高中数学竞赛讲座排列组合二项式定理

1、竞赛讲座竞赛讲座 1919 - -排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理 基础知识基础知识 1排列组合题的求解策略 （1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组 合题的常用策略 （2）分类与分步 有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集； 有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理 （3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数 （4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法即先安排好没有限制条件的 元素，然后将有限制条件

2、的元素按要求插入到排好的元素之间 （5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素” ，然后与其它“普通元素”全排列，然 后再“松绑” ，将这些特殊元素在这些位置上全排列 （6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型如将12 个完 全相同的球排成一列，在它们之间形成的 11 个缝隙中任意插入 3 块隔板，把球分成 4 堆，分别装入 4 个 不同的盒子中的方法数应为C11，这也就是方程a bc d 12的正整数解的个数 2圆排列 （1）由A a1,a2,a3, ,an的n个元素中，每次取出r个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列 （或叫环状排列） （2）圆排列

3、有三个特点： （i）无头无尾； （ii）按照同一方向转换后仍是同一排列； （iii）两个圆排 列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列 （3）定理：在A a1,a2,a3, ,an的n个元素中，每次取出r个不同的元素进行圆排列，圆排列 3 P n r 数为 r 3可重排列 允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列 在m个不同的元素中， 每次取出n个元素，元素可以重复出现， 按照一定的顺序那么第一、 第二、 第n位是的选取元素的方法都是m种， 所以从m个不同的元素中， 每次取出n个元素的可重复的排列数为 mn 4不尽相异元素的全排列 如 果n个 元 素 中 ， 有

4、 p 1 个 元 素 相 同 ， 又 有 p 2 个 元 素 相 同 ， ， 又 有 p s 个 元 素 相 同 （p1 p2 p s n） ，这n个元素全部取的排列叫做不尽相异的n个元素的全排列，它的排列数是 n! p 1!p2! ps ! 5可重组合 （1）从n个元素，每次取出p个元素，允许所取的元素重复出现1,2, , p次的组合叫从n个元素取 出p个有重复的组合 r （2）定理：从n个元素每次取出p个元素有重复的组合数为：H n p C n(p1) 6二项式定理 （1）二项式定理(a b) n C k0 n k n ankbk（n N*） （2）二项开展式共有n1项 rnrr （3）T

5、r1 C n ab （0 r n）叫做二项开展式的通项，这是开展式的第r 1项 （4）二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等 （5）如果二项式的幂指数n是偶数，则中间一项的二项式系数C最大；如果n是奇数，则中间两项 的二项式系数C n1 2 n n 2 n 与C n1 2 n 最大 （6）二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和，即 024135C n C n C n C n C n C n 7数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法 二项式定理，由于结构复杂，多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位，而数学竞赛的命题者却 对其情有独钟 （1）利用二项式定理判断整

6、除问题：往往需要构造对偶式； （2）处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合； （3）求证不等式：通过二项式展开，取展开式中的若干项进行放缩； （4）综合其他知识解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关，其实通过观察、 分析题目的特征，联想构造合适的二项式模型，便可使问题迅速解决 例题分析例题分析 例 1数 1447,1005,1231 有某些共同点，即每个数都是首位为 1 的四位数，且每个四位数中恰有两个 数字相同，这样的四位数共有多少个？ 例 2有多少个能被 3 整除而又含有数字 6 的五位数？ 例 3有2n个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结

7、对方式？ 例 4将n1个不同的小球放入n个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法？ 例 5在正方体的8 个顶点，12 条棱的中点，6 个面的中心及正方体的中心共27 个点中，共线的三点 组的个数是多少个？ 例 6用 8 个数字 1,1，7,7，8,8，9,9 可以组成不同的四位数有多少个？ 例 7用A,B,C,D,E五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，共有多少种 不同的涂色方式？ 例 8某种产品有4 只次品和 6 只正品（每只产品可区分） ，每次取一只测试，直到4 只次品全部测出 为止求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？ 例 9在平面上给出 5

8、 个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，过每点向其余四 点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？ 例 10。.8 位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有多少种？ 例 11某城市有6 条南北走向的街道，5 条东西走向的街道如果有人从城南北角（图A点）走到东 南角中B点最短的走法有多少种？ 例 12用 4 个 1 号球，3 个 2 号球，2 个 3 号球摇出一个 9 位的奖号，共有多少种可能的号码？ 例 13将r个相同的小球，放入n个不同的盒子（r n） （1）有多少种不同的放法？ （2）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？ 例 148 个女孩和

9、25 个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩 （只要把圆旋转一下就 重合的排列认为是相同的） 例 15设n 1990，求 * 1 2243699419889951990(13C 3 C 3 C 3C3C n )的值 nnnn n2 7)的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结论 例 16当n N时，(3 例 17已知数列a0,a1,a2,a3,（a0 0）满足：ai1 ai1 2ai(i 1,2,3, ) 求证：对于任意正整数n， 01n1n1nnp(x) a 0Cn (1 x)n a 1Cn x(1 x)n1 a n1Cn x(1 x) a nCn x 是一次多项式或零次多 项式 2r

10、1 m a（r,m N*,0 a 1） 例 18若( 5 2)，求证：a(m a) 1 例 19设x (15 例 20已知(1 220)19 (15220)82的整数部分，求x的个数数字 2)100 a 2b（a,b N）求ab的个位数字 2n 例 21试证大于(1 3) 的最小整数能被2 n1整除（nN ） 例 22求证：对任意的正整数n，不等式(2n 1) (2n) (2n 1) 例 23设a,b R，且 nnn 11 1求证对于每个nN，都有 ab (a b)n anbn 22n 2n1 训练题训练题 18 次射击，命中 3 次，其中愉有 2 次连续命中的情形共有（）种 （A）15（B）

11、30（C）48（D）60 2在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3 名选手各比赛了 2 场之后就退 出了，这样，全部比赛只进行了50 场。那么，在上述 3 名选手之间比赛的场数是（） （A）0（B）1（C）2（D）3 3若(1 x x ) 2100022000 的展开式为a0 a1x a2x a2000 x，则 a 0 a 3 a 6 a 9 a 1998 的值为 （A）3333（B）3666（C）3999（D）32001 4某人从楼下到楼上要走11 级楼梯，每步可走 1 级或 2 级，不同的走法有（）种 （A）144（B）121（C）64（D）81 5 从 7 名男乒乓球

12、队员， 5 名女乒乓球队员中选出4 名进行男女混合双打， 不同的分组方法有 （） 种 22222222 （A）2C 7 C 5 （B）4C 7 C 5 （C）P 7 P 5 （D）C7C5 6有 5 分、1 角、5 角的人民币各 2 枚、3 张、9 张，可组成的不同币值（非0）有（）种 （A）79（B）80（C）88（D）89 7从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数中取出 3 个数，使其和为不小于 10 的偶数，不同的取法有_ 种 6 8 把( 7 6) 写成 N 1 N的形式，为N自然数，则N 9已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合3,2,1,0,

13、1,2,3中的 3 个不同的元素，并且该直线的 倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_ 10设 ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点 A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若 在 5 次之内跳到 D 点，则停止跳动；若 5 次之内不能到达 D 点，则跳完 5 次也停止跳动，那么这只青蛙 从开始到停止，可能出现的不同跳法共种 11如果： （1）a,b,c,d 都属于1,2,3,4； （2）ab,bc,cd,da；(3)a 是 a,b,c,d 中的最小值，那么，可 以组成的不同的四位数abcd的个数是_ 12在一个正六边形的六个区域种植观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植 物。现有 4 种不同的植物可供选择，则有种载种方案 1310 人围圆桌而，如果甲、乙二人中间相隔4 人，有种坐法 1419912000除以10的余数是 6 2n1 15设(5 2 7)的展开中，用I记它的整数部分，F记它的小数部分求证：(I F)F是一定 值 16从1,2,3, ,19中，按从小到大的顺序选取a1,a2,a3,a4四个数