n =a 1q n -1=a m q n -m 若等比数列a n 的首项是a 1，公比是q ，则n -1a n n -m a n q =a , q =a1m a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 与b 的等比中项G 2=ab22n =p +q a n =a p a q性质：若 a n 是等比数列，则m +n =p +q a m a n =a p a q 成公比q k 的等比数列a m 、a m +k 、a m +2k 、a m +3k 、2、前n 项和及其性质na 1(q =1),(q =1) S n =a 1(1-q n )a -a q a -a q

6、 na 1n a 1n 1n 11=-q +=-Aq +A , (q 1)1-q 1-q 1-q 1-q 1-q S n +m =S n +q n S m S n 、S 2n -S n 、S 3n -S 2n 成等比数列 性质S 偶若项数为2n ，则S =q奇S m ，S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等比数列(n =1)S 1; （检验a 1是否满足a n =S n -S n -1） 四、(1)a n 与S n 的关系：a n =xHAQX74J0XS -S n 2)n -1(nn (n +1) 1+2+3+ +n =2n (n +1)(n +2) 2222(2)1+2+3+ +

7、n =6333n 2(n +1) 231+2+3+ +n =4五、一些方法1、等差数列、等比数列的最大项、最小项；前n 项和的最大值、最小值 2、求通向公式的常见方法（1）观察法；待定系数法（已知是等差数列或等比数列）； （2）a n -a n -1=f (n ), 累加消元;LDAYtRyKfEa n=f (n ), 累乘消元。 a n -1（3）a n 11=a n -1,(倒数构造等差:-=-k ) ； a n +k a n a n -1a n -a n -1=a n a n -1,(两边同除构造等差11Zzz6ZB2Ltk-=1) ； a n a n -1（4）a n =ka n -1

8、+b , 化为(a n +x ) =k (a n -1+x ) 构造等比dvzfvkwMI1a n =qa n -1+pn +r （构造等比数列：, a n +xn +y =q (a n -1+x (n -1)+y )）rqyn14ZNXIa n =qa n -1+p n ，化为a n q a n -1q=+1，分是否等1讨论。 n n -1p p p p3、求前n 项和的常见方法公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和数列知识点一、基本概念：数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；常数列、递增（减）数列、摆动数列、循环数列；通项公式a n ；前n 项和公式S nEmx

9、vxOtOco二、任意数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n若a 1满足由a nS 1(n =1)=S n -S n -1(n 2)； 若不满足，则数列的通项应分段表示。 =S n -S n -1推出的a n ，则需要统一“合写”三、等差数列1、等差数列及等差中项定义注：根据定义，当我们看到形如：a n -a n -1=d 、a n 2-a n -12=d 、a n -a n -1=d 、11-=d 、a n a n -1a n =a n +1+a n -1、S n -S n -1=d 时，应能从中得到相应的等差数列。2=a 1+(n -1) d 、a n =a k +(n -k

10、 ) d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项)SixE2yXPq5当d 0时，a n 是关于n 的一次式；当d =0时，a n 是一个常数。n (a 1+a n ) n (n -1)d 3、等差数列的前n 项和公式：S n = S n =na 1+22当d 0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d =0时（a 10），S n =na 1是关于n 的正比例式。 4、等差数列a n 中，若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q6ewMyirQFL2、等差数列的通项公式：a n5、等差数列a n 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列S m 、S

11、2m 为m2-S m 、S 3m -S 2m 、仍为等差数列，公差。特别地d 。6、等差数列a n 的公差为d ，前n 项和为S n ，则数列差数列。S n d 是等差数列，公差为2n S mm、S 2m 2m、S 3m 3m组成等7、两个等差数列a n 与b n 的公差分别为d 1和d 2，则数列pa n 9、a n 为等差数列，公差为d ，则数列c 10、 在等差数列a n 中： 若项数为2n ，则S 偶kavU42VRUsa n+qb n 为等差数列，且公差为pd 1+qd 28、等差数列a n 的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等差数列。如a 1、a 5、a 9、a 4

12、n -3y6v3ALoS89 (c 0) 是等比数列，公比为c d 。-S 奇=ndS 偶S 奇S 奇S 偶=a n +1a +a 2nS 2n +1=2n 1=n (a 1+a 2n )2a n 若项数为2n +1，则S 奇-S 偶=a n +1n +1a +a 2n +1S 2n +1=(2n +1) 1=(2n +1) a n +12na n S 2n -1=b n T 2n -111、两个等差数列a n 与b n 的前n 项和分别为S n 、T n ，则a 1+a 2n -1a n (2n -1) a n S =2n -1） （略证：b +b 2n -1T 2n -1b n (2n -

13、1) b n(2n -1) 12(2n -1)12、在等差数列a n 中, 有关S n 的最值问题 （1）邻项变号法a m 0 当 a 10、d 0时，满足 的项数m 使得S m 取最大值.a 0m +1a m 0 当 a 10时，满足 的项数m 使得S m 取最小值.a 0m +1（2）利用S n （d0时，S n 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数）四、等比数列1、等比数列及等比中项定义： 注：根据定义，当我们看到形如：a n=qa n -1、(a n +1-a n ) =q (a n -a n -1) 、a n =a n -1a n +1、(a n +1+t ) =q (

14、a n +t ) 、M2ub6vSTnP2S n =qS n -1应能从中得到相应的等差数列。2、等比数列的通项公式：a n =a 1q n -1 a n =a k q n -k (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n 0)0YujCfmUCw关于等比数列a n 的单调性： 当q 当q 当0=1时，a n 为常数列 当q 1且a 10时，a n 为递增数列； 当q 1且a 10，则logc b n (c 0且c 1) 是等差数列，公比为log c q 。9、在等比数列a n 中： 若项数为2n ，则 五、求数列a n 的最大、最小项的方法：7EqZcWLZNXS 偶S 奇=q 若

15、数为2n +1则，S 奇-a 1S 偶=q01、比差法：a n +1-a n = =01= =1 (a n 0)19n (n +1)例：已知数列a n 的通项公式为：a n =，求数列a n 的最大项。10n3、利用函数的单调性：a n =f (n ) 研究函数f (n ) 的增减性例：已知数列a n 的通项公式为：a n=n -2007n -2008，求数列a n 的最大项。六、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。1、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和。lzq7IGf02E

16、例：已知数列a n 的通项为：a n 例：在等差数列列=2n +3n ，求S n2、错位相减法：利用等比数列前n 项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。zvpgeqJ1hkb n 的通项b n 和前n 项和S na n 中，a 1=1，d =2，依次抽取这个数列的第1，3，32，3n -1项，组成数列b n ，求数NrpoJac3v1=(2n -1) 2n ，求S n说明：（1）一般地，如果数列a n 是等差数列，b n 是等比数列且公比为q ，求数列a n b n 的前n 项和时，可采用这一1nowfTG4KI例：已知数列a n 的通项为：a

17、n思路和方法。具体做法是：乘以常数q ，然后错位相减，使其转化为等比数列问题求解。要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。（2）在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“S n 式；fjnFLDa5Zo3、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干若。-qS n ”的表达=(-) 、=(n +k -n )n (n +k ) k n n +k n +k +n k1例：已知数列a n 的通项为：a n =，求前n 和S nn (n +1)常见裂项有：例：在等差数列a n 中a 1=2、a 3=8，若b n =1a n +1+a n，求数列的b n 前n 和T n4、倒序相加法：利用等差数列前n 项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加。 例：a n 中，已知a n 5、有关绝对值的问题：tfnNhnE6e5=cos n ，求S 60的值cos(n -30)例：在等差数列a n 中a 1=-20