线性振动的近似计算方法

1、在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题。,缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。,本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。,邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法,线性振动的近似计算方法,邓克利法,由邓克利（Dunkerley）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的,便于作为系统基频的计算公式,自由振动作用力方程：,左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：,定义D=FM 为系统的动力矩阵,作用力方程的特征值问题：,位移方程的特征值问题：,线性振动的近似计算方法 / 邓克利法,作用力方程的特征值问题：,位移

2、方程的特征值问题：,特征值：,关系：,位移方程的最大特征根：,对应着系统的第一阶固有频率,（基频）,位移方程的特征方程：,展开：,其中：,例如：,线性振动的近似计算方法 / 邓克利法,D=FM,特征方程：,其中：,当 M 为对角阵时：,特征方程又可写为：,有：,得：,柔度系数 fii的物理意义：沿第i个坐标施加单位力时所产生的第i个坐标的位移,线性振动的近似计算方法 / 邓克利法,D=FM,如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：,例如：两自由度系统,（1）只保留 m1 时,柔度矩阵：,（2）只保留 m2 时,线性振动的近似计算方法 / 邓克利法,如果只保留第 i 个质量，所

3、得的单自由度系统的固有频率为：,将 代入：,对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：,邓克利法,得到的基频是精确值的下限,线性振动的近似计算方法 / 邓克利法,解释：,解得：,因在邓克利法中忽略了a，因此所得结果为基频下限。,得到的基频是精确值的下限,线性振动的近似计算方法 / 邓克利法,例：三自由度系统（教材P104算例）,采用常规方法，固有频率：,邓克利法：,当 m1 单独存在时,当 m2 单独存在时,当 m3 单独存在时,代入邓克利法公式：,线性振动的近似计算方法 / 邓克利法,瑞利法,基于能量原理的一种近似方法,可用于计算系统的基频,算出

4、的近似值为实际基频的上限,配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。,n 自由度保守系统：,机械能守恒,主振动 ：,动能与势能：,最大值：,瑞利商,线性振动的近似计算方法 / 瑞利法,瑞利商,对于第 i 阶模态：,当 为一般向量时（不是实际模态），总能展开为 n 个正则模态的线性组合：,代入瑞利商：,可以证明， 和 分别为瑞利商的极小值和极大值,即：,线性振动的近似计算方法 / 瑞利法,分析：,因此：,由瑞利商公式知，当 确为第一阶模态时，有：,因此，瑞利商的极小值为,同理可证明，瑞利商的极大值为,线性振动的近似计算方法 / 瑞利法,如果 接近第k阶真实模态,比起 ak ，其它系

5、数很小,代入，得：,线性振动的近似计算方法 / 瑞利法,线性振动的近似计算方法 / 瑞利法,解释：,例如 k1,约去a1,分子上加减1项,如果 接近第k阶真实模态,比起 ak ，其它系数很小,代入，得：,因此，若 与 的差异为一阶小量，则瑞利商与 的差别为二阶小量。,对于基频的特殊情况，令k1，则由于 瑞利商在基频处取极小值，,利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限,愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。,线性振动的近似计算方法 / 瑞利法,解释：,因为,利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限,愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。,例如 k1,瑞利商：

6、,所以,得证!,线性振动的近似计算方法 / 瑞利法,例：三自由度系统（教材P106算例）,采用常规方法，固有频率：,采用邓克利法，基频：,取在2m质量上施加力P所产生的“静变形曲线”作为近似的第一阶主振型，即：,代入瑞利商公式：,与精确值相比，相对误差1.34%,线性振动的近似计算方法 / 瑞利法,里茨法,里兹法是瑞利法的改进,里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降 。,用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几阶频率和模态。,瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限。,线性振动的近似计算方法 / 里兹法

7、,里兹法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合：,其中：,元素待定,代入瑞利商：,其中：,由于 在系统中的真实主振型处取驻值，所以 A 的各个元素应当从下式确定：,线性振动的近似计算方法 / 里兹法,瑞利商：,代入：,上面 r 个方程可合成为：,表示将函数分别对 A 的各个元素依次求偏导，然后排列成列向量,线性振动的近似计算方法 / 里兹法,瑞利商：,同理，有：,两项代入：,可写为：,线性振动的近似计算方法 / 里兹法,由于 的阶数 r 一般远小于系统自由度数 n，上式所示的矩阵特征值问题比原来系统的矩阵特征值问题解起来容易得多 。,因此里兹法实

8、际上是一种缩减系统自由度求解固有振动的近似方法。,就是自由度缩减为 r 的新系统的刚度矩阵和质量矩阵,可求出 r 个特征根,及相应的特征向量,原来系统的前 r 阶固有频率可近似取为：,相应的前 r 阶主振型近似取为：,线性振动的近似计算方法 / 里兹法,正交性分析,得出的近似主振型式关于矩阵 M 和 K 相互正交,时,成立,同理，有：,因此：,线性振动的近似计算方法 / 里兹法,例：三自由度系统（教材P106算例）,采用常规方法，固有频率：,采用邓克利法，基频：,采用里兹法，基频：,将假设的振型取为：,线性振动的近似计算方法 / 里兹法,将假设的振型取为：,缩减后的新系统的刚度矩阵和质量矩阵：

9、,特征值问题：,得出：,线性振动的近似计算方法 / 里兹法,固有频率：,主振型：,和 是主振型归一化时产生的常数，不必考虑,线性振动的近似计算方法 / 里兹法,固有频率：,主振型：,固有频率精确值：,主振型精确值：,采用邓克利法，基频：,采用瑞利法，基频：,里兹法得到的基频精度比用瑞利法的高，但第二阶固有频率的精度还欠佳。,线性振动的近似计算方法 / 里兹法,传递矩阵法,传递矩阵法适用于计算链状结构的固有频率和主振型,多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统,特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动,特点：将链状结构划分为一系列单元，每对单元之间的传递矩阵的阶数等于单元的

10、运动微分方程的阶数，因此传递矩阵法对全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后加以综合，从而大大减少计算工作量。,（1）轴盘扭转振动系统,（2）梁的横向弯曲振动系统,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,（1）轴盘扭转振动系统,n-1个圆盘,将圆盘和轴自左至右编号,第 i-1 个和第 i 个圆盘以及连接两盘的轴段构成第 i 个单元,Ji-1、 Ji：第 i-1 个圆盘和第 i 个圆盘的转动惯量,li：第 i 个单元轴段的长度,ki：第 i 个单元轴段的扭转刚度,轴不计质量，只计刚度,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,第i个圆盘两侧的状态变量满足：,第i个圆盘左右两侧状态变量的传递

11、关系：,定义状态变量：,定义：上角标 L 和 R 表示盘的左侧和右侧截面,：盘转角,：盘侧面扭矩,点传递矩阵,当圆盘以频率 作简谐振动时，有：,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,第i个轴段左右两端状态变量的传递关系：,第i个轴段上扭矩平衡条件：,状态变量：,点传递矩阵,场传递矩阵,第i个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,第i个轴段左右两端状态变量的传递关系：,状态变量：,点传递矩阵,场传递矩阵,第i个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：,第i-1个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系：,单元传递矩阵,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,第

12、 i 个轴段左右两端状态变量的传递关系：,点传递矩阵,场传递矩阵,第 i 个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：,第 i-1 个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系：,单元传递矩阵,n 个圆盘的轴系，最左端和最右端状态变量传递关系：,S：第1至第n单元通路中所有单元传递矩阵的连乘积,最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态,（ 的函数）,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,例：三圆盘扭振系统,用传递矩阵法求固有频率和模态,解：,两端无约束，边界条件：,令：,第一个圆盘左端状态：,第一个圆盘右端状态：,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,两端边界条件：,令：,线性振动的近似计算方法

13、 / 传递矩阵法,两端边界条件：,令：,根据边界条件：,代入各单元状态的第一个元素，得模态：,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,（2）梁的横向弯曲振动系统,传递矩阵法可用于分析梁的横向弯曲振动,假定梁上有 n-1 个集中质量,将支座、梁段、集中质量自左向右分别编号,梁段质量不计，只计刚度,第 i-1 个和第 i 个质量以及连接两质量的梁段构成第 i 个单元,状态变量构成：,集中质量处梁的横向位移、截面转角、弯矩和剪力,第 i 个梁段长 li，抗弯刚度 EiIi，质量分别为mi-1、mi,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,第 i 个质量两侧满足：,第 i 个质量受力分析,当系统以频率

14、 作简谐振动时：,第 i 个质量左右两侧的传递关系：,点传递矩阵,第 i 个单元,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,平衡条件：,第 i 个梁段受力分析,梁段两端位移和转角分析,设第i个梁段距离左端x远的截面的弯矩、转角和挠度分别为：,对于弯矩，有：,第 i 个单元,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,设第 i 个梁段距离左端 x 远的截面的弯矩、转角和挠度分别为：,对于转角，由材料力学有：,对于挠度：,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,设第 i 个梁段距离左端 x 远的截面的弯矩、转角和挠度分别为：,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,梁段受力平衡方程：,第 i 个梁段左右

15、两端状态变量的传递关系：,场传递矩阵,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,第 i 个质量左右两侧的传递关系：,第 i 个梁段左右两端状态变量的传递关系：,第 i -1 个质量右侧至第 i个质量右侧的状态变量传递关系：,单元传递矩阵,对于带 n 个集中质量得梁，总能利用各单元传递矩阵的连乘积导出梁的最左端和最右端状态变量传递关系：,最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态,第 i 个单元,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,单元传递矩阵：,代入，得：,点传递矩阵,场传递矩阵,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,例：用传递矩阵法求解固有频率,梁的抗弯刚度 EI,解：,对支座、质量、梁段

16、编号,状态变量：,两端边界已知条件：,无量纲边界条件：,引入无量纲变量：,无量纲状态变量：,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域,无量纲变量：,点传递矩阵,场传递矩阵,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域，有：,第 i 个梁段左右两侧的传递关系：,两支座之间的传递矩阵：,梁段1：,梁段2：,梁段3：,质量1：,两支座之间的状态关系：,质量2：,第 i 个质量左右两侧的传递关系：,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域，有：,两支座之间的状态关系：,代入，得：,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,两支座之间的状态关系：,根据两端支座边界条件，得：,非零解条件：,频率方程,线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法,非零解条件：,其中：,展开化简，得：,可得固有频率：,也可利用特征方程，采用数值