2019北京市朝阳区高二(下)期末数学

1、2019 北京市朝阳区高二（下）期末数学 （考试时间（考试时间 120120 分钟分钟满分满分 150150 分）分） 2019.7 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分. .在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. . （1）已知集合A x x(x1)0，B x x 1，则A （A） x x 1 （C） x x 0 B （B） x x 1 （D） （2）已知x，y R R，且x y 0，则 11 （A） xy 11 1 x 1 y （B）( ) ( )（C

2、）x2 y2 （D）sinx sin y 22 （3）如果函数y f (x)在a,b上的图象是连续不断的一条曲线，那么“f (a) f (b)0”是“函数y f (x)在 (a,b)内有零点”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （4）二项式(2x)6展开式中的常数项为 1 x （A）960 （C）160 （5）已知(,),tan( （B）160 （D）960 2 1 ) ,则sincos 47 （A） 1211 （B）（C）（D） 5755 1 倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平 2 （6）将函数y sinx图象上所有点的

3、横坐标缩短到原来的 移个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为 4 x （A）y sin(2x )（B）y sin() 244 1 1 / 1010 （C）y cos x （D）y cos2x 2 （7）构造如图所示的图形，它是由3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 BD 2AD，则DEF与ABC的面积之比为 （A） 11 （B） 23 11 （D） 57 （C） （第 7题图） （8）某校有 6 名志愿者，在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客参加“祝福祖国征集留 言”、“欢乐世园共绘展板”、“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中1 人负责“征集留

4、言”，2 人负责 “共绘展板”，3 人负责“发放彩绳”，则不同的分配方案共有 （A）30 种（B）60 种（C）120 种（D）180 种 ex ex （9）函数f (x) 的图象大致为 x （10）已知函数fx ksinx 2x 1kR R，当k (,2)(2,)时，fx在0,2 内的极值点的个数为 （A）0（B）1（C）2（D）3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分，共分，共 3030 分，答案写在答题卡上分，答案写在答题卡上. . 2 2 / 1010 （11 2 ）83 log26log23 _ （12）函数f (x) 1 x 1

5、(x 0)的值域为_ x 3 （13）若小明在参加理、化、生三门课程的等级性考试中，取得等级A的概率均为，且三门课程的成绩是否取 5 得等级A互不影响则小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级A的概率为_ 2 （14）在ABC中，bsin Asin B acos B 3b，则 a _ b （15）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作 原理（如图 1）因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图 2）假定在水流量稳定的情况下， 筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模 型刻画盛水筒（视

6、为质点）的运动规律将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系（如图3）设经 过t秒后，筒车上的某个盛水筒M从点P0运动到点P由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高 度H(单位: m)，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度 （单位: rad /s），盛水筒的初始位置P 0 以及所经过的时间t(单位:s )已知r=3m，h=2m，筒车每 分钟转动(按逆时针方向)1.5 圈, 点P0距离水面的高度为 3.5m，若盛水筒M从点P0开始计算时间，则至 少需要经过s就可到达最高点；若将点P距离水面的高度H表示为时间t的函数，则此函数表达式为 图 1图 2图 3

7、 （第 15题图） x k,x 0, （16）已知函数f (x) 2 其中k 0 x 1,x 0, 若k 2,则f (x)的最小值为； 关于x的函数y f ( f (x)有两个不同零点,则实数k的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分 14 分） 3 3 / 1010 已知函数f (x) sin xcosx 3cos2x （）求f (x)的最小正周期； （）若f (x)在0,m上单调递增，求m的最大值 （18）（本小题满分 14 分）

8、随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加.下表是中国从2009 手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据. 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 网民人数互联网普及率手机网民人数手机网民普及率 2018年网民人数及互联网普及率、 3.828.9%2.317.5% 4.5 5.1 34.3% 38.3% 3.0 3.6 22.9% 27.0% 5.6 6.2 42.1% 45.8% 4.2 5.0 31.6% 36.9% 6.5 6.9 47.9% 50.3% 5.6 6.2 41.3% 45.2% 7.3 7.7

9、 53.2% 55.8% 7.0 7.5 51.0% 54.4% 8.359.6%8.258.9% （互联网普及率（网民人数/人口总数）100%；手机网民普及率（手机网民人数/人口总数）100%） （）从2009 2018这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80% 的概率； （）分别从网民人数超过6 亿的年份中任选两年，记X为手机网民普及率超过50%的年数，求X的分布列及 数学期望； （）若记2009 2018年中国网民人数的方差为s 1 2，手机网民人数的方差为s 2 2，试判断s 1 2 与s22的大小关系. （只需写出结论） （19）（本小题满分 14 分） 4

10、4 / 1010 设函数f (x) 1 3ax (a1)x24x1(aR R) 3 （）当a 3时，求曲线y fx在点(1,f (1)处的切线方程； （）讨论函数f x的单调性 （20）（本小题满分 14 分） 已知函数f (x) e (ae)xax (a0) （）当a 0时，求f (x)的最小值； （）证明：当a 0时，函数f (x)在区间(0,1)内存在唯一零点 （21）（本小题满分 14 分） * * 设集合M x 1 , x 2 , , x 3n N N(nN N )，如果存在M 的子集A a1, a2, ,an，B b 1, b2 , ,b n ， x2 C c 1,c2 ,c n

11、同时满足如下三个条件：M A BC；A，B，C两两交集为空集； a i b i c i (i 1,2,3,n)，则称集合M 具有性质. （） 已知集合E 1,2,5,6,7,9,F 1,2,3,4,5,6，请判断集合E,F是否具有性质，并说明理由； * * （）设集合M m 1, 2, , 3m(mN N )，求证：具有性质的集合M m 有无穷多个. 5 5 / 1010 2019 北京市朝阳区高二（下）期末数学参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） （1） C （6）D （2）B （7）D （3）A （8）B （4）B（5）C （9）C（10）C 二、填空题（共

12、 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （11）5（12）(,1（13） 54 125 （14）3 （15） 20 ；H(t) 3sin( t )2(t0) （16）1；0,1) 3206 三、解答题（共 5 小题，共 70 分） （17）（共 14 分） 解：（）因为f (x) sin xcosx 3cos2x 11cos2x sin2x3 22 133 sin2xcos2x 222 3 sin(2x) 32 所以f (x)的最小正周期为T 2 7 分 2 3 （）由（）知f (x) sin(2x) 32 由2k 5 2x 2k (kZ Z)，2k 2x2k (kZ Z)， 23266

13、得k 5 (kZ Z) xk 1212 5 , k (kZ Z) 1212 5 , 12 12 所以f (x)的单调递增区间为k 要使得函数f (x)在0,m上单调递增，只需0,m 6 6 / 1010 所以m(0, ，m的最大值为 14 分 1212 （18）（共 14 分） 解：（）设事件A：“从2009 2018这十年中随机选取一年，该年手机网民人数占网民总人数比值超过 80%”. 由题意可知P(A) 63 . 5 分 105 （）网民人数超过 6 亿的年份有2013 2018共六年，其中手机网民普及率超过50%的年份有 2016,2017,2018这3年.所以X的取值为0,1,2. 2

14、112C 3 C 3C3 3C 3 311 所以P(X 0) 2 ，.，P(X 1) P(X 2) 22C 6 155C 6 5C 6 5 随机变量X的分布列为 X P 0 1 5 1 3 5 2 1 5 131 EX 0121. 12 分 555 （）s 1 s 2 . 14分 （19）（共 14 分） 解：（）当a 3时，f (x) x 4x 4x1， 2 所以f (x) 3x 8x 4 22 32 所以 f (1) 2，f (1) 1 所以曲线y f x在点(1,f (1)处的切线方程为x y 3 0 4 分 （）因为f (x) 1 3ax (a1)x24x1， 3 2 所以f (x)

15、ax 2(a 1)x 4 (ax 2)(x 2) （1）当a 0时，因为f (x) 2(x 2)， 由f (x) 0得x2， 7 7 / 1010 由f (x) 0得x 2， 所以f (x)在区间(,2)内单调递增，在区间(2,)内单调递减 （2）当a 0时，令f (x) 0，得x1 2，x2 当a 0时， 由f (x) 0得 2 a 2 x 2； a 2 或x 2 a 由f (x) 0得x 22 所以f (x)在区间( ,2)内单调递增，在区间(, )和(2,)内单调递减 aa 当0 a 1时， 由f (x) 0得x2或x 2 ； a 由f (x) 0得2 x 2 a 22 所以f (x)在

16、区间(,2)和( ,)内单调递增，在区间(2, )内单调递减 aa 2 当a 1时， 因为f (x) (x 2)0， 所以f (x)在区间(,)内单调递增 当a 1时，由f (x) 0得x 由f (x) 0得 2 或x 2； a 2 x 2 a 22 所以f (x)在区间(, )和(2,)内单调递增，在区间( ,2)内单调递减 aa 综上可知，当a 0时，f (x)在区间(,2)内单调递增，在区间(2,)内单调递减； 22 当a 0时，f (x)在区间( ,2)内单调递增，在区间(, )和(2,)内单调递减； aa 22 当0 a 1时，f (x)在区间(,2)和( ,)内单调递增，在区间(2

17、, )内单调递减； aa 当a 1时，f (x)在区间(,)内单调递增； 22 当a 1时，f (x)在区间(, )和(2,)内单调递增，在区间( ,2)内单调递减 aa 8 8 / 1010 14 分 （20）（共 14 分） 解：（）当a 0 时，f (x) exex，f (x) exe 当x(,1)时， f (x) 0，f (x)在区间(,1)上单调递减 当x(1,)时， f (x) 0，f (x)在区间(1,)上单调递增 故当x 1时， f (x) min f (1) 0 4 分 x2 （）由f (x) e (ae)xax可知， f (0) 1，f (1) 0 当a 0时，f (x)

18、e ea(12x) x 设g(x) f (x)，则g(x) e 2a 0 x 所以g(x)在区间(0,1)内单调递增，即 f (x)在区间(0,1)内单调递增 又f (0) 1ea 0，f (1) a 0 故存在唯一x0(0,1)，使得 f (x 0 ) 0 当x(x0,1)时， f (x) 0 所以 f (x)在区间(x0,1)内单调递增，此时f (x) f (1) 0 当x(0,x0)时，f (x) 0， 所以 f (x)区间(0,x 0 )上单调递减 又因为f (0) 1 0, f (x0) 0， 故函数f (x)在区间(0,x0)内有唯一零点 所以函数f (x)在区间(0,1)内存在唯一零点 14 分 （21）（共 14 分） 解：（）E 1,2,5,6,7,9具有性质，如可取A1,2,B 5,7,C 6,9； F 1,2,3,4,5,6不具有性质；