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1、1,第四章 线性方程组,一. 高斯消元法,二. 齐次线性方程组,三. 非齐次线性方程组,2,一. 高斯消元法,设一般线性方程组为,则称矩阵,为方程组(1)的系数矩阵。,3,称矩阵,为方程组(1)的增广矩阵。,称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。,4,定义：线性方程组的初等变换,（1） 用一非零的数乘某一方程,（2） 把一个方程的倍数加到另一个方程,（3） 互换两个方程的位置,可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解,对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换,初等行变换,5,化为行阶 梯形矩阵,6,则以矩阵

2、（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。,化为行最 简形矩阵,7,由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况,1) 若 ，则方程组无解。,特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组 一定有解。,8,举例说明消元法具体步骤：,例1：书P108 例4.1.1,例2：解线性方程组,解：,最后一行有,可知方程组无解。,9,例3：解线性方程组,解：,10,对应的方程组为,即,11,二. 齐次线性方程组,1. 齐次线性方程组（2）有解的条件,定理1：齐次线性方程组 有非零解,定理2：齐次线性方程组 只有零解,有解的条件 解的性质 基础解系 解的结构,12,二. 解的性质,（可推广至有限多个解）

3、,解向量：每一组解都构成一个向量,性质：若 是（2）的解，,则 仍然是（2）的解。,13,3. 基础解系,线性无关；,14,证明分三步:,1. 以某种方法找 个解。,注：,(2) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。,(3) 基（基础解系）不是唯一的。,称为通解。,4. 解的结构,的通解是,15,例4 : 求下列齐次方程组的通解。,解：,初等行变换,16,行最简形矩阵对应的方程组为,法1：先求通解，再求基础解系,即,是自由 未知量。,令,则,即,为任意常数。,17,法2：先求基础解系，再求通解。,由,则通解为,为任意常数）,18,解：,初等行变换,所以只有零解。,19,三. 非齐次性线性方程组,1. 有解的条件,定理3：非齐次线性方程组,有解,2. 解的性质,性质：,20,分析:,3. 解的结构,是（1）对应的齐次线性方程组 的通解。,例5 : 书P117例1,21,例6 : 求解非齐次方程组,解：,22,令,则,为任意常数）,法1：,23,法2：,令,得,又原方程组对应的齐次方程组的通解是,令,得基础解系,所以原方程组的通解是,为任意常数）,24,例7：,k取何值时有唯一解, 无穷多解或无解， 有无穷多解时求出通解.,解：,法1：,25,26,

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