【解析版】2019年高考Ⅰ卷广东省理数试题

1、20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (广东卷广东卷) ) 理科数学理科数学 本试卷共本试卷共 4 4 页，页，2323 小题，满分小题，满分 150150 分，考试用时分，考试用时 120120 分钟。分钟。 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，答卷前，考生务必将自己的姓名、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用用 2B2B 铅笔将试卷类型（铅笔将试卷类型（B B）填涂在答题卡的相应位置上。）填涂在答题卡的相应位置上。 2 2作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答

2、案后，用 2B2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的铅笔在答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答 在试卷上。在试卷上。 3 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无

3、效。 4 4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M x 4 x 2 ，N x x x6 0，则M N = 2 A. x 4 x 3 B. x 4 x 2 C. x 2 x 2 D. x 2 x 3 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法， 渗

4、透了数学运算素养 采取数轴法，利用数 形结合的思想解题 【详解】由题意得，M x 4 x 2 ,N x 2 x 3，则 M N x 2 x 2故选 C 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分， 并集包括 二者部分 2.设复数 z满足 zi =1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A.(x+1)2 y21B.(x1)2 y21C.x2(y 1)21D. x2(y+1)21 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（ x，y）和点 (0，1)之间的距离为 1，可选正确答案 C 【详解】z x yi,zi

5、x(y1)i,z i x2(y 1)21,则x (y 1) 1故选 22 C 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算， 渗透了直观想象和数学运算素养 采取公式 法或几何法，利用方程思想解题 3.已知a log 2 0.2,b 2,c 0.2 A.a b c 0.20.3 ，则 C.c a bD.B.a c b b c a 【答案】B 【解析】 【分析】 运用中间量0比较a , c，运用中间量1比较b , c 【详解】 a log 2 0.2 log 2 1 0,b 20.2 2031 0 ,00. 200 .2 则 1 , 0 c 1,a c b故选 B 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较

6、， 渗透了直观想象和数学运算素养 采取中间变量 法，利用转化与化归思想解题 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1 2 （ 5 1 0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体 2 5 1 若某人满足上述两个黄金分割 2 的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm 【答案】B 【解析】 【分析】 B. 175 cmC. 185 cmD. 190cm 理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解 【 详 解 】设 人体 脖

7、子下 端 至 腿根 的长 为 x cm， 肚 脐 至 腿 根 的长为 y cm， 则 2626 x xy105 5 1 , y 5.15cm 又其腿长为105cm，头顶至脖子下，得x 42.07cm 2 端的长度为 26cm，所以其身高约为4207+515+105+26=17822，接近175cm故选B 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理， 渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法，利 用转化思想解题 5.函数 f(x)= sin x x 在，的图像大致为 2cos x x B.A. C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，得f (x)是奇函数，排除 A，再注意到选项的区别

8、，利用特殊值得正 确答案 【详解】由 f (x) sin(x)(x)sin x x f (x)，得f (x)是奇函数，其图象关 22cos(x)(x)cosx x 于原点对称又 f () 1 2 2 42 1,f () 0故选 D 22 2 1 () 2 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、 直观想象和数学运算素养采取性 质法或赋值法，利用数形结合思想解题 6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻 组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重 卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 A. 5 16 B. 11 32 C.

9、 21 32 D. 11 16 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题， 渗透了传统文化、 数学计算 等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况， 基本事件计算是住店问题，该重卦恰有 3 个阳 爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算 【详解】由题知，每一爻有 2 中情况，一重卦的 6 爻有26情况，其中 6 爻中恰有 3 个阳爻 35C 6情况有C，所以该重卦恰有3 个阳爻的概率为 6 =，故选 A 216 3 6 【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题， 首先要分析元素是否可重复， 其次要分析是排 列问题还是组合问题本题是重复元素的排列问题，所

10、以基本事件的计算是“住店”问题， 满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题 7.已知非零向量 a a，b b满足 A. a =2b，且（a ab b）b b，则 a a与 b b 的夹角为 B. 6 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、 夹角与垂直问题， 渗透了转化与化 归、数学计算等数学素养先由(a b) b得出向量a,b的数量积与其模的关系，再利用向 量夹角公式即可计算出向量夹角 2 【 详 解 】 因 为 (a b) b ， 所 以(ab)b abb=0 ， 所 以ab b2， 所 以 ab|b|21

11、 a ，所以与的夹角为，故选 Bcos=b 3a b2|b|22 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸， 在利用向量夹角公式 求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0, 1 8.如图是求2 1 1 2 2 的程序框图，图中空白框中应填入 1 2 A 1 A=1 2A A. A= 【答案】A 【解析】 【分析】 B. A=2 1 A C. A= 1 12A D. 本题主要考查算法中的程序框图， 渗透阅读、分析与解决问题等素养， 认真分析式子结构特 征与程序框图结构，即可找出作出选择 1 11 1= 【详解】 执行第 1次，A ,k 1 2是， 因为第一次应该计算

12、 ，k k 1=2， 2 22 A 2 1 11 =循环，执行第2次，k 2 2，是，因为第二次应该计算2，k k 1=3， 1 2 A 2 2 1 循环，执行第 3 次，k 2 2，否，输出，故循环体为A ，故选 A 2 A 1 【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A 2 A 9.记Sn为等差数列an的前 n项和已知 S 4 0，a 5 5，则 A. a n 2n5a n 3n10 B.C. S n 2n 8n 2 D. S n 1 2n 2n 2 【答案】A 【解析】 【分析】 等 差 数 列 通 项 公 式 与 前 n 项 和 公 式 本 题 还 可 用 排 除 ，

13、 对 B ， a5 5 ， 4(72) S 4 0,a 5 S 5 S 4 252850 10 5， 10 0， 排除 B， 对 C， 2 1 2 排除 C对 D，S4 0,a5 S5S4 4 240 0 5，排除 D，故选 A 2 S 4 d a 1 3 S4 4a 1 43 0 【详解】由题知，解得，an 2n5，故选 A2 d 2 a5 a 1 4d 5 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素 养 利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程， 解出首项与公差， 在适当计算即可做了判断 10.已知椭圆 C 的焦点为F 1 (1

14、,0)，F 2(1,0)，过 F2的直线与 C交于 A，B 两点.若 AF F 2 B AB BF ， 2 2 1 ，则 C 的方程为 x2 A. y21 2 x2y2 1 54 x2y2 B.1 32 x2y2 C.1 43 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 可以运用下面方法求解：如图，由已知可设 F 2 B n，则AF 2 2n, BF 1 AB 3n， 由椭圆的定义有 2a BF 1F2 和BF 1F21 BF 2 4n, AF 1 2a AF 2 2n在AF 4n 2422n2cosAF 2F1 4n2, 中，由余弦定理得 2 ，又AF 2 F 1 , BF 2 F 1互补， 2

15、n 42n2cosBF 2F1 9n 22cosAF 2 F 1 cosBF 2 F 1 0，两式消去cosAF 2 F 1 ,cosBF 2F1 ，得3n 6 11n， 解得n 3 2a 4n 2 3 ,a 3 ,b2 a2c2 31 2,所求椭圆方程为 2 x2y2 1，故选 B 32 【详解】如图，由已知可设 F 2B n ，则 AF 2 2n, BF 1 AB 3n，由椭圆的定义有 2a BF 1 BF 2 4n, AF 1 B中，由余弦定理推论得 1 2a AF 2 2n在AF 4n29n29n21 cosF 1AB 22n3n3 在AF 1F2 中，由余弦定理得 1 3 4n24n

16、222n2n 4，解得n 3 2 x2y2 故2a 4n 2 3 ,a 3 ,b a c 31 2,所求椭圆方程为1， 32 222 选 B 【点睛】 本题考查椭圆标准方程及其简单性质， 考查数形结合思想、 转化与化归的能力， 很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 11.关于函数 f (x) sin | x| |sin x|有下述四个结论： f(x)是偶函数f(x)在区间（ ,）单调递增 2 f(x)在,有 4 个零点f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A. 【答案】C 【解析】 【分析】 B. C. D. 画出函数 fxsin x sin x 的图象，由图象可得正确，故选C

17、 【详解】 fx sin x sinx sin x sin x f x, fx为偶函数，故 正确 当 x 时，f x 2sin x ， 它在区间 , 单调递减， 故错误 当0 x 22 时， fx 2sin x，它有两个零点：0 ；当 x 0时， fxsinxsin x 2sin x，它有一个零点： ，故f x在, 有3 个零点： 0 ，故错误当x2k , 2k k N N时，fx 2sin x；当 x2k, 2k2kN N时，f xsin xsin x 0，又 f x为偶函数， fx的最大值为2 ，故正确综上所述，正确，故选 C 【点睛】化简函数 fxsin x sin x ，研究它的性质从

18、而得出正确答案 12.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为 2的正三 角形，E，F分别是 PA，PB的中点，CEF=90，则球 O的体积为 A.8 6 【答案】D 【解析】 【分析】 本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的适合空间想象能力略差学生 B.4 6C.2 6D.6 设PA PB PC 2x，E,F分别为PA, AB中点， EF / /PB，且EF 1 PB x，ABC为边长为 2 等边三角形， 2 1 2 CF 3又CEF 90CE 3 x,AE PA x 2 AEC中余弦定理cosEAC x243x2 22x ，作PD AC于D，

19、 AD1x243 x21 ，QD为AC中点，cosEAC PA2x4x2x 2x21 2x2 1 2 x 2 ，PA PB PC 2，又AB=BC=AC=2， 2 PA , PB , PC 两两垂直，2R 222 6，R 6 ， 2 V 4 3 46 6 R 6，故选 D. 338 【详解】 PA PB PC,ABC 为边长为 2 的等边三角形，P ABC为正三棱锥， PB AC，又E，F分别PA、AB中点， 的 PA PC， EF / /PB，EF AC，又EF CE，CEAC C, EF 平面PAC， PB平面PAC，PAB PA PB PC 2，P ABC为正方体一部分， 2R 222

20、6，即R 6446 6 , V R36，故选 D 2338 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补型法解决外接球问题可通过线面垂直定理， 得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补型成正方体解决 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.曲线y 3(x2 x)ex在点(0,0)处的切线方程为_ 【答案】3x y 0. . 【解析】 【分析】 本题根据导数的几何意义， 通过求导数，确定得到切线的斜率， 利用直线方程的点斜式求得 切线方程 【详解】详解：y 3(2x1)e 3(x x)e 3(x 3x1)e , 所以

21、，k y |x0 3 所以，曲线y 3(x x)e在点(0,0)处的切线方程为y 3x，即3x y 0 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础， 本题易因为导数的运算法则掌握不熟， 二导致计 算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求 14.记 Sn为等比数列an的前 n项和若a 1 ，a 4 a 6 ，则 S5=_ 【答案】 2x / /x2x2x 1 3 2 121 . . 3 【解析】 【分析】 本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 S5题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查 【详解】设等比数列的公比为q，由已知a 1 1

22、 2 11 ,a 4 a 6 ，所以( q3)2 q5,又q 0， 333 1 (135) a (1q ) 3 121 所以q 3,所以 S 5 1 1q133 5 【点睛】准确计算， 是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式 分式计算，部分考生易出现运算错误 15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛 结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为 “主主客客主客主”设甲队主场取胜 的概率为 0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概 率是_ 【答案】0.216. 【解析】 【分析】 本题应注意分情况讨

23、论， 即前五场甲队获胜的两种情况， 应用独立事件的概率的计算公式求 解题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查 【详解】前五场中有一场客场输时，甲队以4:1获胜的概率是0.6 0.50.52 0.108, 前五场中有一场主场输时，甲队以4:1获胜的概率是0.40.6 0.5 3 0.108, 综上所述，甲队以4:1获胜概率是q 00.1080.108 0.216. 22 3 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点 之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够 准确计算 x2y2 16.已知

24、双曲线 C： 2 2 1(a0,b0) ab 左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C的 C 的离心率为 两条渐近线分别交于 A，B两点若F 1A AB ，F 1BF2B 0 ，则 _ 【答案】2. 【解析】 【分析】 本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率， 渗透了逻辑推理、 直观想象和数学运算素 养采取几何法，利用数形结合思想解题 【详解】如图， F A AB.又OF 1 OF 2 ,得 OA是三角形F 1F2 B的中位线，即 由F 1 A AB,得 1 BF 2 / /OA,BF 2 2OA.由F 1B F2B 0 ， 得F 1B F2 B,OA F 1 A,则OB OF

25、1 OF 2 , 有OBF 2 BF 2O 2OBF1 2OF 1B, AOB AOF1又 OA 与 OB都是渐近线， 0 得BOF 2 AOF 1, 则BOF2 60又渐近线 OB的斜率为 b tan6003，所以该 a 双曲线的离心率为e cb 1( )2 1( 3)2 2 aa 【点睛】 此题若不能求出直角三角形的中位线的斜率将会思路受阻， 即便知道双曲线渐 近线斜率和其离心率的关系，也不能顺利求解，解题需要结合几何图形，关键得到 BOF 2 AOF 1 BOA 2 600,即得到渐近线的倾斜角为600,从而突破问题障碍 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证

26、明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求 作答。作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。 22 17.VABC的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 设(sin BsinC) sin Asin BsinC （1）求 A； （2）若2ab 2c，求 sinC 【答案】（1）A 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b2c2a2 bc，从而可整理出c

27、osA，根 据 A0,可求 得结果；（ 2）利用正 弦定理可得 2 sin A sin B 2sin C，利用 3 ；（2）sinC 6 2 . 4 sinB sinA C、两角和差正弦公式可得关于sinC 和cosC的方程，结合同角三角函 数关系解方程可求得结果. 【详解】（1）sin BsinC sin2B2sin BsinC sin2C sin2Asin BsinC 即：sin2Bsin2C sin2A sin BsinC 由正弦定理可得：b2c2a2 bc 2 b2c2a21 cos A 2bc2 A0, A= （2） 3 2 sin A sin B 2sin C2a b 2c，由正弦

28、定理得： 又sin B sinAC sin AcosC cos AsinC，A 3 2 331 cosCsinC 2sinC 222 整理可得：3sinC 22 6 3cosC Csin C cos C 1 3sin 解得：sinC 6 3 1s2iC n 2 6 26 2 或 44 因为sinB2sinC 2sinA2sinC 666 2 .，故sinC 0所以sinC 424 （2）法二： 2a b 2c，由正弦定理得：2 sin A sin B 2sin C 又sin B sinAC sin AcosC cos AsinC，A 3 2 331 cosCsinC 2sinC 222 3si

29、nC 3cosC 2 3sin C 整理可得：3sinC 6 3cosC，即 6 6 11 5 2 C 或sinC 12126 2 A 3 且AC C 5 12 sinC sin 56 2 sin sincoscossin 1264644 6 4 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题， 涉及到两角和差正弦公式、同 角三角函数关系的应用， 解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简， 得到余弦定 理的形式或角之间的关系. 18.如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M， N分别是 BC，BB1，A1D的中点 （1）证明：

30、MN平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N的正弦值 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 10 . 5 （1） 利用三角形中位线和A 1D/B1C可证得 ME/ND， 证得四边形MNDE 为平行四边形， 进而证得MN / /DE，根据线面平行判定定理可证得结论； （2）以菱形ABCD对角线交点 为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB中点F，可证得DF 平面AMA 1 ，得到平面 uuu r AMA 1的法向量 DF；再通过向量法求得平面 MA 1N 的法向量n，利用向量夹角公式求得 两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 【详解】（1）连接ME，B1C M

31、，E分别为BB 1 ，BC中点ME为B1BC的中位线 ME/B 1C 且ME 1 B 1C 2 又N为A 1D 中点，且 A 1D/B1C ND/B 1C 且ND 1 B 1C 2 ME/ND 四边形MNDE为平行四边形 MN / /DE，又MN 平面C 1DE ，DE平面C1DE MN / /平面C 1DE （2）设AC BD O，AC 11 B 1D1 O 1 由直四棱柱性质可知：OO 1 平面ABCD 四边形ABCD为菱形AC BD 则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则：A 3,0,0 ，M 0,1,2， A 1 31 3,0, 4，D（0，-1,0）N 2 , 2 ,2

32、 3 1 取AB中点F，连接DF，则F 2 , 2 ,0 四边形ABCD为菱形且BAD 60BAD为等边三角形DF AB 又AA 1 平面ABCD，DF 平面ABCDDF AA 1 DF 平面ABB 1 A 1 ，即DF 平面AMA 1 3 3 DF为平面 AMA 1的一个法向量，且 DF 2 , 2 ,0 设平面MA 1N 的法向量n x, y,z，又MA 1 33 3, 1,2，MN 2 , 2 ,0 nMA 1 3x y2z 0 ，令x 3，则y 1，z 1 n 33 xy 0 nMN 22 3 ,1, 1 cos DF,n DFn DF n 315 10 sin DF,n 515 5

33、二面角AMA 1 N 的正弦值为： 10 5 【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键 是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系， 从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角 的正弦值，属于常规题型. 19.已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 点为 P （1）若|AF|+|BF|=4，求 l的方程； （2）若AP 3PB，求|AB| 【答案】（1）12 x 8y 7 0；（2） 【解析】 【分析】 3 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交 2 4 13 . 3 y =（1） 设直线l： 3 x m，Ax 1, y1 ，Bx 2

34、, y 2 ； 根据抛物线焦半径公式可得x 1 +x 2 1； 2 联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果；（2） 设直线l：x 2 y t； 联立直线方程与抛物线方程， 得到韦达定理的形式； 利用AP 3PB 3 可得y1 3y 2 ，结合韦达定理可求得y1y2；根据弦长公式可求得结果. 3 x m，Ax 1, y1 ，Bx 2 , y 2 2 35 由抛物线焦半径公式可知：AF BF x 1 x 2 4 x 1 x 2 22 【详解】（1）设直线l方程为：y = 3 y xm 22 联立得：9x 12m12x4m 02 2 y 3x 1 2 7 12m 1

35、25 x 1 x 2 ，解得：m 928 则 12m12144m2 0 m 2 直线l的方程为：y 37 x ，即：12 x 8y 7 0 28 2 （2）设Pt,0，则可设直线l方程为：x y t 3 2 x y t 2 联立得：y 2y3t 03 2 y 3x 1 则 412t 0t 3 y 1 y 2 2，y 1y2 3t AP 3PB y 1 3y 2 y 2 1，y 1 3y 1y2 3 2 则AB 1 4 9 y 1 y 2 4y 1 y 2 134 13 412 33 【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题， 涉及到平面向量、弦 长公式的应用.关键是能够通过

36、直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 20.已知函数 f (x) sin xln(1 x)，f (x)为f (x)的导数证明： （1） f (x)在区间(1, 2 )存在唯一极大值点； （2）f (x)有且仅有 2个零点 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 分析】 【 令gx cos x （1）求得导函数后，可判断出导函数在1, 上单调递减，根据零点存在定理可判断出 2 x00, ，使得 g x 0 0 ，进而得到导函数在1, 上的单调性，从而可证得结论； 2 2 骣 p x 西 0,上的唯一零点；当 时，首先可 桫 2 （2）由（1）的结论可知x 0为 f x在1,0

37、 0,xfx 判断出在( 0 )上无零点，再利用零点存在定理得到 在 x0,上的单调性，可知 2 f x 0 ，不存在零点；当x , 时，利用零点存在定理和 f x单调性可判断出存 2 在唯一一个零点；当x,，可证得 f x 0 ；综合上述情况可证得结论. 【详解】（1）由题意知： f x定义域为：1,且 f x cos x 1 x 1 1 ，x1, x 12 1 gx sin x x 1, 2 ， x1 2 1 x12 111 ,在 1, 在 上单调递减，1,上单调递减 a n1 a n 7 2 2 g x在 1,上单调递减 2 又 g 0sin0110 ， g sin 22 4 22 4

38、22 1 0 x00, ，使得 g x 0 0 2 当x1,x 0 时， g x 0；xx 0 , 时， g x 0 2 即gx在1,x0上单调递增；在x0, 则x x0为gx唯一的极大值点 上单调递减 2 即： f x在区间 1,上存在唯一的极大值点x0. 2 （2）由（1）知： f x cos x 1 ，x1, x 1 当x1,0时，由（1）可知 f x在1,0上单调递增 f x f 00 fx在1,0上单调递减 又 f0 0 x 0为f x在1,0上的唯一零点 当x0, 2 时， f x在(0,x 0 )上单调递增，在x 0 , 上单调递减 2 又 f 0 0 f x 0 0 fx在(0

39、,x 0 )上单调递增，此时fx f0 0 ，不存在零点 22 f cos 0 又 222 2 x 1 x 0 , ，使得 f x 1 0 2 fx在x 0,x1 上单调递增，在x 1, 上单调递减 2 2e fsinln 1lnln10 又 fx 0 f00 ， 22 2 2 f x 0 在x0,上恒成立，此时不存在零点 2 当x , 时，sin x单调递减，lnx1单调递减 2 fx在 , 上单调递减 2 又 f 0，f sinln1ln10 2 f f0fx 即 ，又 在 , 上单调递减 22 f x在 , 上存在唯一零点 2 当x,时，sinx 1,1，ln x1ln 1lne1 si

40、nxlnx10 即 f x在,上不存在零点 综上所述： f x有且仅有 2个零点 【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零 点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点， 另一方面是利用函数的 单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可. 21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物 试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验 对于两只白鼠，随机选一 只施以甲药，另一只施以乙药 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药 治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时， 就停止试验， 并认

41、为治愈只数多的药更有效 为 了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则 甲药得 1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分， 甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为X （1）求X的分布列； （2） 若甲药、 乙药在试验开始时都赋予4 分，pi(i 0,1, ,8)表示“甲药的累计得分为i时， 最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0 0，p 8 1， p i ap i1 bp i cp i1 (i 1,2,7)，其中a P(X 1)，b P(X 0)， c

42、P(X 1)假设 0.5， 0.8 (i)证明：pi1 pi(i 0,1,2, ,7) 为等比数列； (ii)求 p 4 ，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性 【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）p4 【解析】 【分析】 （1） 首先确定X所有可能的取值， 再来计算出每个取值对应的概率， 从而可得分布列； （2） （i）求解出a,b,c的取值，可得 1 . 257 p i 0.4p i1 0.5p i 0.1p i1 i 1,2,7，从而整理出 符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的 方式，结合 p 8和 p 0 的值可求得p1；再次利用累加法可求出p4. 【详解】（1）由题意可知X所有可能的取值为：1，0，1 PX 11；PX 011；PX 11 则X的分布列如下： X P 101 1 111 （2） 0.5， 0.8 a 0.50.80.4，b 0.50.80.50.2 0.5，c 0.50.2 0.1 （i） 即 p i ap i1 bp i cp i1 i 1,2,7 p i 0.4p i1 0.5p i 0.1p i1 i 1,2,7 4p i1 p i1 i 1,2,