高等数学课后习题及解答

1、高等数学课后习题及解答1. 设 u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用 a，b， c 表示 2u-3v.解 2u-3v=2（ a-b+2c） -3（-a+3b-c）=5a-11b+7c.2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD中 AC 与 BD 交于 M ， 已知AM = MC ， DM故MB .ABAMMBMCDMDC .即 AB / DC 且|AB |=|DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形.3. 把 ABC的 BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点A 连接.试以 AB=c, BC=

2、a 表向量证如图 8-2 ，根据题意知1D1 A,1D2 A,D3 A,DA.41D3 D4BD11a,5a,D1D2a,551D2D3a,5故 D1 A=- （ ABBD1）=-a- c5D2 A=- （ ABDA=- （ ABBD2BD）=-）=-2 a- c53 a- c3DA4=- （ AB3BD4）=-54a- c.54.已知两点M1（0，1，2）和 M2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M1M 2 及-2 M 1M 2 .解M 1M 2=（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） .-2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）.5.

3、 求平行于向量a=（6， 7， -6）的单位向量 .a解向量a 的单位向量为，故平行向量a 的单位向量为aa1=（ 6，7， -6）=6 , 7 ,6，a1111 1111其 中 a6272(6)211.6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A（1，-2，3），B（ 2， 3，-4）， C（2，-3，-4）， D（-2，-3， 1）.解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限 .7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A（ 3， 4， 0），B（ 0， 4，3），C（ 3，0，0），D （ 0，-1， 0）.解在坐标面上

4、的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy 面上的点的坐标为（x0， y0，0），xOz 面上的点的坐标为（x0，0， z0）， yOz 面上的点的坐标为（0， y0，z0） .在坐标轴上的点的坐标， 其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为（x0，0，0），y 轴上的点的坐标为（ 0，y0， 0）， z 轴上的点的坐标为（0，0，z0）.A 点在 xOy 面上， B 点在 yOz 面上， C 点在 x 轴上， D 点在 y 轴上.8. 求点（ a，b， c）关于（ 1）各坐标面；（2）各坐标轴；（ 3）坐标原点的对称点的坐标.解（ 1）

5、点（ a， b，c）关于xOy 面的对称点（a，b， -c），为关于 yOz面的对称点为（ -a，b，c），关于 zOx面的对称点为（ a，-b，c）.（ 2）点（ a， b， c）关于x 轴的对称点为（a，-b， -c），关于y轴的对称点为（ -a， b，-c），关于 z 轴的对称点为（-a，-b， c）.（ 3）点（ a，b， c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b， -c）.9. 自点 P（0x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标 .解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意， P0F 为点 P0 关于 xOz面的垂线，垂足F 坐标为(x0，0，z0）； P0D

6、为点 P0 关于 xOy 面的垂线，垂足D 坐标为( x0，y0，0）； P0E 为点 P0 关于 yOz 面的垂线，垂足 E坐标为(0，y0，zo ) .P0A 为点 P0 关于 x 轴的垂线，垂足A 坐标为( xo，0,0）；P0B 为点P0 关于 y 轴的垂线， 垂足 B 坐标为(0,y0 ,0) ；P0C为点 P0 关于 z 轴的垂线，垂足C 坐标为(0,0, z0 ) .11. 一边长为a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点， 底面的顶点在x 轴和 y 轴上，求它各顶点的坐标.2解如图 8-5，已知AB=a，故 OA=OB=a ，于是各顶点的坐2标分别为A(2 a，0

7、，0) ，B（ (0,222a，0），C（-a，0，0），D 22（0，-2 a ，0），E（22 a ，0，a ），F（0，22 a ，a ），G（-22 a ，20， a ），H（ 0，-2 a ， a ）.212. 求点 M（4， -3， 5）到各坐标轴的距离.解点 M 到 x 轴的距离为d1=(3) 25234 ， 点 M 到 y轴 的 距 离 为d2=425241 ， 点M到z 轴 的 距 离 为d3=42(3) 2255.13.在 yOz 面上，求与三点A（3， 1， 2），B（4， -2，-2），C（0， 5，1）等距离的点 .解所求点在yOz 面上，不妨设为P（ 0，y，z），

8、点 P 与三点 A，B， C等距离，PA32( y1)2(z2)2 ,PB42( y2)2(z2)2 ,PC( y5)2( z1)2 .由 PAPBPC 知，32( y1)2( z2)242( y2) 2( z2)2( y5) 2( z1) 2 ，9( y1) 2( z2) 216( y2) 2( z2)2 ,9( y1) 2( z2) 2( y5) 2( z1)2.即解上述方程组，得y=1， z=-2.故所求点坐标为（0，1， -2）.14.试证明以三点A（4， 1， 9）， B（10，-1，6），C（ 2， 4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证由AB(104)2(11)2(69)27

9、,AC(2BC(24)210)2(41) 2(41)2(39)27,(36)29872知 AB2AC 及 BC2ABAC2.故 ABC为等腰直角三角形.15. 设已知两点为M1（4，2 ，1），M 2（3，0，2），计算向量的模、方向余弦和方向角.M 1M 2解向量M 1M 2=（3-4， 0-2 ， 2-1） =（-1，-2 ， -1），其模M 1M 2（ -1）2（ -2）21242 .其方向余弦分别为 cos=-1， cos=-221，cos=.22方向角分别为2,3,.34316. 设向量的方向余弦分别满足（1）cos=0；（2）cos=1；（ 3） cos=cos=0，问这些向量与坐

10、标轴或坐标面的关系如何？解（1）由 cos=0 得知，故向量与x 轴垂直，平行于2yOz面.（2） 由 cos=1 得知=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz面.（3） 由 cos=cos=0 知，故向量垂直于x 轴和 y 轴，2即与 z 轴平行，垂直于xOy 面.17. 设向量 r 的模是 4，它与 u 轴的夹角为，求 r 在 u 轴上的投影 .31解已知|r |=4 ，则 Prj ur=| r |cos=4?cos3=42=2.18. 一向量的终点在点B（2，-1，7），它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为 4， -4 和 7，求这向量的起点A 的坐标.解设 A 点坐标为（ x，y

11、， z），则AB =（ 2-x，-1-y，7-z），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故 x=-2，y=3，z=0，因此A 点坐标为（ -2， -3， 0）.19. 设 m=3i+4j+8k，n=2i-4j-7k 和 p=5i+j-4k.求向量 a=4m+3n-p 在 x 轴上的投影及在y 轴上的分向量 .解a=4m+3n-p=4（ 3i+5j+8k）+3（ 2i-4j-7k） -（ 5i+j-4k）=13i+7j+15k，a 在 x 轴上的投影为13，在 y 轴上的分向量为7j.1. 设a3ij2k,bi2 jk ，求（1） a余弦.b及ab；（2）（ -2a）3b及a2b；（

12、3） a,b 的夹角的解（ 1） ab（3，- 1，-2）（1,2，- 1）3ijk1 （ - 1）2（ -2）（ - 1）3，ab31122 =（5,1,7） .1（2） (2a)3b6(ab)6318a2b2(ab)2(5,1,7)ab(10,2,14)3（3 cos(a,b)a b332(31)2(2)21222(1)21462212. 设 a, b,c 为单位向量，满足abc0,求abbcca.解已知 abc1, abc0,2故（ abc）（ ab c）0 .22即 abc 2ab2bc2ca0.因此abbcca122（ ab 223c）- 23.已知 M1（ 1，-1，2），M2（

13、3,3,1）M 3（ 3,1,3）.求与同时垂直的单位向量.M1M 2 , M 2 M 3解M 1M2 =（ 3-1,3-（-1）,1-2） =（2，4， -1）M 2 M 3=（3-3,1-3,3-1） =（ 0，-2， 2）由于 M 1M 2取为M 2 M 3与M 1M2, M2M 3同时垂直，故所求向量可a（M 1M 2M 2M 3），M 1M 2M 2M 3由M 1M 2iM 2M 3 = 20jk41 =（6，-4，-4），22M1M 2知aM 2 M 3621(6,4,4)(4)2(3,4)22,682).2172171717174. 设质量为100kg 的物体从点M1（3,1,8

14、）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为z 轴负方向） .解M 1M2 =（ 1-3,4-1,2-8）=（ -2，3， -6）F=（ 0,0，-1009.8） =（ 0,0，-980）W=F?M 1M2 =（0,0，-980）?（ -2,3， -6 ）=588（0J）.5. 在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1 的点 P1 处，有一与OP1成角1 的力 F1 作用着；在O的另一侧与点O的距离为x2 的点 P2 处，有一与OP2成角2 的力 F2 作用着（图 8-6 ），问1 ， 2 ，x1，x2，F1 , F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如

15、图 8-6 ，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为F1即F1x1 sin1x1 sin1F2 x2 F2 x2sin sin20 ，2.6. 求向量 a（4，-3,4）在向量 b（2,2,1）上的投影.ab( 4,3,4)(2,2,1)6解Prjbab2 .22221237. 设a(3,5,2),b(2,1,4)，问与有怎样的关系，能使ab与 z 轴垂直？解ab =（3,5 ，-2 ）+（2,1,4 ）=（ 32,5,24）.要ab与 z 轴垂直，即要（ab ）（0,0,1 ），即（ab） ?（0，0,1 ）=0，亦即（ 32,5,

16、24）?（0,0,1 ）=0，故（24）=0，因此2时能使ab与 z 轴垂直.8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图 8-7 ，设 AB是圆 O的直径，C点在圆周上，要证 ACB=，2只要证明ACBC0 即可. 由ACBC=( AOOC)( BOOC)= AOBOAOOC2OCBOOC2=AOAOOCAOOC2OC0 .故 ACBC , ACB为直角.9. 已知向量 a2i3 jk, bij3k和ci2 j，计算：（1） (ab)c(ac)b（2）(ab)(bc)（3）(ab)cab(2,3,1)(1,1,3)8，ac(2,3,1)(1,2,0)8，解（1）(ab)c(ac)b8(1

17、,2,0)8(1,1,3)(0,8,24)8i24k .（2） ab=（2，-3,1）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ），bc=（ 1， -1,3） +（ 1， -2,0） =（ 2， -3,3），ijk(ab)(bc)344(0,1,1)jk .233ijkOAOB103(3,3,1) ，013而由行列式的性质知axayazbxbybzcxcyczbxbycxcyaxaybz cx cz = ax az bxcyczayaz ， 故bybz(ab)c(bc)a(ca)b.2212. 试用向量证明不等式：aaab2222123123a1b1a2b2a3b3 ，bb其中 a1, a2 ,a

18、3 , b1, b2 ,b3 为任意实数. 并指出等号成立的条件. 证设向量 a（ a1 , a2 , a3 ）， b（ b1, b2 ,b3 ）.由aba b cos(a,b)a b ，从而a1b1a2b2a3b322a1a2a1222a 3b1b2a2a32b3，当 a1, a2 , a3与 b1, b2 ,b3 成比例，即b1b2时，上述等式成立.b31. 求过点（ 3,0，-1）且与平面 3x7 y程.解所求平面与已知平面3x7 y5z125z120 平行的平面方0 平行.因此所求平面的法向量可取为n=（3，-7，5），设所求平面为3x7 y5zD0.将点（ 3，0， -1）代入上式得

19、D=-4.故所求平面方程为3x7 y5z40 .2.求过点 M0（ 2，9， -6）且与连接坐标原点及点M0 的线段OM0 垂直的平面方程 .解OM 0(2,9,6）.所求平面与OM 0垂直，可取 n= OM 0 ，设所求平面方程为2x9 y6zD0.将点 M0（ 2，9， -6）代入上式得D=-121.故所求平面方程为2x9 y6z1210.3.求过（ 1，1， -1），（-2， -2， 2）和（ 1，-1，2）三点的平面方程.x1y1z1解由2121211111210 ，得 x3 y2z0 ，即为所求平面方程.注设 M（ x,y,z）为平面上任意一点，M i( xi ,yi , zi)(i

20、1,2,3) 为平面上已知点 .由M1M(M 1M 2M 1M 3)0, 即xx1x2x1x3x1y y1y2y1y3y1z z1z2z10,z3z1它就表示过已知三点Mi（ i=1,2,3）的平面方程 .4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）x=0;（2） 3y-1=0;（3）2x-3y-6=0;（4） x-3y=0;（5）y+z=1;（ 6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0.解（ 1）（ 7）的平面分别如图8 8（a）（ g） .（1）x=0 表示 yOz 坐标面.（2）3y-1=0 表示过点（0, 1,0）且与 y 轴垂直的平面 .3（3）2x-3y-6=0 表示与

21、z 轴平行的平面 .（4）x-3y=0 表示过z 轴的平面 .（5）y+z=1表示平行于x 轴的平面 .（6）x-2z=0 表示过 y 轴的平面 .（7）6x+5y-z=0表示过原点的平面.5. 求平面 2x2yz50与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy，yOz，zOx的夹角分别为1,2 ,3 .则根据平面的方向余弦知coscosnk(2,2,1)(0,0,1)1 ,1n k22(2)21213cos2cosni( 2, n i2,1)3(1,0,0)2 ,13cos3cosnj( 2,nj2,1)3( 0,1,0)2.136. 一平面过点（1

22、，0，-1）且平行于向量a试求这个平面方程.(2,1,1) 和b(1,1,0) ，解所求平面平行于向量a 和b，可取平面的法向量ijknab211(1,1,3) .110故所求平面为 1( x1)1( y0)3( z1)0，即xy3z40 .7. 求三平面 x3y交点.z1,2xy z0,x2 y2z3的解联立三平面方程x3y 2xyx2yz 1,z0,2z3.解此方程组得x1, y1, z3.故所求交点为（ 1， -1，3） .8. 分别按下列条件求平面方程：（ 1）平行于xOz面且经过点（ 2，-5， 3）；（ 2）通过 z 轴和点（ -3，1， -2）；（ 3）平行于x 轴且经过两点（4

23、， 0，-2）和（ 5，1， 7） .解（ 1 ）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为ByD0.将点（ 2，-5，3）代入，得5BD0，即D5B.因此所求平面方程为By5B0，即 y50.（2） 所求平面过z 轴，故设所求平面为AxBy0 .将点（ -3，1，-2）代入，得3AB0，即B3A.因此所求平面方程为Ax3Ay0，即 x3y0.（3） 所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为ByCzD0.将点（ 4，0， -2）及（ 5， 1， 7）分别代入方程得2CD0及CD , B 2B7CD0.9 D .2因此，所求平面方程为9 Dy2D zD0 ， 2即9 yz20.9.求点（ 1,

24、2,1）到平面x2 y2z100 的距离.解利用点的距离公式M 0 ( x0 ,yo , zo )到平面AxByCzD0dAx0By0Cz0DA2B 2C 2122211031.1222223x3y1. 求过点（ 4，-1，3）且平行于直线21z1 的直线方程 .5解所求 直线与已 知直线平行 ， 故所求直线的方向向 量s(2,1,5)，直线方程即为x4y1z3.2152. 求过两点M 1(3,2,1) 和M 2 (1,0,2) 的直线方程 .解取所求直线的方向向量sM 1M 2(13,0(2),21)(4,2,1) ，因此所求直线方程为x3y2z1.4213. 用对称式方程及参数方程表示直线

25、xy2 xyz1,z4.解根据题意可知已知直线的方向向量ijks111(2,1,3).211取 x=0，代入直线方程得yz1,yz4.35解 得 y3 , z25 .这2样就得到直线经过的一点（0,2）.因此直线的对称式方程为2参数方程为35.x0y2z2213x2t ,y 3t , 2z 53t.2注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的.4.求过点（ 2， 0，-3）且与直线x2 y3x5 y4z70,2z10垂直的平面方程 .解根据题意， 所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即ijns1235k4(16,14,11),2故所求平面方程

26、为16( x16x2)14y14( y0)11z6511(z3)0.0.即5 x5. 求直线3x3y3z92 yz10,2 x2 y与直线03x8 yz230,z180的夹角的余弦 .解两已知直线的方向向量分别为is153jk33(3,4,211), s2ijk221381(10,5,10),因此，两直线的夹角的余弦cos(cos s1, s2 )s1s2 s1 s2310451100.32x2 y42(1) 2102(z7,3x5)21026 y3z8,6. 证明直线2xy与直线z7平2xyz0行.证已知直线的方向向量分别是ijs11221ki1(3,1,5), s2312jk63(119,

27、3,15),由 s23s1知两直线互相平行.7. 求过点（0,2,4）且与两平面x方程.2 z1和 y3z2平行的直线解所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量可取ijksn1n2102(2,3,1),013故所求直线方程为x02y2z4.31注本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线为x 2za,y 3zb.将点（ 0，2， 4）代入上式，得a8, b10.故所求直线为x 2z8,10.x4y3z5x4y231z521y 3z8. 求过点（ 3， 1，-2）且通过直线解利用平面束方程，过直线的平面方程 .

28、的平面束方程为x4y352( y3z)0,2将点（ 3，1， -2）代入上式得11 .因此所求平面方程为20x4y35211 ( y3z)0,202即9. 求直线8x9yxy3z22z590.0,与平面 xyz10的夹角.xyz0i解已知直线的方向向量s11jk13( 2,4,112), 平面的法向量 n(1,1,1).设直线与平面的夹角为, 则sincos(n, s)sn214(1)(2)(1)0,即0.s n2242(2)212(1)2(1)210. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系；x3y4（1）27xyzz 和 4x2 y32z3 ；（2）3和3x2y277z8；（3） x23y2

29、z13 和x 4y z3.解设直线的方向向量为s，平面的法向量为n ，直线与平面的夹角为, 且sincos(n, s)sn .s n（1） s(2,7,3), n(4,2,2),sin(2) 22)4(7)(7)232(2)423(2)(2)2(0,2)2则0.故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A（-3，-4，0）代入平面方程，方程不成立.故点 A 不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行.（2） s(3,2,7), n(3,2,7), 由于 sn 或sin332(3(2)2)272(2)32771,(2)272知，故直线与平面垂直.2（3） s(3,1,4), n(1,1,1)

30、, 由于 sn0或sin3 11 1(4)10,3212(4)2121212知0, 将直线上的点A（ 2，-2， 3）代入平面方程，方程成立，即点 A 在平面上 .故直线在平面上. 11.求过点（ 1,2,1）而与两直线x2 yxyz10,和z 102 xyxyz0,z0平行的平面的方程.解两直线的方向向量为is111jk21(1,11i2,3), s221jk11(0,1,111),i取ns1s21jk23(1,1,1),011则过点（ 1,2,1），以 n 为法向量的平面方程为1( x即1)1( y2)xyz0.1( z1)0,12.求点（ -1,2,0）在平面x2yz10上的投影 .解作

31、过已知点且与已知平面垂直的直线.该直线与平面的交点即为所求 .根据题意，过点（-1,2,0）与平面 x2yz10垂直的直线为x1y212z0 ,1将它化为参数方程x1 t , y2 2t, zt , 代入平面方程得1t2(22t )(t )10,2整理得t.从而所求点（ -1,2,0）在平面 x2y 3z10 上的投影为（5, 2 , 2 ）.333xyz10,13.求点 P（ 3，-1，2）到直线2xyz40的距离.i解直线的方向向量s12jk11(0,3,113).在直线上取点（ 1，-2， 0），这样，直线的方程可表示成参数方程形式x1, y23t , z3t.（1）又，过点P（3，-1

32、，2），以 s(0,3,3) 为法向量的平面方程为3( y1)3( z2)0,即yz10.（2）1将式（1）代入式（2）得t，于是直线与平面的交点为 （1,21 , 3 ），22故所求距离为d(31)2(11)22(23)2232 .214. 设 M0 是直线L 外一点， M 是直线 L 上任意一点，且直线的方向向量为 s，试证：点M0 到直线L 的距离M 0Msd.s证如图 8-9，点 M0 到直线 L 的距离为d.由向量积的几何意义知M 0Ms 表示以M 0M， s为邻边的平行四边形的面积.而M 0Mss表示以s 为边长的该平面四边形的高，即为点 M0 到直线L的距离.于是M 0Msd.s

33、15. 求直线2 x4 yz3xy2z0,在平面 4x90y z1上的投影直线的方程 .解作过已知直线的平面束， 在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.设过直线2x4 yz3xy2z0,的平面束方程为902x4yz(3xy2z9)0,经整理得(2由(23133)x(4)4(4) y(12) z90.)(1)(12)10,得.代入平面束方程，得1117x因此所求投影直线的方程为17x31y31y37z37z1170.1170,4xyz1.16. 画出下列各平面所围成的立体的图形.（1） x0, y0, z0, x2, y1,3x4 y2z120;（2） x0, z

34、0, x1, y2, zy .4解（ 1）如图 8-10（ a）；（2）如图8-10（b） .1.一球面过原点及A（ 4，0， 0）， B（ 1，3， 0）和 C（0，0， -4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径.2解设所求球面的方程为( xa) 2( yb) 2( zc) 2R，将已知点的坐标代入上式，得a2b2c2R2 ,（1）(a4)2( a1) 2b2c2(b3) 2R2 ,2c2R2 ,（2）（3） （3）a2b2( 4c) 2R，（4）联立（ 1）（ 2）得a2, 联立（ 1）（4）得 c2, 将a2代入（2）（ 3）并联立得b=1，故 R=3.因此所求球面方程为( x2)2(

35、 y1) 2( z2) 29,其中球心坐标为(2,1,2), 半径为 3.2. 建立以点（ 1，3， -2）为球心，且通过坐标原点的球面方程.解设以点（ 1，3， -2）为球心， R为半径的球面方程为( x球面经过原点，故R2从而所求球面方程为1) 21)2( 03) 2(02) 214,1) 2( y3) 2( z2) 214.(0( x( y3) 2( z2) 2R2,3. 方 程 x2y2z22 x4 y2 z0表示什么曲面？解将已知方程整理成( x1)2( y2)2( z1) 2(6) 2,所以此方程表示以（1，-2，-1）为球心，以6 为半径的球面 .4. 求与坐标原点O 及点（ 2

36、,3,4）的距离之比为1:2 的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解设动点坐标为（x, y, z），根据题意有( x0)2( y0)2( z0)2化简整理得( x2)2( y3)2( z4)21 ,2( x2)2( y3241)2( z4)232( 229)2 .3它表示以（,1,3）为球心，以29为半径的球面 .3325. 将 xOz坐标面上的抛物线转曲面的方程 .z 5x绕 x 轴旋转一周，求所生成的旋解以y2z2代替抛物线方程z25x中的 z，得(y2z2 ) 25x，即y2z25x.注xOz 面上的曲线F ( x, z)0 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为F ( x

37、,y2z2 )0.6. 将 xOz坐标面上的圆转曲面的方程 .x2z29 绕 z 轴旋转一周，求所生成的旋解以x2y2代替圆方程x2z29 中的 x ，得(即x2x2y2 )2z29,y2z29.7. 将 xOy 坐标面上的双曲线4x29 y236分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解以y2z2代替双曲线方程4x29 y236中的 y，得该双曲线绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4 x2即4 x2229(9( y2y2z2 z2 )2)236.236,以xz代替双曲线方程4x9 y36 中的 x，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4(即4( x2x2z

38、2 )z2 )29 y29 y236.36,8. 画出下列各方程所表示的曲面：（1） ( xa) 2y2(a) 2;（2）x2y21;（3）2xz221;2（4）y2z0;49（ 5） z2x2 .94解（1）如图 8-11（a）； （2）如图 8-11（ b）； （ 3）如图 8-11（c）；（4）如图8-11（d）；（ 5）如图 8-11（ e）.9. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：（1） x2;22（ 2） yx1;（3） x2y24;（ 4） xy1.解（ 1） x2 在平面解析几何中表示平行于y 轴的一条直线，在空间解析几何中表示与yOz 面平行的平面 .（2） yx1在平面解析几何中表示斜率为1， y 轴截