运筹学整数规划

1、第一节 问题的提出 例子：某厂拟采用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表,问两种货物托运多少箱，可使获得利润为最大？,第三章 整数规划（Integer Programming),分类：1. 纯整数线性规划（Pure Integer Linear Programming） 2. 混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming） 3. 0-1型整数线性规划（Zero-One Integer Linear Programming）,解：设x1，x2分别表示两种货物托运的箱数，那么其线性规划为,可得最优解为x*=（5/3，8/3)

2、T。 如果选用“向上凑整”的方法可得到x(1)=(2,3)T, 则此时已破坏了体积约束, 超出可行域的范围; 如果“舍去小数”可得x(2)=(1,2)T, 则此时虽是可行解, 值为10，不是最优解, 因为当x*=(2,2)T是, 其利润为14.,由于托运的箱数不能为分数，故上述规划问题是整数规划问题。 若不考虑整数约束，其相应的线性规划问题为：,第二节 分枝定界法(Branch and Bound method) 引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。 一、基本思想和算法依据 基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不符合整数条件，那么其目标函数的值就是整数规划问题最优值的上

3、界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继续考虑其它分枝，直到最终求得最优的整数解。 算法的依据在于：“整数规划的最优解不会优于相应的线性规划问题的最优解”。具体说就是，对极大化问题，与整数规划问题相应的线性规划问题的目标函数值，是该整数规划问题目标函数的上界；任何满足整数条件的可行解的目标函数值将是其下界。,二、具体步骤（以例子说明）,解： 第一步：先不考虑整数约束条件，求解

4、相应的线性规划问题，得最优解和最优值如下 x1=4.81, x2=1.82, Z=356 此解不满足整数解条件。定出整数规划问题目标函数的上下界。上界为 Z=356；用观察法可知x1=0，x2=0是可行解，从而其整数规划问题目标函数的下界应为0，即 0 Z* 356,第二步：分枝与定界过程。 将其中一个非整数变量的解，比如x1, 进行分枝，即 x1 4.81 =4, x1 4.81 =5 并分别加入LP问题的约束条件中, 得两个子LP规划问题LP-1, LP-2, 分别求解此两个子线性规划问题, 其最优解分别是 LP-1: x1=4, x2=2.1, Z1=349 LP-2: x1=5, x2

5、=1.57, Z2=341,没有得到全部决策变量均是整数的解。再次定出上下界 0 Z* 349 继续对问题LP-1，LP-2进行分枝。先对目标函数值大的子问题进行分枝，即分别将 x2 2.1 =2, x2 2.1 =3 加入到约束条件中去, 得子问题LP-3, LP-4, 分别求解得 LP-3: x1=4, x2=2, Z3=340 （是整数解，定下界） LP-4: x1=1.42, x2=3, Z4=327（剪掉） 问题LP-3的所有解均是整数解, 而问题LP-4还有非整数解, 但由于 Z3Z4, 对LP-4分枝已没有必要，剪掉。 上下界为 340 Z* 349 在对问题LP-2进行分枝,

6、x2 1.57 =1， x2 1.57 =2, 得子问题LP-5, LP-6, 求解得 LP-5: x1=5.44, x2=1, Z5=308 (下界340, 剪掉) LP-6: 无可行解（剪掉）,于是得到原整数规划问题的最优解为 LP: x1=4, x2=2, Z3=340,整个过程如下:,步骤: 1 求解相应的线性规划问题的最优解和最优值, 如果a) 没有可行解, 停止; b) 若有满足整数条件的最优解, 则已得到整数规划问题的最优解, 停止; c) 若有最优解, 但不满足整数条件, 记此最优值为原整数规划问题Z*的上界, 然后, 用观察法求出下界。 2 分枝、定界，直到得到最优解为止。

7、注意：a）在以后的各枝中，若某一子规划问题的最优解满足整数条 件，则用其最优值置换Z*的下界。B）若某一分枝的最优值小于Z* 的下界，则剪掉此枝，即以后不再考虑此枝。,三、算法需要注意的几点（以极大化问题为例） 1 在计算过程中，若已得到一个整数可行解x(0)，其相应的目标函数值为Z0，那么在计算其它分枝过程中，如果解某一线性规划所得的目标函数值ZZ0，即可停止计算。因为进一步的分枝结果的最优值只能比Z更差。 2 分枝变量的选取。分枝变量的选取方式不同，可使整个问题的求解在简繁程度上有很大的差异，选取原则为： 选取相应的线性规划解中具有最大分数值的变量作为分枝变量。 对要求取整的变量按其重要程

8、度（比如该变量在整数规划模型中代表比较重要的决策；该变量在目标函数中利润系数远远大于其它变量的利润系数等等）排定优先顺序，按优先顺序的先后选取分枝变量。 3 若有若干个待求解的分枝，先选取目标函数值最大的那一枝。,练习：用分支定界法求解下述整数规划问题,第三节 割平面解法(Cutting Plane Approach) 割平面法是1958年美国学者R. E. Gomory提出的。 基本思想是：先不考虑变量的取整数约束，求解相应的线性规划，然后不断增加线性约束条件（即割平面），将原可行域割掉不含整数可行解的一部分，最终得到一个具有整数坐标顶点的可行域，而该顶点恰好是原整数规划问题的最优解。 例：

9、求解,加松弛变量x3、x4，使其变成标准形（如有非整数的系数，则将其所在的方程乘以某一常数，变成具有整数系数的约束方程），用单纯形法求解得,最优解x1=3/4，x2=7/4，x3=x4=0，最优值为Z=5/2，是非整数解。 寻求割平面：由最终表得 x1 - 1/4x3 + 1/4x4 = 3/4 x2 + 3/4x3 + 1/4x4 = 7/4 任选一取分数值的基变量，比如x1，将该式中所有变量的系数、右端常数项均改写成整数与非负真分数之和的形式，并移项得 x1 - x3 = 3/4 -（3/4x3 + 1/4x4） （注：所有的x均是整数。x3、x4可通过在原约束条件中乘以某一常数变成整数。

10、） 则整数约束条件可由下式替代 3/4 -（3/4x3 + 1/4x4）0 即得割平面方程 -3x3 - x4 -3 引入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终表得,用对偶单纯形算法进行计算。x5作换出变量，x3换入变量，迭代得,已得到整数解，最优解为x1=1，x2=1，最优值为2。 注：新约束-3x3-x4 -3的几何意义。 上述约束中以x1，x2 表示x3，x4 ，得 x2 1，其图形见下图。,3x1+x2=4,-x1+x2=1,x2 1,求切平面的基本步骤： 1 令xi是相应线性规划问题最优解中为分数解的一个基变量，由单纯形最终表得到 xi+aikxk=bi，其中i为基变量的标号；k为非基变量的标号。 2 将bi和aik都分解成整数部分N与非负真分数部分f之和，即 bi=Ni+fi， 其中 0fi1 aik=Nik+fik, 其中 0fik1,将上式代入式xi+aikxk=bi中得 xi+Nikxk - Ni=fi - fikxk