复变函数总复习资料

1、1,复数的基本概念和运算 1、复数,z=x+iy或 z=x+yi,注意： (1) 2个复数不能比较大小; (2) 当且仅当实部、虚部分别相等时复数才相等。,2,2、复数的表示 直角坐标：z=x+iy 复平面与直角坐标平面上的点一一对应 向量表示 模 幅角 三角表示： 指数表示：,z=0时辐角不确定,3,辐角主值公式：,4,3、 复数运算 加法、减法： 乘法: 除法:,运算法则: z1+z2=z2+z1 z1z2=z2z1 z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 z1(z2z3)=(z1z2)z3 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3,5,乘积： z1=r1(cosq1+isinq1),

2、z2=r2(cosq2+isinq2), z1z2=r1r2cos(q1+q2)+isin(q1+q2) 于是 : |z1z2|=|z1|z2| Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,模相乘；辐角相加。,商： 模相除；辐角相减,幂： 根：,注意根的多值性！,6,区域：平面点集D称为区域, 必须满足下列两个条件： 1）D是一个开集。 2）D是连通的。,不连通,单连通域：区域B中任做一条简单闭曲线，曲线内 部总属于B，称B为单连通区域。 多连通域：不满足单连通域条件的区域。,单连通域,多连通域,区域的概念,7,复变函数 w=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y),单

3、值函数：z 的一个值对应一个w值。 多值函数：z的一个值对应两个或以上w值。,反函数：z=g(w),复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定,8,1、极限,定理一：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0,条,定理二：,9,2、连续性,复平面内，下列各式连续：,项,10,3、导数,定义在区域D内，,称 可导,11,z0点：,区域D：,4、解析,使分母为零的点是它的奇点。,12,重要定理： 函数解析的条件柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程,13,14,初 等 函 数,15,多值！,性质:,16,乘幂,17,幂函数,幂函数的解析性,各分支在

4、除去原点和负实轴的复平面内是解析的:,各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的:,18,4. 三角函数,19,第三章 复变函数的积分,习题3-8(1),20,习题3-7(8)、3-9(1),21,三、积分的性质,复积分与实变函数的定积分有类似的性质.,估值不等式,22,1、调和函数的定义,四、解析函数与调和函数的关系,2、解析函数和调和函数的关系,定理：任何在区域 D 内解析的函数, 它的实部和虚部都是 D 内的调和函数，即有：,23,3、 共轭调和函数,区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,4、 偏积分法和不定积分法求解析函数（简单了解即可）,如果已知一个调和函数u, 利用柯西黎

5、曼方程求得它的共轭调和函数v, 从而构成一个解析函数u+vi的方法称为偏积分法.,24,一、 复数项级数的一些基本概念 1、复数列 收敛的充要条件: 同时收敛. 2、复级数: 收敛的充要条件: 同时收敛. 3、复级数绝对收敛: 绝对收敛的充要条件: 同时绝对收敛.,第四章 级 数,25,收敛范围为圆域,圆内绝对收敛,圆外发散,圆上不定.,1、收敛定理： (阿贝尔Abel定理),如果级数 在 收敛,那么对满足 的z, 级数必绝对收敛,如果在 级数发散, 那么对满足 的z, 级数必发散。,二 、幂级数：,幂级数的收敛半径的情况有三种:,(1) 对所有的正实数都收敛.,级数在复平面内处处绝对收敛:,

6、(2) 对所有的正实数除z=0外都发散.,级数在复平面内除原点外处处发散:,例如,级数,(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收敛的正实数.,级数在收敛圆内处处绝对收敛,26,2、收敛半径求法:,如果:,3、性质:和函数 在收敛圆内: 解析,可逐项求导,可逐项积分.,习题4-6,27,4、幂级数的运算和性质,(1)幂级数的有理运算,(2) 幂级数的代换(复合)运算,说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.,习题4-11,28,答案:,在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.,答案：,问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,有关幂级数的两个关键问题：,29,三 、泰勒级数: 定理:在以 为中心的圆域内解析的函数 f(z) ， 可以在该圆域内展开成 的幂级数。 泰勒级数展开式求法:直接法,间接法.,30,常见函数的泰勒展开式,31,四、洛朗级数：,洛朗级数展开式求法 : 1. 直接法 2. 间接法,在计算闭路积分中的应用：,令n=-1, 得,或,习题4-16(2),32,第五章 留数,33,零点与极点 ：,零点定义：f