2011年全国高考文科数学试题及答案-辽宁

1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供文科考生使用） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上 2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效 3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知集合 A=x|x1，B=x| 1x2 ，则 AB= Ax| 1x

2、2 C x| 1x1 Bx|x1 D x| 1x2 111 i3i5i7 A0B2iC 2i 3已知向量a a (2, 1)，b b( 1,k)，a a (2a a b b)0，则k 2i为虚数单位， A12B6 4已知命题 P：nN ，2n1000 ，则P 为 AnN ，2n1000 C nN ，2n1000 5若等比数列an满足 anan+1=16n，则公比为 A2B4 6若函数f(x) C 6 1 i D 4i D 12 BnN ，2n1000 D nN ，2n1000 C 8D 16 x 为奇函数，则 a= (2x1)( xa) BA 1 2 2 3 C 3 4 D 1 7已知 F 是

3、抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，AF BF =3，则线段 AB 的中 点到 y 轴的距离为 A 3 4 B1C 5 4 D 7 4 8一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2 3，它的三视图中的俯视图 如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 A4B2 3C 2D 3 1 9执行右面的程序框图，如果输入的n 是 4，则输出的 P 是 A8 B5 C 3 D 2 10已知球的直径 SC=4 ，A，B 是该球球面上的两点，AB=2 ， ASC= BSC=45，则棱锥 S-ABC 的体积为 A 3 3 4 3 3 B 2 3 3 5 3 3 C D 11函数f(x)

4、的定义域为R R，f( 1)2，对任意xR R，f (x)2， 则f(x)2x4的解集为 A （1，1） C （，1） B （1，+） D （，+） 12已知函数f(x)=Atan（x+） （0,| | 部分图像如下图，则f( A2+ 3 2 ） ，y=f(x)的 24 ) B 3 D 2 3 C 3 3 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答 第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分 13已知圆 C 经过 A（5，1） ，B（1，3）两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为_ 14

5、调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元） ，调查显示 年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对 x 的回归直线方程： 0. 254x0. 321由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1 万元，年饮食支出平均增y 加_ 万元 15S n 为等差数列an的前 n 项和，S 2=S6，a4=1，则 a5=_ 16已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_ 2 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin B+bcos

6、2A=2a （I ）求 b ； a （II ）若 c2=b2+ 3a2，求 B 18 （本小题满分 12 分） 如图，四边形 ABCD为正方形，QA 平面 ABCD ，PD QA ，QA =AB = （I ）证明：PQ 平面 DCQ ； （II ）求棱锥 Q ABCD的的体积与棱锥 PDCQ的体积的比值 19 （本小题满分 12 分） 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙） 进行田间试验选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2n 小块地中，随机选 n 小 块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙 （I ）假设 n=2，求第一大块地都种植品种甲的概

7、率； （II ）试验时每大块地分成8 小块，即 n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的 每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表： 品种甲 品种乙 403 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413 1 PD 2 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该 种植哪一品种？ 1 附：样本数据x 1 ,x 2 , ,x n 的的样本方差s2( x 1 x)2(x 2 x)2(x n x)2，其中x为 n 样本平均数 20 （本小题满分 12 分） 设函数f(x)=x+ax2

8、+bln x，曲线 y=f(x)过 P（1,0） ，且在 P 点处的切斜线率为 2 （I ）求 a，b 的值； （II ）证明：f(x)2 x-2 3 21 （本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 C 1 的中心在原点 O ，长轴左、右端点M ，N 在 x 轴上，椭圆 C 2 的短轴 为 MN ，且 C 1，C2 的离心率都为 e，直线 l MN ，l与 C 1 交于两点，与 C 2 交于两点，这四 点按纵坐标从大到小依次为A，B，C ，D （I ）设e 1 ，求BC与AD的比值； 2 （II ）当 e 变化时，是否存在直线l ，使得 BO AN ，并说明理由 请考生在第 22、23、24

9、三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答是 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑 22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，A，B，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 EC =ED （I ）证明：CD / AB ； （II ）延长 CD 到 F，延长 DC 到 G ，使得 EF =EG ，证明：A，B，G ，F 四点共圆 23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系统与参数方程 xcos 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为（为参数） ，曲线C 2 的参 ysin xacos

10、 数方程为（ab0，为参数） ，在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐 ybsin 标系中， 射线 l ： =与 C 1， C2 各有一个交点 当=0 时， 这两个交点间的距离为 2， 当= 时，这两个交点重合 （I ）分别说明 C 1，C2 是什么曲线，并求出a 与 b 的值； （II ）设当= 2 4 时，l与 C 1，C2 的交点分别为 A 1，B1，当 = 4 时，l与 C 1，C2 的交点为 A 2，B2，求四边形 A1A2B2B1 的面积 24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=|x-2|x-5| （I ）证明：3f(x)3 ； 4 （II

11、）求不等式f(x) x28x+15 的解集 参考答案 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4只给整数分数，选择题不给中间分. 一、选择题 15 DADAB610 ACBCC1112 BB 二、填空题 13(x2)2y210 14

12、0.254 151 16(,2ln22 三、解答题 17解： （I ）由正弦定理得，sin A sinB cos A 222sinA ，即 sinB(sin 2Acos2A)2sinA 故sinB 2sinA,所以 2 b 2. 6 分 a 2 （II ）由余弦定理和c b3a ,得cosB 由（I ）知b22a2,故c2(23)a2. 可得cos B 2 2 (13)a . 2c 12 ,又cosB0,故cosB,所以B45 12 分 22 18解： （I ）由条件知 PDAQ为直角梯形 因为 QA 平面 ABCD ，所以平面 PDAQ平面 ABCD ，交线为 AD. 又四边形 ABCD为正

13、方形，DC AD ，所以 DC 平面 PDAQ，可得 PQ DC. 在直角梯形 PDAQ中可得 DQ=PQ= 2 PD ，则 PQ QD 2 5 所以 PQ 平面 DCQ.6 分 （II ）设 AB= a. 由题设知 AQ 为棱锥 Q ABCD的高，所以棱锥 Q ABCD的体积V1 由（I ）知 PQ 为棱锥 PDCQ的高，而 PQ= 2a，DCQ 的面积为 所以棱锥 PDCQ的体积为V 2 1 3a . 3 2 2a ， 2 1 3a . 3 故棱锥 Q ABCD的体积与棱锥 PDCQ的体积的比值为 1.12 分 19解： （I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地

14、编号为3，4， 令事件 A= “第一大块地都种品种甲”. 从 4 小块地中任选 2 小块地种植品种甲的基本事件共6 个； （1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4）. 而事件 A 包含 1 个基本事件： （1，2）. 所以P(A) 1 . 6 分 6 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 1 x 甲 (403 397390404388400412406)400, 8 1 2S 甲 (3( 3)2( 10)242( 12)20212262)57.25. 8 8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 1 x 乙

15、(419403412418408423400413)412, 8 1 2S 乙 (72( 9)20262( 4)2112( 12)212)56. 8 10 分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差 差异不大，故应该选择种植品种乙. 20解： （I ）f (x) 12ax b . 2 分 x 由已知条件得 f(1) 0,1a0, 即 f (1) 2.12ab2. 解得a 1, b3. 5 分 （II ）f(x) 的定义域为(0, )，由（I ）知f(x)xx3lnx. 设g(x) f(x) (2x2)2xx3lnx,则 2 2 6 g (x)12x 3

16、(x1)(2 x3). xx 当0 x1时,g (x)0; 当x1时,g (x)0. 所以g(x)在(0,1) 单调增加,在(1, )单调减少. 而g(1) 0,故当x0时,g(x)0, 即f(x)2x2.12 分 21解： （I ）因为 C 1，C2 的离心率相同，故依题意可设 x2y2b2y2x2 C 1 : 22 1, C 2 : 42 1,( ab0) abaa 设直线l:xt (| t| a)，分别与 C 1，C2 的方程联立，求得 A(t,a 22 b 22at ), B(t,at ). 4 分 ba 当e 13 时,ba,分别用y A ,y B 表示 A，B 的纵坐标，可知 22

17、 2|y B |b23 |BC |:| AD |. 6 分 2|y A |a24 （II ） t=0时的 l不符合题意.t 0时， BO/AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相等， 即 b 22 a 22atat ab , tt a ab21e2 2 a. 解得t 22abe 1e22 因为|t| a,又0 e1, 所以 2 1, 解得e1. 2e 所以当0 e 2 时，不存在直线 l ，使得 BO/AN ； 2 当 2 e1时，存在直线 l使得 BO/AN. 12 分 2 22解： （I ）因为 EC=ED，所以EDC= ECD. 因为 A，B，C ，D 四点在同一圆

18、上，所以EDC= EBA. 故ECD= EBA ， 所以 CD/AB.5 分 （II ）由（I ）知，AE=BE ，因为 EF=FG ，故EFD= EGC 7 从而FED= GEC. 连结 AF ，BG ，则EFA EGB ，故FAE= GBE ， 又 CD/AB ，EDC= ECD ，所以FAB= GBA. 所以AFG+ GBA=180. 故 A，B，G ，F 四点共圆10 分 23解： （I ）C 1 是圆，C 2 是椭圆. 当0时，射线 l与 C 1，C2 交点的直角坐标分别为（1，0） ， （a，0） ，因为这两点间的距 离为 2，所以 a=3. 当 2 时，射线 l与 C 1，C2 交点的直角坐标分别为（0，1） ， （0，b） ，因为这两点重合， 所以 b=1. x2 y21. （II ）C 1，C2 的普通方程分别为x y1和 9 22 当 4 时，射线 l与 C 1 交点 A 1 的横坐标为x 2 ，与 C 2 交点 B 1 的横坐标为 2 x 3 10 . 10 当 4 时，射线 l与 C 1，C2 的两个交点 A 2，B2