解析几何题库

1、. 可编辑文档 解析几何解析几何题库题库 一、选择题一、选择题 1.1.已知圆C与直线xy=0 及xy4=0 都相切，圆心在直线x+y=0 上，则圆C的方程为 A. 22 (1)(1)2xy B. 22 (1)(1)2xy C. 22 (1)(1)2xy D. 22 (1)(1)2xy 【解析】圆心在xy0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径即可. 2 【答案】B 2.2.直线1yx与圆 22 1xy的位置关系为（ ） A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离 【解析】圆心(0,0)为到直线1yx，即10 xy 的距离 12 22 d ，而 2

2、 01 2 ，选 B。 【答案】B 3.圆心在y轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A 22 (2)1xy B 22 (2)1xy C 22 (1)(3)1xyD 22 (3)1xy 解法解法 1 1（直接法）：设圆心坐标为(0, )b，则由题意知 2 (1)(2)1ob，解得2b ，故圆的方程为 22 (2)1xy。 解法解法 2 2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为（0，2） ，故圆的方程为 22 (2)1xy 解法解法 3 3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除 B，D，又由于圆心在y轴上，排除 C。 【答案】A 4.点 P（

3、4，2）与圆 22 4xy上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A. 22 (2)(1)1xy B. 22 (2)(1)4xy C. 22 (4)(2)4xy D. 22 (2)(1)1xy 【解析】设圆上任一点为 Q（s，t） ，PQ 的中点为 A（x，y） ，则 2 2 2 4 t y s x ，解得： 22 42 yt xs ，代入圆方程，得（2x4） 2（2y2）24，整理，得： 22 (2)(1)1xy 【答案】A 5.已知直线 12 :(3)(4)10,:2(3)230,lkxk ylkxy 与平行，则k得值是（ ） A. 1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2

4、 . 可编辑文档 【解析】当k3 时，两直线平行，当k3 时，由两直线平行，斜率相等，得： k k 4 3 k3，解得：k5，故选 C。 【答案】C 6.过圆 22 (1)(1)1C xy：的圆心，作直线分 别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分（如图） ， 若这四部分图形面积满足 |, SSSS 则直线AB有（ ） （A） 0 条 （B） 1 条 （C） 2 条 （D） 3 条 【解析】由已知，得：, IVIIIIII SSSS，第 II，IV 部分的面 积是定值，所以， IVII SS为定值，即, IIII SS为定值，当直线 AB绕着圆心 C 移动时，只可能有一个位置符合题意，

5、即直线 AB只有一条，故选 B。 【答案】B 7.过原点且倾斜角为60的直线被圆学 22 40 xyy所截得的弦长为科网 A.3 B.2 C.6 D.23 2222 4024 32 3 xyyxy 解析：（）， A(0, 2), O A=2, A到直线O N 的距离是1,O N =弦长 【答案】D 二、填空题二、填空题 8.以点（2，1）为圆心且与直线6xy相切的圆的方程是 . 【解析】将直线6xy化为60 xy,圆的半径 |2 1 6|5 1 12 r , 所以圆的方程为 22 25 (2)(1) 2 xy 【答案】 22 25 (2)(1) 2 xy 9.设直线 1 l的参数方程为 1 1

6、 3 xt yt （t为参数） ，直线 2 l的方程为y=3x+4 则 1 l与 2 l的距离为_ 【解析】由题直线 1 l的普通方程为023 yx ，故它与与 2 l的距离为 5 103 10 |24| 。 【答案】 5 103 . 可编辑文档 10.若圆4 22 yx与圆)0(062 22 aayyx的公共弦长为32，则a=_. 【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 a y 1 ， 利用圆心（0，0）到直线的距离 d 1 | 1 | a 为132 2 2 ，解得a=1. 【答案】1 11.若直线m被两平行线 12 :10:30lxylxy 与所截得的线段的长为22，则

7、m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】解：两平行线间的距离为2 11 |13| d，由图知直线m与 1 l的夹角为 o 30， 1 l的倾斜角为 o 45，所以直线m的倾斜 角等于 00 754530 o 或 00 153045 o 。 【答案】 12.已知ACBD、为圆O: 22 4xy的两条相互垂直的弦，垂足为 1,2M,则四边形ABCD的面积的最大值为 。 【解析】设圆心O到ACBD、的距离分别为 12 dd、,则 222 12 3ddOM+. 四边形ABCD的面积 2222 1212 1 | | 2 (4)8()5

8、2 SABCDdddd)(4- 【答案】5 13.已知圆O：5 22 yx和点A（1，2） ，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2= 2 1 (x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是 5 和 2 5 ，所以所求面积为 4 25 5 2 5 2 1 。 【答案】 25 4 14.过原点O作圆x2+y2-6x8y20=0 的两条切线，设切点分别为P、Q， 则线段PQ的长为 。 【解析】可得圆方程是 22 (3)(4)5xy 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ . 【答案】4 15.设直线系: cos

9、(2)sin1(02 )M xy,对于下列四个命题： AM中所有直线均经过一个定点 . 可编辑文档 B存在定点P不在M中的任一条直线上 C对于任意整数(3)n n ，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 【解析】因为cos(2)sin1xy所以点(0,2)P到M中每条直线的距离 22 1 1 cossin d 即M为圆C: 22 (2)1xy的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以A错误； 又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以 B 正确； 对任意3n ,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C

10、正确； M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】,B C 三、解答题三、解答题 16.（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系xoy中，已知圆 22 1:( 3)(1)4Cxy和圆 22 2:( 4)(5)4Cxy. （1）若直线l过点(4,0)A，且被圆 1 C截得的弦长为2 3，求直线l的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 1 l和 2 l，它们分别与 圆 1 C和圆 2 C相交，且直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等，试求 所有满足条件的点P的坐

11、标。 解解 (1)设直线l的方程为：(4)yk x，即40kxyk 由垂径定理，得：圆心 1 C到直线l的距离 22 2 3 4()1 2 d ， 结合点到直线距离公式，得： 2 | 31 4 | 1, 1 kk k 化简得： 2 7 2470,0, 24 kkkor k 求直线l的方程为：0y 或 7 (4) 24 yx ，即0y 或724280 xy (2) 设点P坐标为( , )m n，直线 1 l、 2 l的方程分别为： 1 (),()ynk xmynxm k ，即： 11 0,0kxynkmxynm kk 因为直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等

12、，两圆半径相等。 . 可编辑文档 由垂径定理，得：圆心 1 C到直线 1 l与 2 C直线 2 l的距离相等。 故有： 2 2 41 |5| | 31| 1 1 1 nm knkm kk k k ， 化简得：(2)3,(8)5mn kmnmnkmn或 关于k的方程有无穷多解，有： 20, 30 mn mn m -n+8=0 或 m +n-5=0 解之得：点P坐标为 3 13 (,) 2 2 或 51 ( ,) 22 。 2005200520082008 年高考题年高考题 一、选择题 1.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20 xy与 x-7y-4=0, 原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线

13、的斜率为（ ）. A3 B2 C 1 3 D 1 2 答案答案 A 解析解析 1, 02: 11 kyxl， 7 1 , 047: 22 kyxl，设底边为kxyl: 3 由题意， 3 l到 1 l所成的角等于 2 l到 3 l所成的角于是有 37 17 1 1 11 2 2 1 1 k k k kk kk kk kk 再将 A、B、C、D 代入验证得正确答案 是 A。 2.原点到直线052yx的距离为（ ） A1 B3 C2 D5 答案答案 D 解析解析 5 21 5 2 d。 3. .将直线3yx绕原点逆时针旋转 0 90，再向右平移个单位长度，所得到的直线为 ( ) A. 11 33 y

14、x B. 1 1 3 yx C.33yx D. 1 1 3 yx 答案答案 A 4.如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界） ， . 可编辑文档 A、B、C、D是该圆的四等分点若点()P xy，、点()P xy，满足x x 且y y ，则称P优于 P 如果中的点Q满足： 不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 （ ） BC D 答案答案 D 5.若直线 与圆1 22 yx相交于P、Q两点，且POQ120（其中O为原点） ，则k的值为 （ ） A.-3或3 B.3 C.-2或2 D.2 答案答案 A 6. “2

15、a ”是“直线20axy平行于直线1xy”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案答案 C 7圆1)3() 1( 22 yx的切线方程中有一个是 （ ） A.xy0 B.xy0 C.x0 D.y0 答案答案 C 8.设直线的方程是0 ByAx，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是（ ） A20 B19C18D16 答案答案 C C 9.设直线l过点)0 , 2(，且与圆1 22 yx相切，则l的斜率是 工 （ ） A.1B. 2 1 C. 3 3 D.3 答案答案 C 10.若直线0

16、2cyx按向量) 1, 1 ( a平移后与圆5 22 yx相切，则 c 的值为 （ ） A8 或2B6 或4C4 或6D2 或8 答案答案 A 11. “m= 2 1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m2)x+(m+2)y3=0 相互垂直”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案答案 B 二、填空题二、填空题 . 可编辑文档 AB l C 12.已知圆C的圆心与点( 2,1)P 关于直线 y=x+1 对称，直线 3x+4y-11=0 与圆C相交于BA,两点，且6AB，则圆C的方程为_. 答案答案 22 (1)18x

17、y 13.已知直线:40l xy与圆 22 :112Cxy，则C上各点到l的距离的最小值为_. 答案答案 2 14.经过圆 22 20 xxy的圆心C，且与直线0 xy垂直的直线 程是 答案答案 10 xy 15.如图，AB，是直线l上的两点，且2AB两个半径相等的动圆分别与l相切于AB，点，C是这两个圆的公共点，则圆弧 AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是 答案答案 2 2 , 0 16.圆心为(11)，且与直线4xy相切的圆的方程是 答案答案 (x-1)2+(y-1)2=2 17.已知变量x,y满足约束条件1x+y4,-2x-y2.若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3,1

18、)处取得最大值，则a的取值范围为_. 答案答案 a1 18.设实数 x,y 满足的最大值是则 x y y yx yx , 032 042 02 . 答案答案 2 3 第二部分第二部分 三年联考汇编三年联考汇编 20092009 年联考题年联考题 一、选择题一、选择题 1. “a= 3”是“直线210axy 与直线640 xyc平行”的（ ）条件 A充要 B充分而不必要 C必要而不充分 D既不充分也不必要 答案答案 C C 2.直线 x+y+1=0 与圆21 2 2 yx的位置关系是 （ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定 答案答案 C 3.两圆 32cos3cos 42sin3si

19、n xx yy 与的位置关系是 （ ）A内切 B外切C相离 D内含 答案答案 B 4.已知点 P（x，y）是直线 kx+y+4 = 0（k 0）上一动点，PA、PB 是圆 C： 22 20 xyy的两条切线，A、B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为 （ ） A3B 21 2 C2 2D2 答案答案 D . 可编辑文档 5.已知实系数方程 x2+ax+2b=0,的一个根大于 0 且小于 1，另一根大于 1 且小于 2，则 2 1 b a 的取值范围是 （ ） A （ ，1） B （ ，） （ ，） （，） 答案答案 A 1 4 1 2 1 2 1 4 1 3 6.点(

20、4, ) t到直线431xy的距离不大于 3，则t的取值范围是 （ ） A 131 33 t B100t C 100tD0t或10t 答案答案 C C 7.已知圆的方程为 22 680 xyxy，设圆中过点(2,5)的最长弦与最短弦分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之( ) A.1 B.0 C. 1 D.2 答案答案 B 8.直线) 1(1:xkyl和圆02 22 yyx 的关系是（ ）A.相离 B.相切或相交 C.相交D.相切答案答案 C 9.过点)2 , 1 (M的直线l将圆(x-2)2+y2=9 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是（ ） A1x B1y C01 yx D

21、032yx 答案答案 D 二、填空题二、填空题 10. .从圆(x-1)2+(y-1)2=1 外一点(2,3)P向这个圆引切线，则切线长为 答案答案 2 11.直线032yx与直线04byax关于点)0 , 1 (A对称，则b_。答案答案 2 12. .过点C(,-)作圆25 22 yx的切线，切点为A、B，那么点C到直线AB的距离为_。答案答案 2 5 13. .光线由点P(2,3)射到直线1 yx上,反射后过点Q(1,1),则反射光线方程为 .答案答案 4x5y10 14. .过) 1 , 2 1 (M的直线 l 与圆 C：(x-1)2+y2=4 交于A、B两点，当ACB最小时，直线的方程

22、为 .答案答案 0342yx 2007200720082008 年联考题年联考题 一、选择题一、选择题 1.1.已知点 A（3,2） ，B（-2,7） ，若直线 y=ax-3 与线段 AB 的交点 P 分有向线段 AB 的比为 4:1，则 a 的值为（ ） A3B-3C9D-9 答案答案 D D 2.由直线1yx上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1 引切线，则切线长的最小值为 ( ) A.17 B.3 2 C.19 D.2 5 答案答案 A A 3. .圆2 2 1 1 y x 被直线0 xy分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ） A12 B13 C14 D15 答案答案 B 4.

23、直线yxb平分圆 x2+y2-8x+2y-2=0 的周长，则b （ ） . 可编辑文档 A3 B5C3 D5 答案答案 D 5.把直线20 xy按向量(2,0)a 平移后恰与 22 4220 xyyx相切，则实数的值为（ ） A 2 2 或2 B2或2 C 2 2 或 2 2 D 2 2 或2答案答案 C 6.若圆 222 5()3(ryx）上有且仅有两个点到直线 4x3y2=0 的距离为 1，则半径r的取值范围是（ ） A.（，6） .，） .（， .，答案答案 A 7.已知直线ax+by-1=0(a,b不全为 0)与圆x2+y2=50 有公共点，且公共点横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有

24、（ ）条 A.66 B.72 C.74 D.78 答案答案 C 二、填空题二、填空题 7.光线从点P（3，5）射到直线 l:3x-4y+4=0 上，经过反射，其反射光线过点Q（3，5） ，则光线从P到Q所走过的路程为 . 答案答案 8 8.圆 ( sin1 cos1 y x 为参数）的标准方程是 ，过这个圆外一点P2,3的该圆的切线方程是 。答案答案 (x1)2(y1) 21；x2 或 3x4y60 9. .与圆 22 (2)1xy相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有_条.答案答案 4 10.设直线03 yax与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于A、B两点，且弦长为32，则a= 。答案

25、答案 0 11. .设直线 1 l的方程为022yx，将直线 1 l绕原点按逆时针方向旋转 90得到直线 2 l，则 2 l的方程是 答案答案 2xy20 12. .若5xkx+2 对一切x5 都成立，则k的取值范围是_. 答案答案 k1/10 或k0）过M（2，2） ，N (6,1)两点，O 为坐标原点， （I）求椭圆E的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB ？若存在，写出该圆的方程，并求 |AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆E: 22 22 1 xy ab （a,b0）过M（2，2） ，N (6,1)两

26、点, 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆E的方程为 22 1 84 xy （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB ,设该圆的切线方程为 ykxm解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2()8xkxm,即 222 (12)4280kxkmxm, 则= 222222 164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , . 可编辑文档 2222

27、22 222 12121212 222 (28)48 ()()() 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB ,需使 1212 0 x xy y,即 222 22 288 0 1212 mmk kk ,所以 22 3880mk,所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km,所以 2 2 2 38 m m ,所以 2 8 3 m ,即 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 2 1 m r k , 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk , 2 6 3 r

28、,所求的圆为 22 8 3 xy,此时圆的切线ykxm都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 满足OAOB ,综上, 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B, 且OAOB . 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 所以 222 222 121212 2222 4288(84) ()()4()4 1212(12) kmmkm xxxxx x k

29、kk , 22 2 2222 121212 22 8(84) |()(1)()(1) (12) km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk , 当0k 时 2 2 321 |1 1 3 44 AB k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k , 所以 2 2 32321 112 1 33 44k k , . 可编辑文档 所以 4 6 | 2 3 3 AB当且仅当 2 2 k 时取”=”. 当0k 时, 4 6 | 3 AB . 当AB的斜率不存在时, 两个交点为 2 62 6 (,) 33

30、或 2 62 6 (,) 33 , 所以此时 4 6 | 3 AB , 综上, |AB |的取值范围为 4 6 | 2 3 3 AB即: 4 | 6,2 3 3 AB 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数 法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系. 47.（本小题满分 14 分） 设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amx y ,向量( ,1)bx y ,ab ,动点( , )M x y的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知 4

31、1 m,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求 出该圆的方程; (3)已知 4 1 m,设直线l与圆 C: 222 xyR(1R2)相切于 A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并 求最大值. 解解（1）因为ab ,(,1)amx y ,( ,1)bx y , 所以 22 10a bmxy , 即 22 1mxy. 当m=0 时,方程表示两直线,方程为1y; 当1m 时, 方程表示的是圆 当0m且1m时,方程表示的是椭圆; 当0m时,方程表示的是双曲线. (2).当 4 1 m时, 轨迹

32、E的方程为 2 2 1 4 x y,设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt,解方程组 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4()4xkxt,即 222 (14)8440kxktxt, 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点A,B, . 可编辑文档 则使= 2 22222 6416(14)(1)16(41)0k tktkt, 即 22 410kt ,即 22 41tk, 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 (44)84 ()()() 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt x

33、xtt kkk , 要使OAOB , 需使 1212 0 x xy y,即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk , 所以 22 5440tk, 即 22 544tk且 22 41tk, 即 22 44205kk恒成立. 所以又因为直线ykxt为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 2 1 t r k , 2 2 2 22 4 (1) 4 5 115 k t r kk , 所求的圆为 22 4 5 xy. 当切线的斜率不存在时,切线为5 5 2 x,与 2 2 1 4 x y交于点)5 5 2 ,5 5 2 (或)5 5 2 ,5 5 2 (也满足OAO

34、B. 综上, 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB . (3)当 4 1 m时,轨迹E的方程为 2 2 1 4 x y,设直线l的方程为ykxt,因为直线l与圆C: 222 xyR(10,可设直线AS的方程为()yk xa. 由 2 2 22222422 2 1 (1)20 () x y a kxa k xa ka a yk xa 得 设点 222 22 (,),(), 1 TTT a ka T xyxa a k 故 22 22 1 T aa k x a k ,从而 22 2 () 1 TT ak yk xa a k . 亦即 2

35、2 2222 2 (,). 11 aa kak T a ka k 22 2222 22 ( ,0),(,) 11 a kak B aBT a ka k 由 () xa yk xa 得( ,2),( ,2).s aakOSaak 由BTOS,可得 2222 2 24 0 12 a ka k BT OS a k 即 2222 240a ka k 0,0,2kaa 经检验,当2a 时,O,M,S 三点共线. 故存在2a ,使得 O,M,S 三点共线. 方法二方法二: : ()同方法一. ()假设存在a,使得O,M,S三点共线. 由于点M在以SO为直径的圆上,故SMBT. 显然,直线AS的斜率k存在且

36、k0,可设直线AS的方程为()yk xa 由 2 2 22222222 2 1 (1)20 () x y a bxa k xa ka a yk xa 得 设点(,) TT T xy,则有 422 22 (). 1 T a ka xa a k 故 2222 22222222 22 ,()(). 111 TTT aa kakaa kak xyk xaT aa ka ka ka k 从而亦即 2 2 1 ( ,0), T BTSM T y B akka k xaa k 故 由 () xa yk xa 得S(a, 2ak),所直线 SM 的方程为 2 2()yaka k xa . 可编辑文档 O,S,

37、M三点共线当且仅当O在直线SM上,即 2 2()aka ka. 0,0,2aKa 故存在2a ,使得O,M,S三点共线. 60.（本小题满分 12 分） 已知，椭圆C以过点A（1， 3 2 ） ，两个焦点为（1，0） （1，0） 。 （1）求椭圆C的方程； （2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 （）解解 由题意，c1,可设椭圆方程为 22 22 1 14 xy bb 。 因为A在椭圆上，所以 22 19 1 14bb ，解得 2 b3， 2 b 3 4 （舍去） 。 所以椭圆方程为 22 1 43 xy （）证明

38、证明 设直线方程：得 3 (1) 2 yk x，代入 22 1 43 xy 得 222 3 3+4+4 (32 )4()120 2 kxkk xk（） 设（ E x， E y） ，（ F x， F y） 因为点（1， 3 2 ）在椭圆上， 所以 2 2 3 4()12 2 34 E k x k ， 3 2 EE ykxk。 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得 2 2 3 4()12 2 34 F k x k ， 3 2 FF ykxk 。 所以直线EF的斜率 ()21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk k xxxx 。 即直线EF的斜率为定值，其值为 1

39、 2 。 61.（本小题满分 12 分） . 可编辑文档 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. （）求椭圆C的方程； （）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点， OP OM =，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解解 ()设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac，由已知得 1 ,4,3 7 ac ac ac 解得， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 167 xy （）设( , )M x y，其中4,4x 。由已知 2 2 2 OP OM 及点P在椭圆C上可得 2 2 22 9112 16() x xy 。 整

40、理得 2222 (169)16112xy，其中4,4x 。 （i） 3 4 时。化简得 2 9112y 所以点M的轨迹方程为 4 7 ( 44) 3 yx ，轨迹是两条平行于x轴的线段。 （ii） 3 4 时，方程变形为 22 22 1 112112 16916 xy ，其中4,4x 当 3 0 4 时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足44x 的部分。 当 3 1 4 时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足44x 的部分； 当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆； 62.（本小题满分 12 分） 已知双曲线C的方程为 22 22 1(0,0) yx ab

41、 ab ，离心率 5 2 e ，顶点到渐近线的距离为 2 5 5 。 （1）求双曲线C的方程； (2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二 象限，若 1 , ,2 3 APPB ，求AOB面积的取值范围。 方法一方法一 解解（）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为 . 可编辑文档 ， 所以 22 2 5 5 ab ab 所以 2 5 5 ab c 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x （）由（）知双曲线 C 的两条渐近线

42、方程为2yx 设( ,2 ),2 ),0,0A mm Bnn mn（ 由,),APPBP uu u ruur m - n 2(m + n) 得点的坐标为（ 1+1+ 将 P 点的坐标代入 22 2 (1) 1, 44 y x 化简得m n= 因为2 ,AOB 14 tan()2,tan,sin2 225 又5 ,5OAm OBn 所以 111 sin22() 1 22 AOB SOAOBmn 记 111 ( )() 1, ,2 23 S 则 2 11 ( )(1) 2 S 由( )01S得 又S（1）=2， 189 ( ), (2) 334 SS 当1时，AOB面积取到最小值2，当当 1 3

43、时，AOB面积取到最大值 8 3 所以AOB面积范围是 8 2, 3 方法二方法二（）由题意知，双曲线 C 的顶点（0，a）到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为， . 可编辑文档 22 2 52 5 55 abab c ab 即 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x. （）设直线AB的方程为,ykxm 由题意知2,0km 由 2 ,), 222 ykxm mm A yxkk 得点的坐标为（ 由 2 ,), 222 ykxm mm B yxkk 得点的坐标为（ 121 ,(),() 122122 m

44、m APPBP kkkk 得点的坐标为（ uu u ruur 将P点的坐标代入 2 1x 2 y 4 得 22 2 4(1) 4 m k 设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m） AOB S= AOQBOQ SS . 2 2 111 () 222 114 () 2222 4 11 () 1 2 ABAB OQ xOQ xm xx mmm m kkk gg g 63.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 2 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 FF、，离心率 2 2 e ，右 准线方程为2x 。 （I）求椭圆的标准方程； . 可编辑文档 （II）过点 1 F的直

45、线l与该椭圆交于MN、两点，且 22 2 26 3 F MF N ，求直线l的方程。 解解 （I）由已知得 2 2 2 2 c a a c ，解得2,1ac 22 1bac 所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y . （II）由（I）得 1( 1,0) F、 2(1,0) F 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为1 x，由 2 2 1 1 2 x x y 得 2 2 y 设 2 ( 1,) 2 M、 2 ( 1,) 2 N， 22 22 ( 2,)( 2,)( 4,0)4 22 F MF N，这与已知相矛盾。 若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为(1)yk x， 设

46、 11 ( ,)M x y、 22 (,)N xy， 联立 2 2 (1) 1 2 yk x x y ，消元得 2222 (12)4220kxk xk 22 1212 22 422 , 1212 kk xxx x kk ， 1212 2 2 (2) 12 k yyk xx k ， 又 211222 (1,),(1,) F MxyF Nxy 221212 (2,) F MF Nxxyy 2 2 2 22 221212 22 8222 26 (2)() 12123 kk F MF Nxxyy kk 化简得 42 4023170kk . 可编辑文档 解得 22 17 1 40 或(舍去) kk 1 k 所求直线l的方程为11或 yxyx 64.（本小题满分 12 分） 如图，已知抛物线 2 :E yx与圆 222 :(4)(0)Mxyrr相 交于A、B、C、D四 个点。 （）求r的取值范围 （）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。 解：解：（）将抛物线 2 :E yx代入圆 222 :(4)(0)Mxyrr的方程， 消去 2 y，整理得 22 7160 xxr 抛物线 2 :E yx与圆 222 :(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正 根 016 07 0)16(449