复变函数第二章第三节

1、定义2.8(单叶函数） 设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)f(z2),则称函数 f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域. 显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换. f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数,第三节 初等多值函数,定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：, 根式函数,为幂函数z=wn 的反函数.,(1) 根式函数的多值性.,1. 根式函数,(2) 分出根式函数的单值解析分支.,从原点O起到点任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面

2、(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，argz2，从而可将其转化为单值函数来研究。,wk在其定义域上解析,且,分成如下的n个单值函数：,(3) 的支点及支割线,定义1 设 为多值函数， 为一定点，作小圆周,，若变点 沿 转一周，回到出发点时，,函数值发生了变化，则称 为 的支点，如,就是其一个支点，这时绕 转一周也可看作绕点,转一周，故点 也是其一个支点.,常用方法： 从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:,定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线.,如 可以以负实轴为支割线.,注 a) 支割线可以有两岸.,b) 单值解析分支可连续延拓到岸上.

3、,c) 支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.,d) 对 ，当以负实轴为支割线时，当 时取正值的那个分支称为主值支.,二、对数函数,1. 定义,2.计算公式：,说明：,w=Lnz是指数函数ew=z的反函数，,Lnz一般不能写成lnz,其余各值为,例1,解,注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.,例2,解,3. 对数函数的性质,4. 分出w=Lnz的单值解析分支,从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将对数函数,w=Lnz分成如下无穷多个单值解析分支：,wk在定义域上解析,且,例1 设 定义在沿负实轴割破的平面上，且,以 为支点，连接 的任一 （广义

4、）简单曲线可作为其支割线.,解：,求值：,（是下岸相应点的函数值）求 的值.,三、乘幂 与幂函数,1. 乘幂:,3. 幂函数的解析性,原点和负实轴的复平面内是解析的,例1,解,它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。,1. 反三角函数的定义,两端取对数得,同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:,四、反三角函数和反双曲函数,2. 反双曲函数的定义,例1,解,五、具有有限个支点的情形,设有任意N次多项式：,分别为P(z)的一切相异零点，对应重数为,且有,则函数,的支点有以下结论：,(1) 的可能支点为 和 ；,(2) 当且仅当 不能整除 时， 是 的支点

5、；,(3) 当且仅当 不能整除 时， 是 的支点；,(4) 若 能整除 中若干个之和，则 中对应的几个就可以联结成割线，即变点 z 沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变.,例1 作出一个含 i 的区域,使得函数,在此区域内可分解成单值解析分支,求一个分支在i点,解,可能的支点为,易知函数,因,0,1,2与无穷，,具体分析见下图,结论：0、1、2与无穷都是支点。,的值,使其满足,支点确定后，我们作区域，将函数分解成单值解析分支。,首先，在复平面内作一条连接0,1,2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线,在所得区域内,可以把w分解成连续分支。例如,可取 作为割线,得到区域D。,其次,也可以取线段0,1及从2出发且不与0,1相交的射线为割线,在所得区域内,可以把w分解成连续分支。例如，可取0,1及 作为割线,得到区域 。,例2 验证函数,内可以分解成解析分支;求出这个分支函数在(0,1),解,由于,故0,1是支点，无穷远点不是支点。,在区域D=C0,1,上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值。,结论:0,1是支