《高考数学第一轮复习课件》第73讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

1、新课标高中一轮总复习,第73讲,直线与圆、圆与圆的位置关系,能充分利用几何性质判定直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练地分析求解与圆的切线和弦有关的综合问题，提升运算和推理能力.,1.对于xR，直线(3k+2)x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.可以相交,也可能相切,但不可能相离,D,由圆的方程可知,圆心为(1，1),半径为r=2. 圆心到直线的距离 2， 所以直线与圆相交或相切(当k= 时,相切). 故选D.,2.两圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是( ) A.相交

2、 B.内含 C.外切 D.内切,D,由已知，圆C1:(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2:(x-7)2+(y-1)236，则|C1C2|=5=6-1,故选D.,3.过圆(x-1)2+(y+2)2=9和圆x2+y2=4两交点的直线方程是 .,x-2y=0,两方程相减得-2x+1+4y+4=5, 即-2x+4y=0，故所求方程为x-2y=0.,由已知，圆心C(3,1),半径r=5.又圆心C到直线l的距离 , 则弦长= .,4.直线x+2y=0被圆C:x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长等于 .,由已知可知定点A在圆C外， 则 , 解得 k-3或2k .,5.过定点A(1,2)可作两直线与

3、圆C:x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，则k的取值范围是 .,1.直线与圆的位置关系 设直线的方程为Ax+By+C=0(A2+B20),圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. (1)圆心到直线的距离d= , 相切_ 圆与直线 相离_(几何法). 相交_,br,b=r,(2)判别式法：由方程组 得关于x(或y)的一元二次方程，则判别式 0 _ =0 (代数法). 0 _ (3)直线与圆相离时，圆上各点到直线的距离中的最大值和最小值的求法可用线心距法. (4)直线与圆相交时，弦长的求法可利用弦心距、半径及半弦长组成的直角三角形，运用勾股定理求解.,相交,相切,相离,2.圆的切线及圆

4、的弦 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为_；过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线，则切点弦所在直线的方程为_ .,x0 x+y0y=r2,x0 x+y0y=r2,(2)圆的弦长l=_(d为弦心距)；圆的切线长l= (s为点到圆心的距离).,(3)公共弦所在直线的方程： 圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若相交， 公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.,3.两个圆的位置关系 设两圆的半径分别为R、r(Rr),圆心距|C1C2|=d,则两圆的位置关系如下：

5、(1)外切： _ ; (2)内切: _ ; (3)内含: d_R-r;(4)外离： d_R+r; (5)相交:R-r _ d _ R+r.,d=R+r,d=R-r,0,得-1tan1. 又0, )( ,), 所以0 或 时，直线与圆相交.,(3)由1. 又0, )( ,), 所以4 或 时，直线与圆相离.,直线与圆的位置关系探究，既可利用几何性质，又可运用方程思想，问题求解应视题设情境恰当选用.,已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=2,P点的坐标为(2,-1),过点P作圆C的切线，切点为A、B. (1)求直线PA、PB的方程； (2)求过P点的圆的切线长； (3)求直线AB的方程.,(1)如

6、图,设过P点的圆的切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0. 因为圆心(1,2)到切线的距离为 ,即 ,所以k2-6k-7=0, 解得k=7或k=-1, 所以所求的切线方程为7x-y-15=0或x+y-1=0.,(2)连接PC，CA. 在RtPCA中，|PA|2=|PC|2-|CA|2=8, 所以过P点的圆C的切线长为 .,(3)由,7x-y-15=0,(x-1)2+(y-2)2=2,解得A( , ).,又由,x+y-1=0,(x-1)2+(y-2)2=2,解得B(0,1),所以直线AB的方程为x-3y+3=0.,例2,已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圆C2

7、:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m为何值时， (1)圆C1与圆C2相外切； (2)圆C1与圆C2内含.,题型二 圆与圆的位置关系的判定及应用,(2)若圆C1与圆C2内含,则有 3-2, 即m2+3m+20， 解得-2m-1. 从而，当-2m-1时，圆C1与圆C2内含.,(1)若圆C1与圆C2相外切， 则有 =3+2,即(m+1)2+(m+2)2=25, 所以m2+3m-10=0，解得m=-5或m=2. 从而，当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2相外切.,圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4，则C1(m,-2)，C2(-1,m).,已知两圆方

8、程判断两圆位置关系，或已知两圆位置关系求方程时，只要利用圆心距与两圆的半径之间的几何关系，即可找到解决问题的途径.,已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N：x2+y2+2x+2y-2=0交于A、B两点，且A、B两点平分圆N的圆周. (1)求圆M的圆心的轨迹方程； (2)求半径最小时，圆M的方程.,(1)由已知，圆心M(m,n),N(-1,-1).,由,x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0,x2+y2+2x+2y-2=0,两式相减得公共弦AB的直线方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m2-1=0. 因为AB平分圆N的圆周，则点N(-1,-1)在直线AB上， 所以2(m+1

9、)(-1)+2(n+1)(-1)-m2-1=0,即m2+2m+2n+5=0. ,因此，圆心M的轨迹方程为x2+2x+2y+5=0, 即(x+1)2=-2(y+2).,(2)由题设，当圆M的半径最小时，点M到AB的距离最小，即|MN|最小. 又|MN|= = , 又由可知n-2,因此|MN|min=1, 此时n=-2,m=-1， 故圆M的方程为(x+1)2+(y+2)2=5.,题型三 与位置关系有关的最值问题,例3,已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求: (1) yx的最大值和最小值； (2) y-x的最大值和最小值； (3) x2+y2的最大值和最小值.,原方程化为(x-2)2+

10、y2=3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆 .,(1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 =k，即y=kx，,当直线y=kx与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时 ,解得k= ,所以yx的最大值是 ，最小值是 .,(2)(方法一)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距取得最大值和最小值,此时 ,解得b=-2 ,所以y-x的最大值是-2+ ,最小值是-2- .,(方法二)由已知得圆的参数方程为,(为参数)，,则y-x= sin- cos-2= sin(- )-2,故(y-x)min=- -2,(y-x)max= -2.,(3)(方法一)x2+

11、y2表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为 ,所以x2+y2的最大值是(2+ )2=7+4 ,x2+y2的最小值是(2- )2=7-4 .,(方法二)由（）的参数方程及圆的方程可得x2+y2=4x-1=8+4 cos-1=4 cos+7,故cos=-1时，x2+y2取最小值为7-4 ;cos=1时，x2+y2取最大值为7+4 .,涉及与圆有关的最值问题时，既可考虑应用几何性质探究，也可考虑应用圆的参数方程转化为三角函数最值求解.,已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线l

12、过点P且被圆C截得的线段长为4 ,求l的方程； (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.,当l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k, 则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.,由点C到直线AB的距离公式: ,(1)如图所示，AB=4 ,D是线段AB的中点，CDAB,AD=2 ,AC=4,在RtACD中，可得CD=2.,(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y), 则CDPD,所以 =0, 所以(x+2,y-6)(x,y-5)=0, 化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.,得k= ,此时直线l的方程为3x-4y+20=0. 又直线l的斜率不存在时，也满足题意,此时

13、方程为x=0.,所以所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.,1.探究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，充分利用几何特征往往是问题解决的切入点和突破口，因此分析探索几何特征十分关键. 2.方程思想是解析几何问题分析求解的重要思想，在分析解决有关圆的位置关系问题时，应注意与数形结合思想综合运用.,(2009江西卷)设直线系M:xcos+(y-2)sin=1(02),对于下列四个命题： A. M中所有直线均经过一个定点 B. 存在定点P不在M中的任一条直线上 C. 对于任意整数n(n3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代

14、号是 (写出所有真命题的代号).,B、C,所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d= ， 即M为圆C:x2+(y-2)2=1的全体切线组成的集合, 从而M中存在两条平行直线，所以A错误； 又因为点(0,2)不在任何直线上，所以B正确; 对任意n3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；M中的边能组成两个大小不同的正三角形，故D错误； 所以正确命题的序号是B、C.,因为xcos+(y-2)sin=1，,(2009江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.,(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2 ，求直

15、线l的方程； (2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.,(1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y=k(x-4)，即kx-y-4k=0. 由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离,d=,.,结合点到直线的距离公式，得 ,化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=- . 所以直线l的方程为y=0或y=- (x-4)， 即y=0或7x+24y-28=0.,(2)设点P的坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为y-n=k(x-m)、y-n=- (x-m)， 即kx-y+